数列的概念选择题专项训练单元达标学能测试试题

数列的概念选择题专项训练单元达标学能测试试题一、数列的概念选择题1．已知数列满足，，则的值不可能是（）A．2 B．4 C．10 D．14答案：B解析：B【分析】先由题中条件，得到，由累加法得到，根据，，逐步计算出所有可能取的值，即可得出结果.【详解】由得，则，所以，，……，，以上各式相加可得：，所以，又，所以，则，因为，，则，所以，则或，所以或；则或，所以或；则或或，所以或或；则或或，所以或或；……，以此类推，可得：或或或或或或或或或或，因此所有可能取的值为，所以所有可能取的值为，，，，，，，，，，；则所有可能取的值为，，，，，，，，，，，即ACD都有可能，B不可能.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到，将问题转化为求的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.2．已知数列满足则数列的最大项为（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】本题先根据递推公式进行转化得到．然后令，可得出数列是等比数列．即．然后用累乘法可求出数列的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列的最大项．【详解】解：由题意，可知：．令，则．，数列是以为首项，为公比的等比数列．．．，，．各项相乘，可得：．．令，则，根据二次函数的知识，可知：当或时，取得最小值．，，的最小值为．．数列的最大项为．故选：．【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；3．正整数的排列规则如图所示，其中排在第行第列的数记为，例如，则等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022答案：C解析：C【分析】根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果.【详解】根据题意，第1行第1列的数为1，此时，第2行第1列的数为2，此时，第3行第1列的数为4,此时，据此分析可得:第64行第1列的数为，则，故选：C.4．已知定义在上的函数是奇函数，且满足，数列满足，且，为的前n项和，，则（）A．1 B．3 C．-3 D．0答案：C解析：C【分析】判断出的周期，求得的通项公式，由此求得.【详解】依题意定义在上的函数是奇函数，且满足，所以，所以是周期为的周期函数.由得①，当时，，当时，②，①-②得（），所以，.所以故选：C【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于对称，则这个函数是周期函数，且周期为.5．已知数列{an}满足若a1=,则a2019=(

)A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论．【详解】∵，又∵a1，∴a2＝2a1﹣1＝21，a3＝2a2，a4＝2a3＝2，a5＝2a4﹣1＝21，故数列的取值具备周期性，周期数是4，则＝＝，故选B．【点睛】本题主要考查数列项的计算，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口．6．已知数列的首项为1，第2项为3，前项和为，当整数时，恒成立，则等于（）A．210 B．211 C．224 D．225答案：D解析：D【分析】利用已知条件转化推出，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可．【详解】解：结合可知，，得到，故数列为首项为1，公差为2的等差数列，则，所以，所以，故选：D．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．7．已知数列的通项公式为（），若为单调递增数列，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】由已知得，根据为递增数列，所以有，建立关于的不等式，解之可得的取值范围.【详解】由已知得，因为为递增数列，所以有，即恒成立，所以，所以只需，即，所以，故选：A.【点睛】本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出是解决此类问题的关键，属于基础题.8．已知等差数列中，，则（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】利用等差数列的通项公式代入可得的值.【详解】由，得，则有.故选：B.【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.9．若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式.【详解】设所求数列为，可得出，，，，因此，该数列的一个通项公式为.故选：C.【点睛】本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.10．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】首先根据已知条件得到，再依次判断选项即可得到答案.【详解】由题知：，对选项A，，故A错误；对选项B，，故B错误；对选项C，，C正确；对选项D，，故D错误.故选：C【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.11．数列的一个通项公式是（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】根据数列项的规律即可得到结论．【详解】因为数列3，7，11，的一个通项公式为，故数列，，，，的一个通项公式是，故选：C．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，利用条件找到项的规律是解决本题的关键．12．数列满足，，则的值为（）A．1 B．-1 C． D．答案：B解析：B【分析】根据数列的递推公式，代入计算可得选项.【详解】因为，，所以，故选：B.【点睛】本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.13．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】由，当n2时，an＋1－an0，当n2时，an＋1－an0，从而可得到n＝2时，an最大.【详解】解：，当n2时，an＋1－an0，即an＋1an；当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n2时，an＋1－an0，即an＋1an.所以a1a2＝a3，a3a4a5…an，所以数列中的最大项为a2或a3，且.故选：A.【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.14．已知数列，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，，则数列的前2020项和为（）A．5 B． C．0 D．答案：B解析：B【分析】根据数列的递推关系可求得数的周期为，即可求得数列的前2020项和.【详解】，且，，是以为周期的周期数列，且，，故选：B.【点睛】本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.15．已知数列满足，，且，则数列的前项和为（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】将题干中的等式化简变形得，利用累乘法可求得数列的通项公式，由此计算出，进而可得出数列的前项和.【详解】，将此等式变形得，由累乘法得，，，，因此，数列的前项和为.故选：B.【点睛】本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.二、数列多选题16．已知数列中，，，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数可能为（）A．－4 B．－2 C．0 D．2答案：AB【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】，，则，，，，上述式子累加可得：，，对于任意的恒成立解析：AB【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】，，则，，，，上述式子累加可得：，，对于任意的恒成立，整理得对于任意的恒成立，对A，当时，不等式，解集，包含，故A正确；对B，当时，不等式，解集，包含，故B正确；对C，当时，不等式，解集，不包含，故C错误；对D，当时，不等式，解集，不包含，故D错误，故选：AB.【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.17．已知数列满足，，则下列各数是的项的有（）A． B． C． D．答案：BD【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．【详解】因为数列满足，，；；；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3；故选：．【点睛】本题主要解析：BD【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．【详解】因为数列满足，，；；；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3；故选：．【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．18．已知数列是等差数列，前n项和为且下列结论中正确的是（）A．最小 B． C． D．答案：BCD【分析】由是等差数列及，求出与的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断.【详解】设等差数列数列的公差为.由有，即所以,则选项D正确.选项A.,无法判断其是否有最小解析：BCD【分析】由是等差数列及，求出与的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断.【详解】设等差数列数列的公差为.由有，即所以,则选项D正确.选项A.,无法判断其是否有最小值，故A错误.选项B.,故B正确.选项C.,所以，故C正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件得到，即，然后由等差数列的性质和前项和公式判断,属于中档题.19．已知等差数列的前n项和为且则（）A． B．当且仅当n=7时，取得最大值C． D．满足的n的最大值为12答案：ACD【分析】由题可得，，，求出可判断A；利用二次函数的性质可判断B；求出可判断C；令，解出即可判断D.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，，，且，对于A，，故A正确；对于B，的对称解析：ACD【分析】由题可得，，，求出可判断A；利用二次函数的性质可判断B；求出可判断C；令，解出即可判断D.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，，，且，对于A，，故A正确；对于B，的对称轴为，开口向下，故或7时，取得最大值，故B错误；对于C，，，故，故C正确；对于D，令，解得，故n的最大值为12，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值.20．无穷等差数列的前n项和为Sn，若a1＞0，d＜0，则下列结论正确的是（）A．数列单调递减 B．数列有最大值C．数列单调递减 D．数列有最大值答案：ABD【分析】由可判断AB，再由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD.【详解】根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A正确；由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B正解析：ABD【分析】由可判断AB，再由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD.【详解】根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A正确；由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B正确；由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列先正后负，所以数列先增再减，有最大值，C不正确，D正确.故选：ABD.21．设是等差数列，是其前项和，且，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．的最大值答案：ABD【分析】由，判断，再依次判断选项.【详解】因为，，，所以数列是递减数列，故，AB正确；，所以，故C不正确；由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D正确.故选：AB解析：ABD【分析】由，判断，再依次判断选项.【详解】因为，，，所以数列是递减数列，故，AB正确；，所以，故C不正确；由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的前项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.22．设d为正项等差数列的公差，若，，则（）A． B． C． D．答案：ABC【分析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；，C正确；，所以，D错误.【点睛】本题考查等差数列的性解析：ABC【分析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；，C正确；，所以，D错误.【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定的范围，由通项公式写出各项（用表示）后，可判断．23．定义为数列的“优值”已知某数列的“优值”，前n项和为，则（）A．数列为等差数列 B．数列为等比数列C． D．，，成等差数列答案：AC【分析】由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A正确，然后利用等差数列的前n项和公式求出，判断C，D的正误.【详解】解：由，得，所以时，，得时，，即时，，当时，由解析：AC【分析】由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A正确，然后利用等差数列的前n项和公式求出，判断C，D的正误.【详解】解：由，得，所以时，，得时，，即时，，当时，由知，满足．所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B错，所以，所以，故C正确．，，，故D错，故选：AC．【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n项和的求解，难度一般.24．已知数列的前n项和为则下