《电路原理》课件-课件-11动态电路的复频域分析

第11章动态电路的复频域分析11.1拉普拉斯变换及其基本性质11.2拉普拉斯反变换11.3动态电路的复频域模型11.4动态电路的复频域分析11.5网络函数11.1拉普拉斯变换及其基本性质

拉氏变换法是一种数学变换，可将高阶微分方程变换为代数方程以便求解。例1对数变换乘法运算简化为加法运算。例2相量法正弦运算简化为复数运算。一、拉氏变换(Laplace

transformation)的定义

拉氏变换：将时域函数f(t)(原函数：originalfunction)变换为复频域函数F(s)(象函数：transformfunction)。1.拉氏变换的定义：s为复频率：f(t)与F(s)一一对应。t<0，f(t)=

0f(t)=

(t)时，此项0正变换反变换F(s)称为象函数，用大写字母表示，如I(s)，U(s)。

f(t)称为原函数，用小写字母表示，如

i(t)，u(t)。

简写2.存在条件对于一个函数f(t)，如果存在正的有限值常数M和c，使下式成立则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。因为

积分公式存在的条件是ƒ(t)需满足狄里赫列条件，且

是收敛的。后一条件的限制性较强，使工程上常用的一些函数不能进行傅立叶变换，其原因是由于t

→∞时，ƒ(t)的减幅太慢。为扩大傅氏变换的使用范围，选正实数σ，用收敛因子e-σt

乘ƒ(t)。只要ƒ(t)随时间的增长不比指数函数快，则可使

收敛。当t﹤0时，e-σt

起发散作用。故ƒ(t)仅限于t

≥

0。这在电路理论中是可行的，因为换路常发生在t

=

0时刻，换路前的历史可用t

=

0时的初始条件概括地表示。于是对e-σtƒ(t)进行傅氏变换，并引入复变量s

=σ

+

jω，便可得到拉氏变换公式。

拉氏变换式的积分下限记为0-，如果

ƒ(t)包含t

=

0时刻的冲激，则拉氏变换也应包括这个冲激。复变量s

=

σ

+jω的实部σ应足够大，使e

-σt

ƒ(t)绝对可积，ƒ(t)的拉氏变换才存在。有些函数tt，e

t2等，不论σ多大都不存在拉氏变换，这些函数在电路理论中用处不大。原函数ƒ(t)是以时间

t为自变量的实变函数，象函数F(s)是以复变量s为自变量的复变函数。ƒ(t)与F(s)之间有着一一对应的关系。

原函数ƒ(t)的拉氏变换，实际上就是ƒ(t)ε(t)e

-σt

的傅氏变换。在

t<0时，ƒ(t)

=

0的条件下，拉氏变换可看作傅氏变换把

jω

换成

s的推广，而傅氏变换（如果存在）则可看作拉氏变换

s

=

jω

的特例。因为ƒ(t)拉氏变换就是将e

-σt

ƒ(t)进行傅氏变换，即把信号ƒ(t)展开为复频域函数F(s)。复变量

s

=

σ

+

jω常称为复频率，称分析线性电路的运算法为复频域分析，而相应地称经典法为时域分析。3.典型函数的拉氏变换(2)单位阶跃函数(1)指数函数(3)冲激函数=

1

二、拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质(linearity)2-1时域微分(time

differentiation)性质

推广：2-2频域微分性质：3.时域积分(time

integration)性质4-1时域平移(time

shift)性质

f(t)

(t)tt

f(t-t0)

(t-t0)t0f(t)

(t-t0)tt0t

f(t-t0)

(t-t0)t0例12

1Ttf(t)?Tt例13

TTf(t)t例14周期函数的拉氏变换...tf(t)1T/2T设f1(t)为第一周函数，且

4-2频域平移(frequency

shift)性质5.初值定理和终值定理初值定理：若

f(t)在t=0处无冲激，则终值定理：若存在，则证：利用导数性质积分微分小结：11.2拉普拉斯反变换由象函数求原函数的方法：(1)利用公式：(2)对F(s)进行数学处理：象函数的一般形式：利用部分分式可将F(s)分解为：令s=

p1，则同理可得……因此求极限法因此方法一方法二一般形式：k1、k2也是一对共轭复根。例19求的原函数

f(t)。方法一：

极点为

方法二：配方法同理可得若为q重根，则解：小结：1)n

=

m时将F(s)化成真分式；1.由F(s)求f(t)的步骤2)求真分式分母的根，确定分解单元；3)求各部分分式的系数；4)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。2.拉氏变换法分析电路正变换反变换11.3动态电路的复频域模型

元件运算阻抗、运算导纳运算形式KCL、KVL

运算形式电路模型一、运算形式的电路定律二、电阻元件的运算形式R：+

u

-iR+

U(s)

-I(s)RL：

iL

+

uL

-

L1/sL+

-IL(s)UL(s)三、电感元件的运算形式+

UL(s)

-sL

IL(s)+

-C：+

uC

-iC

1/sC

IC(s)+

UC(s)

-

四、电容元件的运算形式IC(s)1/sC

UC(s)-+-+-+-++

-+

-sM

I1(s)I2(s)sL1sL2U1(s)+-+-U2(s)五、耦合电感的运算形式ML1i1

i2L2u1u2+-+-六、线性受控源的运算形式Riu1u2+-+-+-RI(s)U1(s)U2(s)+-+-+-七、RLC元件串联的复频域形式iRLCu

+-运算阻抗运算形式欧姆定理I(s)

RsL

1/sCU(s)

+-八、运算电路运算电路如L、C

有初值时，初值应考虑为附加电源。时域电路物理量用象函数表示元件用运算形式表示i1i2RLCRL+-uC

i+-RI1(s)

sL

1/sCRL+-UC(s)

+-I2(s)

时域电路

例22

5Ω1F20Ω10Ω10Ω0.5H50VuC

+-iL+-t=0时打开开关t>0运算电路

200.5s+-1/s25/s2.55IL(s)UC(s)+--+11.4动态电路的复频域分析

步骤：1.由换路前电路计算uC(0-)，iL(0-)。2.画运算电路图。3.应用电路分析方法求象函数。4.反变换求原函数。例23

RC并联电路如图(a)所示，换路前处于零状态。现将该电路接通于单位阶跃电流源，试求uC(t)

和iC(t)。解：作运算电路如图(b)所示。有：+-a

+

-b

在未求出uC(t)

之前，可用初值和终值定理检验结果的正确性。即：符合电路情况。+

-b

对UC(s)进行拉氏反变换，得：又

故得：

t=0时闭合S，求

i1，uL。(2)画运算电路200/s300.1s0.5101000/s100/s-+I2(s)I1(s)+-_+例24

200V30Ω0.1H10Ω-+1000μFi1uC

S

+_uL+-(4)反变换求原函数求UL(s)。UL(s)?200/s300.1s0.5101000/s100/s-+I2(s)I1(s)+-_+例25电路如图(a)所示，开关闭合前处于零状态。求电流i1(t)。a

10Ω

10Ω

10Ω

t=0

1H

1H

+

-

100V

i1(t)10

s+10+

-

b

s+10解：用戴维南定理，如图(b)所示，开路电压及等效阻抗为：故电流的象函数为：所以10V

C+-uC

iC

+-R2

LiL

R1

+-uS(t)

S(t

=0)

①

②

例26已知图示电路已达稳态。其中R1

=

4Ω，R2

=

6Ω，L

=

1H，C

=

0.25F。开关S在t=0时由①打到②，若uS(t)=

(t)，试求uC(t)[清华2011年研招试题]。

解由题意可得4/s+-UC(s)

6

s4

+-1

+-1

+-6/s试比较本例与【例5.35】的方法。例27

电路如图(a)所示，已知R

=

10Ω，L

=

0.05H，iL(0-)=0，

u(t)=

100sin(2000t

+

60o)V，试求电感电流。

选讲R

+

-

u(t)

a

iL(t)i1(t)0.9i1

L

Req

+

-

u0(t)b

iL(t)L解：电感L除外的部分可以用戴维南等效电路替代，如图(b)所示。其中Req可根据图(c)所示电路计算。R

c

i

(t)i1(t)0.9i1

uS

+-由图(b)得不接电感时由图(d)可得：i10=0.9i10

则i10=0

对于正弦电源除直接变换为象函数之外，在计算技巧上也可以用复指数函数Umej(ωt+ψ)

替代Umsin(ωt+ψ)

。则实际电源只是复数电源的虚部。计算结果也将是复数，但其虚部才是真正的答案。现设R

+

-

u(t)

d

i10(t)0.9i10

uoc(t)+-

选讲于是故

选讲其原函数为：最后得：RC+uC

iS

(t)例28求冲激响应。已知(t≥

0)(t≥

0)R1/sC+UC(s)

IS(s)1tuCOtiCO例29

已知C1

=

C2

=

C3

=

2F，uC1(0-)

=

uC2(0-)

=

5V，R

=

2

，uS1

=

10V，

uS2

=

2V，t

=

0时S合向2，求uC2。RuS1

C2+-i2

+uC2-S2+-i3

uS2

+-C1C3uC1i1

解：uC3(0-)=2V，运算电路为：

节点法：10/s21/2s5/s1/2s1/2s5/s2/sI2(s)+-+++---I1(s)I3(s)U(s)3.5452tuC2、uC310/s21/2s5/s1/2s1/2s5/s2/sI2(s)+-+++---I1(s)I3(s)U(s)t=0时打开开关S，求电流

i1(t)。例30

20.3s1.530.1sI1(s)+-10/s-+0.1H+-SR1L1L2R2i1i20.3H10V2Ω3ΩUL1(s)UL2(s)ti1523.75OuL1-6.56t-0.375

(t)0.375

(t)uL2t-2.19ti1523.75O小结：A.运算法直接求得全响应C.运算法分析动态电路的步骤B.

用0-初始条件，跳变情况自动包含在响应中磁链守恒：1.由换路前电路计算uC(0-)，iL

(0-)。2.画运算电路图。3.应用电路分析方法求象函数。4.反变换求原函数。11.5网络函数零状态e(t)r(t)激励响应一、网络函数的定义1.定义：单一激励作用下，电路的零状态

响应r(t)的象函数R(s)与激励e(t)的象函数

E(s)之比为该电路的网络函数H(s)。

例31试求以图示电路的UC(s)为响应的网络函数。解：R1/sC+-US(s)UC(s)+-零状态响应激励函数2.驱动点函数(激励与响应在同一个端口上)驱动点阻抗驱动点导纳若I(s)为激励若U(s)为激励3.转移函数(传递函数：激励与响应不在同一个端口上)

转移导纳转移阻抗电压转移函数电流转移函数

零状态

U(s)I(s)+-

零状态

U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)+-+-4.激励为冲激函数时的网络函数

网络函数是单位冲激响应的象函数。1R(s)零状态

(t)h(t)=

r(t)激励响应5.网络函数的应用1)由网络函数求取任意激励的零状态响应若，则单位阶跃响应为零状态e(t)r(t)激励响应2)由网络函数确定正弦稳态响应在H(s)中令s=jω就可得正弦稳态下的传递函数。

响应相量激励相量图(a)：

解：例32

P中初始值为零。图a中，uoc(t)=(1-e-100t)ε(t)V；

图b中，isc(t)=5e-50tε(t)A；求图c(R

=30Ω)中：

图(b)：

图(d)：

图(c)：

例33

图示电路中，11/

两端接恒定电压源U。已知在t=0时，将一未充电的电容C=1F/3接至22/后(图a)，33/两端电压为现将此未充电的电容与一无储能的电感L=1H串联，在t=0时接入22/端(图b)。求LC接入后33/两端的电压u02。清华大学1999年硕士生入学考试电路原理试题。

线性无源电阻网络

图(a)

C+-+-

线性无源电阻网络

图(b)

CL+-+-解法一图(c)

C+-Req+-L图(d)

C+-Req+-图c、图d分别是图a、图b中22/端下侧的戴维南等效电路。(1)在图c中，由题意得则有(2)在图d中，列写KVL方程，得代入数据得解此微分方程，得uC2的通解为由题意，uC2(0+)=0，iC2(0+)=0，得

得则(3)在图a中，利用替代定理和叠加定理，可得于是(4)在图b中，利用替代定理和叠加定理，可得解法二图a中的电压转移函数即网络函数为图a中的电容的运算阻抗为图b中的电容和电感串联后的运算阻抗为则在图b中的电压转移函数即该网络函数应为则所以二、网络函数的极点和零点

复频率平面

j

O例34

，绘出其极零点图。解：H(s)的零点为

z1=2；z2