电子技术基础（第2版）课件 第3章 电阻电路的一般分析

第3章电阻电路的一般分析主要内容3.1电阻电路的基本概念3.2KCL、KVL独立方程的个数3.3支路电流法3.4网孔电流法与回路电流法3.5节点电压法分析步骤：选择电路变量(电压或电流)，根据KCL、KVL及VCR，列写电路变量的方程，求出电路变量u或i。不改变电路的结构，对于线性电路，电路方程是一组线性代数方程。3.1电阻电路的基本概念1.数学中图是点和边的一个集合，每条边的两端都连到相应的节点上。（但节点可以是孤立的。）2.电路的“图”：把电路中每一条支路画成抽象的线段，节点用点来表示，形成一个点和边的集合。图(a)若认为每一个二端元件构成电路的一条支路，(b)为(a)的“图”图(b)例如：画出下面电路图(a)的“图”。图(c)若将US1与R1的串联看作是一条支路，图(c)为电路图(a)的“图”图(d)若将IS5与R5的并联看作是一条支路，图(d)为电路图(a)的“图”图(a)当用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该电路以及它的图的节点数和支路数将随之而不同。3.(1)有向图：赋予支路方向的图称为“有向图”。此方向即该支路电流（电压与之相关联）的参考方向。例如：图(e)即为图(a)的有向图。图(a)图(e)(2)无向图：不赋予支路方向的图称为“无向图”。例如图(b)、图(c)和图(d)。图(b)图(c)图(d)图(a)图(a)图(b)图(c)图(d)图(a)、(b)、(c)、(d)和(e)都是图(a)的子图。从图上可以看出当去掉边时，节点保留；去掉点时，与点相连的边都去掉。图(e)得到一个图的子图可通过去掉图中的边或点来实现。4.一个图G(V，E)的子图是G1(V1，E1)，则V1

V，E1

E。（一个图是其自身的子图。）V是非空的由有限个顶点(Vertex)所构成的集合,E则是由顶点对所构成的集合5.(1)节点的度（次数）：与一个节点相关联的支路数(2)路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动，到达另一节点所经过的支路构成路径。例如从节点

到节点

的路径为5条。图(e)(3)回路：回路是图的一个子图，回路上的每个节点的次数都是二。（回路是闭合路径，起节点与终节点重合在一起）。(4)连通图：任何二个节点之间至少存在一条路径。（否则就是非连通图，可分成若干个连通片。）上面的图(f)为连通图，而图(g)为非连通图。(5)平面图：把图嵌入一个平面时，适当摆放支路不相交，这样的图称为平面图。（网孔只存在平面图中，网孔所包含的平面无任何支路穿过。）图(f)图(g)6.(1)连通图的“树”：是连通子图且包含全部节点，但不含回路对左图来说，它的树有:(2，3，4)、(1，4，5)等③。(1，2，4)、(2)“树数”：非常巨大。例如上图的树数为16。(3)“树支数”：任何一个树的树支数为（n-1）个。(4)树+树余=图。树余组成连支。连支的数目：b-(n-1)=b-n+1。2个节点其他节点为(n-2)个节点1与节点n构成一条树支，若其他(n-2)个节点各个都与节点1相连，则又形成(n-2)个树支，因此总树枝为(n-1)个。树的支路称为树支，树的补图称为树余，树余的支路称为连支b条支路，n个节点7.单连支回路（基本回路）：对于图的任意一个树，每加入一个连枝后，就会形成一个回路，并且此回路除所加连支外均由树枝组成，这种回路叫单连支回路。由每个连支构成的基本回路是唯一的。基本回路组是独立回路组，根据基本回路列出的KVL方程组是独立方程，方程数目为：b-n+1。连支的数目：b-(n-1)=b-n+18.割集：是一个支路集合，它满足：(1)当移去该支路集合中的所有支路，留下的图是两个分离的而又各自连通的子图；(2)在该支路集合中，保留任一支路而将其余支路都移去，则图仍是连通的。（割集是把一个图能分成两个子图的最少支路的集合。）例如：（1，3，5）就构成了一个割集。做一个封闭面求得割集9.单树枝割集（基本割集）：由树的一条树枝与相应的一些连支构成的割集称为单树枝割集或基本割集。基本割集组是独立割集组，对于有n个节点的连通图，独立割集数目为：(n-1)个。对上图来说，单树枝割集分别是：(1，2，6)、(1，3，5)和(4，5，6)。一个树的树支数为（n-1）个由每个树支构成的基本割集是唯一的。基本回路与基本割集关系（类似树与树余）对于一个节点数为n，支路数为b的连通图G，则基本回路数为b-(n-1)；基本割集数为n-1；基本回路数+基本割集数=支路数以（2,6,4）为树加一条连支构成回路只含一个树支基本回路基本割集（2,6,5）（1,5,2）（3,4,6）（1,5,6,3）（2,6,4,1）（1,4,3）对于同一个树，由某个树支确定的基本割集所包含的连支，每个连支构成的单连支回路中包含该树支。由某个连支确定的单连支回路所包含的树支，每个树支所构成的基本割集中含有该连支。3.2KCL、KVL独立方程的个数

根据KCL、KVL列出方程，确定独立方程数是一关键，可利用数学上图论的知识解决这一问题。一个电路的图如图3-5(a)，节点和支路的编号都已分别标出，并给出了支路的方向，该方向也即支路电流和与之相关联的支路电压的参考方向。一个电路的KCL独立方程数等于它的割集数。对图3-4(c)的节点1、2、3分别列出KCL方程，可得：这三个方程是独立的，而三个方程相加可得此方程即是节点④的KCL方程，以上4个方程任意3个是独立的。由此可见，电路的KCL独立方程数等于它的割集数，即对于具有n个节点的电路，在任意(n-1)个节点上可以得出(n-1)个独立的KCL方程，这(n-1)个节点称为独立节点。图3-4(c)的独立节点可以为①、②和③。

一个电路的KVL独立方程数等于它的独立回路数。图3-5的实线组成树，树支为支路4、5、6，连支为支路1、2、3，由3个连支构成3个基本回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ即网孔。图3-5基本回路的KVL方程对每个网孔列出KVL方程为这一组方程是独立的，相加可得

此方程为图中虚线即支路1、2、3组成回路的KVL方程，以上4个方程任意3个是独立的。所以，电路的KVL独立方程数等于它的基本回路数。对于具有n个节点、b条支路的电路，有(b-n+1)个基本回路，而平面回路的网孔数即为基本回路数。3.3支路电流法一、2b法

对于线性电阻电路，电路方程是一组线性代数方程。根据所选择的分析方法的不同，首先选择电路变量(电流和/或电压)，作为线性方程组的变量，再根据KVL、KCL以及元件的伏安特性，用观察(不需要改变电路的结构)的方法建立方程。

设某电路有b条支路，由于每条支路均有一个支路电流和支路电压，那么整个电路就有2b个待求的变量，以2b个变量列方程，解方程，求解电流、电压的分析方法叫做2b法。例如，用2b法解右图所示电路，列出方程。

如果将R1与US1的串联看作一条支路，将R5与IS5的并联也看作一条支路，则此电路中支路数为6条，节点数为4。作出此电路图的图，如图(b)所示。图(b)图(a)图(b)根据图(b)，分别列出KCL、KVL和VCR方程。KCL：选择网孔作回路列KVL方程KVL：VCR：2b法优点：任何电路都可解；缺点：未知量太多，方程数目太多二、支路电流法（将VCR带入KVL中，列KCL、KVL方程）VCR：1.已知KVL：2.将VCR方程带入下式中可得：2.将独立电压源及用独立电流源和电阻乘积表示的电压放在右边，方程可写为：即可表示为：3.列出支路电流法的电路方程步骤如下：

画图、选定各支路电流的参考方向。

根据KCL对(n-1)个独立节点列方程。

任选(b-n+1)个独立回路，指定回路绕行方向，按列KVL方程。电势升的代数和

求解b个方程式，解出b个电流。4.检验：(1)对未用的节点看KCL是否满足；(2)对未选的回路看KVL是否满足。三、特例：若一条支路仅含有电流源而不存在与之并联的电阻时，就无法将支路电压以支路电流表示。解：对节点列KCL方程对中间的网孔列KVL方程补充方程解得：例：电路如图所示，求电流I1、I2和I3。例：如图所示电路，试求电路中的电流I1、I2和U。解：运用支路电流法求解。该电路有3个节点，分别用

,

和

表示。5条支路，要求的电流为I1、I2，其余3条支路的电流设为I3、I4和I5。选择节点

为参考点，对节点

、

列写KCL方程；对3个网孔列写KVL方程：KCL：I1＋I3－I5＝0I5－I2－I4＝0

－4I1＋4I3＝84I1＋5I2＋2I5＝0－5I2＋3I4＝－6KVL：解得：I3I4I53.4网孔电流法与回路电流法一、思路：1.对支路电流法来说，b条支路，列b个方程式，数目还太大。2.分析：(1)若i1+i2+i3=0，则i1=-i2-i3，从中可以看出对于一个KCL方程式来说，有一个i是不独立的。(2)G(n,b)中独立的KCL方程数为(n-1)个，故(n-1)个电流是不独立的，则独立的电流为(b-n+1)个。正好等于网孔数（独立回路数）。网孔电流法1.假想电流，沿平面电路的网孔连续流动，称此电流为网孔电流。网孔电流是一组独立的、完备的网络变量。

设出网孔电流im1，im2，将上式带入KCL方程中，有2.KCL方程为：-i1+i2+i3=0即0=0，网孔电流从各节点流入一次，流出一次。所以网孔电流自动满足KCL方程。则有：im1im2

列KVL方程：将网孔电流带入KVL方程中，可得：im1im2写成一般形式：一般形式：其中：上面的式子中，R11是网孔1的自电阻，R22是网孔2的自电阻，R12与R21是网孔1和网孔2的互电阻。uS11是网孔1电压源电位升的代数和，uS22是网孔2电压源电位升的代数和。互电阻正负号与两个网孔电流通过互电阻的参考方向是否相同有关，相同取正，相反取负im1im2二、对具有m个网孔的平面电路列方程R11Im1＋R12Im2＋…＋R1nImn＝US11R21Im1＋R22Im2＋…＋R2nImn＝US22┆┆┆┆Rn1Im1＋Rn2Im2＋…＋RnnImn＝USnn三、解题步骤(1)规定网孔电流的方向。(2)列出网孔电流的方程（实际是电压方程）。(3)解此方程（消元法、行列式）。(4)规定支路电流的参考方向，由网孔电流求得支路电流(5)检验：对外网孔列KVL方程式，计算

Ri是否等于

uS。例：已知如图(a)所示电路，用网孔电流法求电路中的电流I1、I2和U。图(a)图(b)网孔1:

8Im1－4Im2＝8网孔2:

－4Im1＋11Im2－5Im3＝0网孔3:－5Im2＋8Im3＝－6解：设出网孔电流，如图(b)所示。解得:最终求得:8Im1－4Im2＝8－4Im1＋11Im2－5Im3＝0－5Im2＋8Im3＝－6一、思路：网孔对应的树是唯一的，不能灵活选取网孔电流独立电流数目为(b-n+1)个，树支数目为(n-1)个，连支数目为(b-n+1)个，正好等于独立电流数目。il1il2il31.在图选择（4，5，6）为树支，则构成3个单连支回路。设回路电流为il1、il2、il3，方向如图所示则有：il1=i1il2=i2il3=i3且有：i4=-il1+il2i5

=-il1-il3i6

=-il1+

il2-il3说明全部支路电流可以通过回路电流表达。回路电流是一组独立的、完备的网络变量。回路电流法2.与网孔电流法方程式相似，回路电流法一般方程形式为：R11il1＋R12il2＋…＋R1lill＝uS11R21il1＋R22il2＋…＋R2lill＝uS22┆┆┆┆Rl1il1＋Rl2il2＋…＋Rllill＝uSll3.解题步骤：(1)选一个树，选连支电流为回路电流。(2)列出回路电流的方程（算出各回路的自阻和互阻及uS）(3)解此方程（各支路电流由此求出）。(4)检验。网孔电流法是回路电流法的一种特殊形式三、例题例1：已知下图所示电路中US1=50V，US3=20V，IS2=1A，此电流源为无伴电流源。试用回路法列出电路的方程。解：假设回路电流Il1、Il2、Il3如图所示Il1Il2Il3沿各回路的KVL方程为：Il1=1A-40Il1+95Il2-25Il3=3010Il1-25Il2+45Il3=0需要求U时，列出：40Il1-40Il2+10Il3-U=-US1即可求解各支路的电流、电压。例2：已知如图所示的电路，试求电路中的电压U。Il2Il3Il1解：假设回路电流Il1、Il2、Il3如图所示沿各回路的KVL方程为：(2+3+4)Il1－4Il2－3Il3＝2I＝2Il1－4Il1＋(4+5)Il2－5Il3＝－6Il3＝2A整理后得：7Il1－4Il2＝6－4Il1＋9Il2＝4求出：则U＝5×(2－I2)＝5×(2－52/47)＝3.5节点电压法一、思路：(2)列KVL独立方程时，式子数目是(b-n+1)个，即有(b-n+1)个支路电压不独立，故独立的支路电压数目为(n-1)个。选取(n-1)个独立电压的方法是：1.选一个节点为参考节点，其他节点为独立节点，独立节点与参考节点之间的电压称为节点电压un1，un2，…，un(n-1)。2.对电路选好一个树，以树支电压为变量，叫树支电压法。(1)若u1+u2+u3=0，则u1=-u2-u3，从中可以看出对于一个KVL方程式来说，有一个u是不独立的。二、举例说明：1.如图所示，选节点为参考节点，节点、、为独立节点，节点与节点之间的电压，称为节点电压un1，同理节点与节点之间的电压称为节点电压un2，节点与节点之间的电压称为节点电压un3。（设参考节点的电位为零）根据电路图，可列出下面的式子：u14=un1u24=un2u34=un3u12=u14-u24=un1-

un2u23=u24-u34=un2-

un3u13=u14-u34=un1-

un3由式子可知，每个支路电压都可以用节点电压表示，且KVL方程能自动满足。所以说，节点电压是独立的、完备的变量。2.节点电压法只能列KCL方程。(1)利用电源等效变换将电路图等效变换，将图(a)虚线框内的电压源与电阻的串联等效变换成图(b)电流源与电阻的并联。(2)等效电流源大小为uS3/R3，方向如下图所示：图(a)图(b)根据图(b)列KCL方程：KCL