《走向高考》2025-高三数学(人教A版)总复习同步练习8-7圆锥曲线的综合问题(理)

8-7圆锥曲线的综合问题(理)基础巩固强化1.(2025·潍坊教学质量监测)椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是()A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0[答案]B[解析]依题意得e＝eq\f(1,2)，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，eq\f(1,2))的连线的斜率为eq\f(2－\f(1,2),2－1)＝eq\f(3,2)，则所求直线的斜率等于－eq\f(2,3)，所以所求直线方程是y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,3)(x－1)，即4x＋6y－7＝0，选B.2．(2025·宁波十校联考)已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于()A．3 B．4C．3eq\r(2) D．4eq\r(2)[答案]C[解析]设A(x1,3－xeq\o\al(2,1))，B(x2,3－xeq\o\al(2,2))，由于A、B关于直线x＋y＝0对称，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝x\o\al(2,2)－3，,3－x\o\al(2,1)＝－x2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－2，,x2＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝－2，))设直线AB的斜率为kAB，∴|AB|＝eq\r(1＋k\o\al(2,AB))|x1－x2|＝3eq\r(2).故选C.3．设F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，点A是抛物线C1与双曲线C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A．2 B.eq\r(3)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\r(5)[答案]D[解析]由题意可知，抛物线C1的焦点为F(eq\f(p,2)，0)，因为AF⊥x轴，则A(eq\f(p,2)，±p)，不妨取A(eq\f(p,2)，p)，则双曲线C2的渐近线的斜率为eq\f(p,\f(p,2))＝eq\f(b,a)，∴eq\f(b,a)＝2，令a＝1，则b＝2，c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).4．(2025·南昌检测)过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)[答案]B[解析]记|F1F2|＝2c，则|PF1|＝eq\f(2c,\r(3))，|PF2|＝eq\f(4c,\r(3))，所以椭圆的离心率为eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(2c,\f(2c,\r(3))＋\f(4c,\r(3)))＝eq\f(\r(3),3)，选B.5．(2025·台州二模)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则eq\f(|AF|,|BF|)的值为()A．5B．4C．3D．2[答案]C[解析]由题意设直线l的方程为y＝eq\r(3)(x－eq\f(p,2))，即x＝eq\f(y,\r(3))＋eq\f(p,2)，代入抛物线方程y2＝2px中，整理得eq\r(3)y2－2py－eq\r(3)p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＝eq\r(3)p，yB＝－eq\f(\r(3),3)p，所以eq\f(|AF|,|BF|)＝|eq\f(yA,yB)|＝3.6．(2025·东北三校一模)已知直线y＝eq\f(1,2)x与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝()A.eq\f(4,9) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．与P点位置有关[答案]A[解析]设点A(x1，y1)、B(x2，y2)、P(x0，y0)，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x，,\f(x2,9)－\f(y2,4)＝1，))消去x得y2＝eq\f(36,7)，y1＋y2＝0，y1y2＝－eq\f(36,7)，(y1＋y0)(y2＋y0)＝y1y2＋yeq\o\al(2,0)＋y0(y1＋y2)＝yeq\o\al(2,0)－eq\f(36,7)，(x1＋x0)(x2＋x0)＝(2y1＋x0)(2y2＋x0)＝4y1y2＋xeq\o\al(2,0)＋2x0(y1＋y2)＝4y1y2＋xeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)－4×eq\f(36,7)＝9(eq\f(y\o\al(2,0),4)＋1)－4×eq\f(36,7)＝eq\f(9,4)(yeq\o\al(2,0)－eq\f(36,7))，eq\f(x1＋x0,y1＋y0)·eq\f(x2＋x0,y2＋y0)＝eq\f(9,4).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),9)－\f(y\o\al(2,1),4)＝1,\f(x\o\al(2,0),9)－\f(y\o\al(2,0),4)＝1))得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,0),9)＝eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,0),4)，即eq\f(y1－y0,x1－x0)＝eq\f(4,9)·eq\f(x1＋x0,y1＋y0)，同理有eq\f(y2－y0,x2－x0)＝eq\f(4,9)·eq\f(x2＋x0,y2＋y0)，于是有kPA·kPB＝eq\f(y1－y0,x1－x0)·eq\f(y2－y0,x2－x0)＝(eq\f(4,9))2·eq\f(x1＋x0,y1＋y0)·eq\f(x2＋x0,y2＋y0)＝(eq\f(4,9))2×eq\f(9,4)＝eq\f(4,9)，选A.7．已知过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．[答案](1，eq\r(2))[解析]由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即eq\f(b,a)<1，∴eq\f(c2－a2,a2)<1，∴eq\f(c2,a2)<2，即e2<2，∵e>1，∴1<e<eq\r(2).8．设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆x2＋eq\f(y2,4)＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为eq\r(2)－1的点P的个数为________．[答案]3[解析]设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y＝2x＋b，代入x2＋eq\f(y2,4)＝1中消去y得，8x2＋4bx＋b2－4＝0，由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b＝±2eq\r(2)，显见y＝2x＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A(－1,0)，B(0,2)，∵直线y＝2x＋2eq\r(2)与l距离d＝eq\f(2\r(2)－2,\r(5))，∴欲使S△ABP＝eq\f(1,2)|AB|·h＝eq\f(\r(5),2)h＝eq\r(2)－1，须使h＝eq\f(2\r(2)－2,\r(5))，∵d＝h，∴直线y＝2x＋2eq\r(2)与椭圆切点，及y＝2x＋4－2eq\r(2)与椭圆交点均满足，∴这样的点P有3个．9．已知F是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x2＋y2＝b2相切，当直线PF的倾斜角为eq\f(2π,3)时，此椭圆的离心率是________．[答案]eq\f(2\r(7),7)[解析]依题意得OP⊥PF，∵直线PF的倾斜角为eq\f(2π,3)，∴∠OFP＝eq\f(π,3)，∴sineq\f(π,3)＝eq\f(b,c)＝eq\f(\r(3),2)，椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(c2＋b2))＝eq\f(1,\r(1＋\f(b,c)2))＝eq\f(1,\r(1＋\f(\r(3),2)2))＝eq\f(2\r(7),7).10．(2025·昆明一中测试)过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB，并说明理由．[解析](1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y＝－eq\f(p,2)的距离，∴1＋eq\f(p,2)＝2，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)抛物线C的焦点为F(0,1)，直线l的方程y＝2x＋1，设点A、B、M的坐标分别为(x1，eq\f(x\o\al(2,1),4))、(x2，eq\f(x\o\al(2,2),4))、(x0，eq\f(x\o\al(2,0),4))，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y,y＝2x＋1))消去y得，x2＝4(2x＋1)，即x2－8x－4＝0，由韦达定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4.∵MA⊥MB，∴eq\o(MA,\s\up16(→))·eq\o(MB,\s\up16(→))＝0，∴(x1－x0)(x2－x0)＋(eq\f(x\o\al(2,1),4)－eq\f(x\o\al(2,0),4))(eq\f(x\o\al(2,2),4)－eq\f(x\o\al(2,0),4))＝0，∴(x1－x0)(x2－x0)＋eq\f(1,16)(x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0.∵M不与A，B重合，∴(x1－x0)(x2－x0)≠0，∴1＋eq\f(1,16)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0，x1x2＋(x1＋x2)x0＋xeq\o\al(2,0)＋16＝0，∴xeq\o\al(2,0)＋8x0＋12＝0，∵Δ＝64－48>0.∴方程xeq\o\al(2,0)＋8x0＋12＝0有解，即抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB.能力拓展提升11.(2025·大纲全国理，10)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)[答案]D[解析]方法一：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝2x－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))不妨设A在x轴上方，∴A(4,4)，B(1，－2)，∵F点坐标为(1,0)，∴eq\o(FA,\s\up16(→))＝(3,4)，eq\o(FB,\s\up16(→))＝(0，－2)，cos∠AFB＝eq\f(\o(FA,\s\up16(→))·\o(FB,\s\up16(→)),|\o(FA,\s\up16(→))|·|\o(FB,\s\up16(→))|)＝eq\f(－8,5×2)＝－eq\f(4,5).方法二：同上求得A(4,4)，B(1，－2)，|AB|＝3eq\r(5)，|AF|＝5，|BF|＝2，由余弦定理知，cos∠AFB＝eq\f(|AF|2＋|BF|2－|AB|2,2·|AF|·|BF|)＝－eq\f(4,5).12.(2025·江西七校联考)如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2.则下列结论不正确的是()A．a1＋c1>a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2C．a1c2<a2c1 D．a1c2>[答案]D[解析]依题意得，a1>a2，c1>c2，a1＋c1＞a2＋c2；两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等，即有a1－c1＝a2－c2；由a1>a2，得eq\f(1,a1)<eq\f(1,a2)，又a1－c1＝a2－c2，因此eq\f(a1－c1,a1)<eq\f(a2－c2,a2)，即有eq\f(c2,a2)<eq\f(c1,a1)，a1c2<a2c1.因此，不正确的结论是D，选D.13．若直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,5)＝1的公共点的个数是()A．0B．1C．2D．无法确定[答案]C[解析]因为直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，所以eq\f(5,\r(m2＋n2))>eq\r(5)，即m2＋n2<5，所以点P(m，n)在圆x2＋y2＝5的内部，而该圆在椭圆eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,5)＝1内部，故点P(m，n)在椭圆eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,5)＝1的内部，所以过点P(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,5)＝1一定相交，故公共点的个数是2.14．(2025·安徽文，14)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.[答案]eq\f(3,2)[解析]本题考查抛物线定义、直线与抛物线的位置关系．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可知x1＋1＝3，x1＝2，∴A(2,2eq\r(2))，则直线AF斜率为k＝eq\f(2\r(2)－0,2－1)＝2eq\r(2)，所以AB方程为y＝2eq\r(2)(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝2\r(2)x－1，))联立消去y得，2x2－5x＋2＝0，解之得x1＝2，x2＝eq\f(1,2)，∴B(eq\f(1,2)，－eq\r(2))，所以|BF|＝x2＋1＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).15．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．(1)求椭圆的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；(3)在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析](1)由已知，椭圆方程可设为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴b＝c＝1，a＝eq\r(2).所求椭圆方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)右焦点F(1,0)，直线l的方程为y＝x－1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2y2＝2，,y＝x－1，))消去x得，3y2＋2y－1＝0，解得y1＝－1，y2＝eq\f(1,3).∴S△POQ＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)|y1－y2|＝eq\f(2,3).(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0<m<1)，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2y2＝2,y＝kx－1))可得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.∴x1＋x2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2k2－2,1＋2k2).eq\o(MP,\s\up16(→))＝(x1－m，y1)，eq\o(MQ,\s\up16(→))＝(x2－m，y2)，eq\o(PQ,\s\up16(→))＝(x2－x1，y2－y1)．其中x2－x1≠0以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形⇔(eq\o(MP,\s\up16(→))＋eq\o(MQ,\s\up16(→)))⊥eq\o(PQ,\s\up16(→))⇔(eq\o(MP,\s\up16(→))＋eq\o(MQ,\s\up16(→)))·eq\o(PQ,\s\up16(→))＝0⇔(x1＋x2－2m，y1＋y2)·(x2－x1，y2－y1)＝0⇔(x1＋x2－2m)(x2－x1)＋(y1＋y2)(y2－y1)＝0⇔(x1＋x2－2m)＋k(y1＋y2)＝0⇔eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k2,1＋2k2)－2m))＋k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k2,1＋2k2)－2))＝0⇔2k2－(2＋4k2)m＝0⇔m＝eq\f(k2,1＋2k2)(k≠0)．∴0<m<eq\f(1,2).16．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为eq\f(\r(3),2)，其中A(0，－b)，B(a,0)．(1)求双曲线的标准方程；(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足eq\o(PN,\s\up16(→))·eq\o(QN,\s\up16(→))＝0，且|eq\o(PQ,\s\up16(→))|＝10，求直线l的方程．[解析](1)依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝2，,\f(ab,\r(a2＋b2))＝\f(\r(3),2)，,a2＋b2＝c2.))解得a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2.所以，所求双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)当直线l⊥x轴时，|eq\o(PQ,\s\up16(→))|＝6，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,3)＝1x>0，,y＝kx－2，))消去y得，(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.①因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程①的两个正根，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(4k2,k2－3)>0，,x1x2＝\f(4k2＋3,k2－3)>0，,Δ＝4k22－43－k2－4k2－3>0，))所以k2>3.②因为eq\o(PN,\s\up16(→))·eq\o(QN,\s\up16(→))＝0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，|eq\o(PQ,\s\up16(→))|＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝eq\f(1,2)|PQ|＝5.又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3，而x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2k2,k2－3)＝3，∴k2＝9，解得k＝±3.∵k＝±3满足②式，∴k＝±3符合题意．所以直线l的方程为y＝±3(x－2)．即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.1．(2025·辽宁文，7)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.eq\f(3,4) B．1C.eq\f(5,4) D.eq\f(7,4)[答案]C[解析]如图所示：∵|AF|＝|AK|，|BF|＝|BM|，∴|AK|＋|BM|＝|AF|＋|BF|＝3，∴AB的中点P到准线的距离为：|PN|＝eq\f(1,2)(|AK|＋|BM|)＝eq\f(3,2)∴点P到y轴的距离为eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).2.(2025·镇江调研)已知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，过它的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB.(1)证明直线AB过定点；(2)求抛物线顶点O在AB上射影M的轨迹方程．[解析](1)不妨设A(2pxeq\o\al(2,1)，2px1)，B(2pxeq\o\al(2,2)，2px2)(x1≠x2)，则