苏科 八年级 数学 上册 第1章《 1.5 等腰三角形》课件

1.5等腰三角形第1章三角形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2等腰三角形的定义和性质等腰三角形的判定等边三角形的定义和性质等边三角形的判定含30°角的直角三角形的性质直角三角形的性质定理知识点等腰三角形的定义和性质知1－讲11.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫作腰.知1－讲2.等腰三角形的性质(1)性质定理1：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).几何语言：如图1.5-1，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.知1－讲(2)性质定理2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).几何语言：如图1.5-1，在△ABC中，①∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BD＝DC；②∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC；③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC，AD⊥BC.知1－讲3.已知底边和高作等腰三角形要求作法图示如图，已知线段a，h.求作△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h.①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D；③在射线DM(或DN)上截取线段DA，使DA＝h；④连接AB，AC，则△ABC即为所求知1－讲拓宽视野等腰三角形的其他性质：1.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；2.等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等；知1－讲3.等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；4.等腰三角形底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线)上任意一点到两腰的距离相等；5.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角(锐角)度数等于顶角度数的一半.知1－练例1如图1.5-2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D.解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答.知1－练(1)求∠ADB的度数；(2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度数；解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.

知1－练(3)若BC＝3cm，求BD的长.

知1－练特别解读1.在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”.2.“等边对等角”的前提是在同一个三角形中.知1－练[中考·北京]如图1.5-3，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD．例2解题秘方：根据等腰三角形“三线合一”的性质和同角的余角相等解决问题.知1－练证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.又∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADC＝90°.∴∠CBE＝90°－∠C，∠CAD＝90°－∠C.∴∠CBE＝∠CAD.∴∠CBE＝∠BAD．知1－练特别解读“三线合一”是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法.知2－讲知识点等腰三角形的判定21.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)．几何语言：如图1.5-4，在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.知2－讲2.等腰三角形的性质与判定的异同相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.即等边等角.知2－讲特别提醒1.“等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词.2.“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法.知2－练如图1.5-5，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．求证：△ADC是等腰三角形.解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可.例3知2－练证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°．∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°．∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75°．又∵∠ADC＝∠B＋∠DAB＝30°＋45°＝75°．∴∠DAC＝∠ADC，∴△ADC是等腰三角形．知2－练解题通法在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角之间的关系得到角相等，从而得到所对的边相等.知3－讲知识点等边三角形的定义和性质31.等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形.知3－讲2.等边三角形的性质(1)等边三角形的三条边都相等；(2)等边三角形的各角都等于60°；(3)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(4)等边三角形各边上的高线、中线、所对的角平分线重合，且长度相等.知3－讲特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：1.任意两边都可以作为腰；2.任意一个角都可以作为顶角.知3－练如图1.5-6，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，FD⊥AB，计算△DEF各个内角的度数.例4解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°，求角的度数.知3－练解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE⊥AC，EF⊥BC，FD⊥AB，∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.∴∠EDF＝180°－∠ADE－∠FDB＝180°－30°－90°＝60°.同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.∴△DEF各个内角的度数都是60°.知3－练解法提醒等边三角形的三个内角都等于60°，为三角形的内角直接提供了角的条件.若同时要运用三个内角，只需以一个角为例计算，其余可同理得到.知3－练如图1.5-7，等边三角形ABC的边长为3，D是AC的中点，点E在BC的延长线上.若DE＝DB，求CE的长.例5解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化.知3－练

知3－练方法点拨等边三角形的任何一边上都有“三线合一”的性质，有时需要通过“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化.知4－讲知识点等边三角形的判定41.判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.几何语言：如图1.5-8，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形.知4－讲2.判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：如图1.5-8，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴△ABC是等边三角形.可以是顶角，也可以是底角.知4－讲3.等边三角形的证明思路知4－讲归纳总结等边三角形的判定方法的选用：1.若已知三边关系，一般选用定义判定；2.若已知三角关系，一般选用判定定理1；3.若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2.知4－练如图1.5-9，在等边三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC

于点E，F，连接OE，OF.求证：△OEF是等边三角形.例6知4－练解题秘方：利用等边三角形的判定定理1，通过求∠OEF＝∠OFE＝∠EOF＝60°，得到△OEF是等边三角形.证明：∵△

ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBE＝∠OCF＝30°.∵OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，∴OE＝BE，OF＝CF.∴∠BOE＝∠OBE＝30°，∠COF＝∠OCF＝30°.知4－练∴∠OEF＝∠BOE＋∠OBE＝60°，∠OFE＝∠COF＋∠OCF＝60°.∴∠EOF＝180°－∠OEF－∠OFE＝60°.∴∠OEF＝∠OFE＝∠EOF.∴△OEF是等边三角形.知4－练知4－练教你一招1.从角的方向证明三角形是等边三角形的两种思路：一是证明三角形的三个内角相等；二是求出三角形的三个内角的度数都是60°.2.在已知的等边三角形内部判定某个三角形是等边三角形时，原等边三角形的三个内角为60°，为求新等边三角形的内角度数提供了条件.知4－练如图1.5-10，C为线段AB上一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，AN，MC相交于点E，BM，CN相交于点F.例7知4－练求证：(1)AN＝MB；解题秘方：要证AN＝MB，只需证△ACN≌△MCB；

知4－练(2)△CEF是等边三角形.解题秘方：根据已知条件，易求∠ECF＝60°，再证明△ECF为等腰三角形即可.

知4－练知4－练

知5－讲知识点含30°角的直角三角形的性质5

知5－讲2.作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度.拓展：该性质反过来说也成立.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°.知5－讲特别解读应用此性质，必须满足两个条件：1.在直角三角形中；2.有一个锐角为30°；二者缺一不可.知5－练如图1.5-12，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B＝15°，AC＝4cm，求BN的长.例8知5－练解题秘方：先构造含30°角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质求线段长.知5－练解：如图1.5-12，连接AN.∵MN为AB边的垂直平分线，∴AN＝BN.∴∠NAB＝∠B＝15°.∴∠ANC＝∠B＋∠NAB＝30°.∵∠C＝90°，∴

AN＝2AC=2×4＝8(cm).∴BN＝8cm.知5－练教你一招1.求某直角三角形的边长时，考虑构造含30°角的直角三角形.2.若给出的是15°角，则构造以15°角为底角的等腰三角形，其顶角处的外角为30°角.知5－练如图1.5-13，在等边三角形ABC中，E，D分别在边AC，BC上，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q.求证：BP＝2PQ.例9知5－练思路导引：知5－练证明：∵△ABC是等边三角形，∴

AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°.∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS).∴∠ABE＝∠CAD.∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAP＝∠CAD＋∠BAP＝∠BAE＝60°.∵BQ⊥AD，∴∠BQP＝90°.∴∠PBQ＝90°－∠BPQ＝30°.∴BP＝2PQ.知5－练方法点拨在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的2倍，一是