高中数学必修13.2.1几类不同增长的函数模型

3.2

函数模型及其应用3.2.1几类不同增加的函数模型1.运用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增加差别.2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增加等不同函数类型增加的含义.121.四种函数模型的性质

12【做一做1】

函数y=2x与y=x2的图象的交点个数是

(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析:作出两个函数的图象,在第一象限中有2个交点,在第二象限中有1个交点,即共有3个交点.答案:D122.三种增加函数模型的比较(1)指数函数和幂函数.普通地,对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),通过探索能够发现,在区间(0,+∞)内,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范畴内,ax会不不不大于xn,但由于ax的增加紧于xn的增加,因此总存在一种x0,当x>x0时,就会有ax>xn.(2)对数函数和幂函数.对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间(0,+∞)内,随着x的增大,logax增加得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行同样.尽管在x的一定变化范畴内,logax可能会不不不不大于xn,但由于logax的增加慢于xn的增加,因此总存在一种x0,当x>x0时,就会有logax<xn.12(3)指数函数、对数函数和幂函数.在区间(0,+∞)内,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增加速度不同,并且不在同一种“档次”上.随着x的增大,y=ax(a>1)的增加速度越来越快,会超出并远远不不不不大于y=xn(n>0)的增加速度,而y=logax(a>1)的增加速度则会越来越慢.因此,总会存在一种x0,当x>x0时,就有logax<xn<ax.【做一做2】当x>4时,a=4x,b=log4x,c=x4,则有()A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.b<c<a答案:D几类常见函数模型的增加特点剖析:(1)直线模型:即一次函数模型y=kx+b(k≠0).现实生活中诸多事例能够用直线模型体现,例如,匀速直线运动的时间和位移的关系,弹簧的伸长与拉力的关系等.直线模型的增加特点是直线上升(x的系数k>0),通过图象能够很直观地认识它.(2)指数函数模型:能用指数型函数体现的函数模型y=k·ax+b(k≠0)叫做指数函数模型.指数函数增加的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数a>1,ax的系数k>0),常形象地称之为“指数爆炸”.通过细胞分裂的实例以及函数图象的变化都能够清晰地看到“指数爆炸”的威力.(3)对数函数模型:能用对数函数体现的函数模型y=klogax+b(k≠0)叫做对数函数模型.对数函数增加的特点是随着自变量的增大(底数a>1,logax的系数k>0),函数值增大的速度越来越慢.题型一题型二题型三题型一题型二题型三解析:以爆炸式增加的变量是呈指数函数变化的.从表格中能够看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增加速度不同,其中变量y2的增加速度最快,可知变量y2有关x呈指数函数变化.答案:y2反思选择函数描述变化规律时,当增加速度最快且呈“爆炸”式增加时,常选择指数函数模型来描述;当增加速度较慢时,常选择对数函数模型来描述;当增加速度相对平稳时,常选择幂函数模型来描述;当增加的速度不变时,常选择一次函数模型来描述.题型一题型二题型三题型一题型二题型三【例2】甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式下列:甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,后来每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,后来每天捐款都比前一天翻一番.你觉得哪个公司最慷慨?分析:分别计算三个公司在10天内的捐款总数,捐款总数越大的公司越慷慨.题型一题型二题型三题型一题型二题型三由上表能够看出,丙公司捐款最多,为102.3万元,即丙公司最慷慨.反思解答这类问题的核心是明确“指数爆炸”“对数增加”等函数增加差别,需注意幂函数的增加是介于两者之间的.题型一题型二题型三【变式训练2】某汽车制造商在2016年初公示:公司计划2016年生产目的定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量下列表所示:如果我们分别将2013,2014,2015,2016定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更加好地反映该公司年产量y与年份x的关系?题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三易错点提取图象信息错误而造成解题错误【例3】已知甲、乙两物体在同始终线上向同一方向做匀速直线运动,其位移y(单位:km)和运动时间x(单位:h)(0≤x≤5)的关系如图所示,给出下列说法:①甲、乙运动的速度相似,都是5km/h;②甲、乙运动的时间相似,开始运动后相等时间内甲的位移比乙大;③甲、乙运动的时间相似,乙的速度是4km/h;④当甲、乙运动了3小时后,甲的位移比乙大3km,但乙在甲前方2km处.其中对的的说法是()A.③ B.①②③C.①③④ D.②③④题型一题型二题型三错解:经分析,③是对的,故①错;对于②,由于乙的图象在甲的上方,因此应是甲的位移比乙小,故②错误;对于④,当甲、乙运动了3小时后,甲的位移为3×5=15(km),乙的位移为5+3×4=17(km),故④错误.故选A.错因分析:错解中因对乙出发点的位置理解不精确造成判断②④出错.正解:经分析③是对的,故①错;对于②,甲、乙运动的时间显然都是5小时,由于甲的速度为5km/h,乙的速度为4km/h,因此开始运动后相等时间内甲的位移比乙大,故②对的;对于④,当甲、乙运动了3小时后,甲的位移为3×5=15(km),乙的位移为3×4=12(km).又由于乙是从甲前方5km处开始运动的,因此甲的位移比乙大3km,但乙在甲前方2km处,因此④对的,故选D.题型一题型二题型三反思图表型应用问题是高考中一道亮丽的风景线.这类试题应结合图象的特性,观察坐标轴所代表的含义,紧紧围绕题目的语言描述,并把它转化为数学特性(单调性、最值等)即可得到完美的