《工程力学》课件-第十一章 应力状态和强度计算

第十一章应力状态和强度计算第一节应力状态的概念第二节平面应力状态分析（应力圆）第三节三向应力圆及最大切应力第四节广义的胡克定律第五节强度理论简介第六节其他强度理论简介第七节电测应力分析介绍第一节

应力状态的概念一、点的应力状态从前面几章的讨论可知，杆件受外力作用发生变形时，往往杆内同一截面上的内力元素不是单一的，而且各点的应力会随该点在截面上的位置而变化，而且过杆上任一点沿不同方位的斜截面上的应力值又各不相同。例如，直杆受轴向拉伸（压缩）时，过杆上任一点的任意斜截面上的应力值σα和τα，均为斜截面方位角α的函数。

二、点的应力状态的研究方法要研究某点处的应力状态，可以围绕该点取一个边长为无穷小的正六面体———单元体来分析。下面说明单元体的取法和分析过程。二、点的应力状态的研究方法如图所示受横力弯曲的简支梁，为了分析梁的下边缘上Ｂ点的应力状态，可围绕Ｂ点以两个横截面、两个纵向水平面和两个纵向铅垂面截取一个单元体，如图所示。由于单元体的边长为无穷小，可设以下两点假定：１）单元体各个面上的应力是均匀分布的。２）单元体上任意两个平行面上的应力，其大小和性质完全相同。分析Ｂ点的受力情况可知，该单元体只有左右两个面上有正应力σ，且σ＝ＭＢ／Ｗｚ可用图ｃ所示平面单元表示。用同样的方法在梁的上边缘Ａ点，中性层处的Ｃ点及任意Ｄ、Ｅ处截取单元体，分别得到这些点的应力状态如图ｄ、ｅ、ｆ、ｇ所示。这些单元体均称为原始单元体。主平面：切应力为零的截面主应力：主面上的正应力一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为

1,

2,

3且规定按代数值大小的顺序来排列,即主单元体：各侧面上切应力均为零的单元体三、主平面和主应力四、应力状态的分类1.单向应力状态：只有一个主应力不等于零2.二向应力状态：两个主应力不等于零3.空间应力状态：三个主应力均不等于零通常将单向和二向应力状态称为平面应力状态，将二向和三向应力状态称为复杂应力状态。

1

1

2

2

1

1

3

1

2

2

3

1第二节平面应力状态分析x

xyz

y

x

y

x

y

x

y平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有

x,x

和

y,y符号规定：正应力仍规定拉应力

为正切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转

为正由x轴转到外法线n,逆时针转向时

为正一、斜截面上的应力假想地沿斜截面E-F将单元体截开,留下左边部分EBF作为研究对象xya

x

x

y

xEFB

x

x

y

y

α

ααnα设斜截面的面积为dA,BE的面积为dAcos

,BF的面积为dAsin

efα对研究对象列n和t方向的平衡方程得efa

x

x

y

y

α

ααnα化简以上两个平衡方程最后得t(11-1)(11-2)二、应力圆

将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去

,得1.应力圆的概念（a）（b）可以看出，在以和σ为纵横坐标的平面坐标系内，式（ｂ）的图像为圆，其圆心坐标为，圆的半径而圆周上任一点的纵横坐标值，则分别代表所研究单元体内某一斜截面上的切应力和正应力。这样的圆称为应力圆。应力圆上的点的纵横坐标与单元体上的截面的正切应力有着一一对应的关系，这种关系简称为点面对应。2.应力圆的作法1）建立σＯ直角坐标系2）按选定的比例尺，在σＯ

坐标系中定出Ｄ１（σｘ、

ｘ）点和Ｄ２（σｙ、－

ｙ）点，则Ｄ１、Ｄ２两点分别代表单元体上法线为ｘ轴和ｙ轴的平面。３）连接Ｄ１和Ｄ２两点，连线Ｄ１、Ｄ２与横轴得交点Ｃ。以Ｃ点为圆心，ＣＤ１或（ＣＤ２）为半径作圆，此圆即为图ａ所示单元体的应力圆。下面证明上述作圆的正确性。由图b说明Ｃ点即式（ｂ）所示应力圆的圆心，ＣＤ１即该圆的半径。3.利用应力圆求斜截面上的应力同理可证＝

α。（证明过程从略）欲求单元体α斜截面上的应力（图ａ），可将半径ＣＤ１与单元体上α同转向旋转２α角，转至ＣＥ处，则Ｅ点的横坐标ＯＦ及纵坐标ＥＦ分别为该斜截面上的正应力σα和切应力

α之值。这种关系简称为转角二倍。其证明如下：三、主应力和最大切应力的确定由图ｂ可知，从Ｄ１点顺时针转２α０角即到Ａ１点。这意味着，在单元体上从ｘ轴顺时针转α０角，就可以得到主应力σ１所在主平面的外法线位置（如图ｃ）。并且单元体两个主平面的实际夹角为９０0。利用应力圆可以很方便地确定主应力的大小及主平面的方位。在图ｂ中，Ａ１和Ａ２两点分别代表了单元体内的两个主平面，因此Ａ１和Ａ２点的横坐标ＯＡ和ＯＡ即为单元体的主应力σ１和σ２（σ３＝０）。所以（11-3）（11-4）（11-5）（11-6）（11-7）例１１-１一单元体应力状态如图ａ所示。已知σｘ＝－２０ＭＰａ，σｙ＝４０ＭＰａ，τｘ＝２０ＭＰａ，τｙ＝－２０ＭＰａ。用应力圆求１）α＝３０°斜截面上的应力；２）主应力与主平面的位置；３）最大切应力。例１１-２根据应力状态理论，分析塑性材料和脆性材料圆杆扭转破坏现象。解圆轴扭转时（图ａ），最大切应力发生在圆杆表面处，表面上点Ｋ的单元体如图ｂ所示。单元体上的切应力τｘ＝Ｍ／Ｗｎ，单元体上下及两侧表面上无正应力。对于塑性材料，如用低碳钢等制成的圆杆，扭转时沿横截面破坏，因为横截面上只有切应力，说明塑性材料的抗剪能力差（图ｄ）。对于脆性材料，如用铸铁等制成的圆杆，扭转时沿与轴线成４５°方向破坏，因４５°截面上只有拉应力，说明脆性材料的抗拉能力差（图ｅ）。第三节三向应力状态的最大应力若构件上某一点处于三向应力状态，可围绕该点沿三个主平面切出一个单元体，如图ａ所示。下面讨论如何确定该点的任意截面上应力的数值范围以及最大切应力。首先用一个与主应力σ３平行的截面将单元体截开，取三棱柱体（图ｂ）为研究对象。由于主应力σ３所在两平面上的力自相平衡，斜截面上的应力仅与σ１和σ２有关，因而平行于σ３的各截面上的应力，可由σ１和σ２所确定的应力圆上相应点的坐标值表示（图ｃ）。同理可知，以σ２和σ３所作应力圆上各点的坐标，代表了单元体内与σ１平行的各截面上的应力；以σ１和σ３所作应力圆上各点的坐标，代表了单元体内与σ２平行的各截面上的应力。上述三个应力圆都画出图ｃ上。可以证明，对于与三个主应力均不平行的任意斜截面上的应力，其值均位于图ｃ所示的三圆所围成的阴影区域内。该三圆可称为三向应力圆。由此可见，在三向应力状态下，最大和最小正应力为(11-8)(11-9)而最大切应力为位于与σ１和σ３均成４５°的斜截面内。第四节广义胡克定律现研究如图所示主单元体沿三个主应力方向的线应变，这种线应变称为主应变。

3

1

2

2

3

1

1

1

2

2

3=++

3首先讨论应变ε１的计算。根据单向应力状态下的胡克定律可知，三个主应力σ１、σ２和σ３各自对ε１的影响分别为同理可求出ε２和ε３。由此得广义胡克定律为式中，ε１、ε２和ε３均称为主应变。式（１１-１０）中各应力和应变值的符号规定与前面各章节一致。对于非主单元体，在弹性范围内，切应力对线应变没有影响，故一般单元体的三向应变仍可按式（１１-１０）计算。(11-10)第五节强度理论简介一、强度理论的概念通过前面的学习可知，当构件处于轴向拉伸（压缩）时，其强度条件为式中的σ０是由实验测得的。但是，工程中有许多构件的危险点是处于复杂应力状态，其单元体中σ１、σ２和σ３的不同组合代表了不同的应力状态。如果还是仿照拉（压）杆的强度计算方式来解决问题，就需要将三个主应力按不同比例组合逐个进行实验，这显然是不现实的。因此，解决这类问题需要找出一个能够根据轴向拉、压实验所求得的σｓ或σｂ值，来确定在复杂应力状态下的强度条件的方法。这就需要考虑材料破坏的原因。据实验和观察，尽管材料的破坏从表面看是十分复杂的现象，但总不外乎是脆性断裂或塑性屈服两种现象或发生显著的塑性变形，致使构件不能正常工作。同一类型的破坏可以认为是由某一个特定的因素所致，找出这个因素，即可通过简单的拉、压实验结果来推测材料在复杂应力状态下的破坏，从而建立相应的强度条件。所谓强度理论，也就是关于材料的某一类破坏是由什么因素引起的假说。二、四种常见的强度理论依据材料的破坏类型，相应地就有两类强度理论：一类是以断裂破坏为标志，主要有最大拉应力理论和最大拉应变理论；另一类是以塑性屈服为破坏标志，主要有最大切应力理论和形状改变比能理论。１.最大拉应力理论（第一强度理论）此理论认为：不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力σｌ达到单向拉伸下发生脆性断裂时的极限应力值σｂ，则材料就发生脆性断裂破坏。据此，材料发生断裂破坏的条件是引入安全因数后，其强度条件为（11-11）式中，σｘｄ１称为第一强度理论的相当应力；［σ］为单向拉伸时的许用应力。实验证明，脆性材料在二向或三向拉伸，以及存在压应力而最大压应力不超过最大拉应力值时，该理论较适用。２.最大伸长线应变理论（第二强度理论）这一理论认为，最大伸长线应变是使材料发生脆性断裂的原因。也就是说：不论材料处于何种应力状态，只要最大伸长线应变ε１达到了单向拉伸断裂时的最大伸长线应变值ε１ｊｘ，材料就会发生断裂破坏，因此断裂破坏的条件为ε１＝ε１ｊｘ（11-11a)根据胡克定律，式（11-11a）可改写成(11-12)引入安全因数后，第二强度理论的强度条件为式中，σｘｄ２为第二强度理论的相当应力。实验证明，这一理论能够较好地解释石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时，沿横向发生断裂的现象。它虽然考虑了σ２和σ３的作用，但并不能描述材料破坏的一般规律。３最大切应力理论（第三强度理论）这一理论认为，最大切应力是材料产生塑性屈服破坏的原因。也就是说：不论材料处于何种应力状态；只要最大切应力τｍａｘ达到材料在单向拉伸下发生屈服破坏的最大切应力值τｓ，材料就会发生屈服破坏。因此，材料发生塑性屈服破坏的条件为(11-12a)(11-12b)据式（11-9）有将式（11-12ｂ）代入式（11-12ａ），得强度条件(11-13)式中，σｘｄ３是按第三强度理论计算的相当应力。实验证明，这一理论可以较好地解释塑性材料出现塑性变形的现象。但是，由于它没有考虑σ２的影响，故按这一理论设计构件偏于安全。４形状改变比能理论（第四强度理论）（１）形状改变比能的概念在弹性体的变形过程中，外力相对于位移而做功，静载时若忽略其他损失，可认为此功全部转化为弹性体的变形能。通常将单元体的变形能分解为体积改变能和形状改变能两部分。对应于单元体的形状改变而积蓄的那一部分变形能称形状改变能，单位体积内的形状改变能称为形状改变比能，用Ｕ表示。在复杂应力状态下，形状改变比能为式（11-14）的推导过程从略。材料在单向拉伸屈服时（σ１＝σｓ，σ２＝σ３＝０）的形状改变比能为(11-14)(11-14a)（２）第四强度理论这一理论认为，形状改变比能是引起材料发生屈服破坏的原因。也就是说：不论材料处于何种应力状态，只能形状改变比能Ｕ达到材料在单向拉伸屈服时的形状改变比能Ｕｘｓ，材料就会发生屈服破坏。由此得材料的屈服条件为(11-14b)(11-15)将式（11-14）和式（11-14a）代入式（11-14b）中，并考虑安全因数后，可得强度条件为式中，σｘｄ４是按第四强度理论计算的相当应力。实验表明，第四强度理论比第三强度理论更符合实验结果，因此在工程中得到广泛的应用。5.四个强度理论的适用范围１）在三向拉伸应力状态下，不论是脆性材料还是塑性材料，都会发生断裂破坏，应采用最大拉应力理论。２）在三向压缩应力状态下，不论是塑性材料还是脆性材料，都会发生屈服破坏，适于采用形状改变比能理论或最大切应力理论。３）一般而言，对脆性材料宜用第一或第二强度理论，对塑性材料宜采用第三和第四强度理论。例１１-３转轴边缘上某点的应力状态如图所示。试用第三和第四强度理论建立其强度条件。例１１-４试校核图所示焊接梁的强度。已知梁的材料为Ｑ２３５，其许用应力［σ］＝１７０ＭＰａ，［τ］＝１００ＭＰａ。其他条件如图所注。３）梁的弯曲正应力强度校核。危险点在梁的跨中截面Ｅ的上、下边缘处，应力状态如图ｅ所示，即计算结果尚在强度许可范围内。４）梁的切应力强度校核。危险点在两支座内侧截面的中性轴上，应力状态如图所示５）梁的主应力强度校核。危险点在Ｃ（或Ｄ）外侧截面上的翼缘与腹板交界处，应力状态如图所示，即按第四强度理论校核。将主应力的表达式代入第四强度理论的强度条件中，可简化为计算结果在强度允许限度之内。对于国家标准的型钢（工字钢、槽钢）来说，并不需要对腹板与翼缘交界处的点用强度理论进行校核。因为型钢截面在腹板与翼缘交界处有圆弧，而且工字钢翼缘的内边又有１∶６的斜度，因而增加了交界处的截面宽度，保证了在截面上下边缘处的正应力和中性轴上的切应力都处于不超过允许应力的情况下，腹板与翼缘交界处附近各点一般不会发生强度不够的问题。第六节其他强度理论简介一、莫尔理论该理论既考虑了材料的正应力，也考虑了材料的压应力，相对而言较为合理，其表达式为式中，［σｌ］为材料的许用拉应力；［σｙ］为材料的许用压应力。不难看出，对于塑性材料，其表达式与第三强度理论表达式相同。二、双切强度理论该理论由以我国俞茂宏教授为首的研究组研究提出，其单元体模型是正交八面体，考虑了单元体上的全部应力分量。它通过中间主切应力τ１,２或τ２,３而自然地引入中间主应力σ２，使得中间主应力效应，这几十年来为人们所关心而没有很好解决的难题，得到理论上的证明。其结果与一些新的实验符合得更好。它的材料利用率与单切应力理论相比，可提高三分之一左右。该理论自２０世纪７０年代以来已在国际上产生了很大影响。双切强度理论的定义是：当作用于单元体上的最大切应力和中间切应力函数到达某一极限时，材料即发生屈服。数学表达式为可见，以Ｂ为参数的包括无限多个一簇双切屈服准则，可称为“双切统一屈服准则”。不难看出，当Ｂ＝２时，即与第三强度理论相吻合。三、平方主切应力屈服准则该理论是我国石寒副教授潜心研究的结果。其单元体模型是菱形十二面体，即由三组主切应力的作用面所组成的一种空间等分体。其屈服准则的定义是：当两个较小的主切应力之平方和达到某极限值时，材料将开始屈服。数学表达式为式中，ｆ（σｍ）为平均应力的幂函数。将ｆ（σｍ）展开并取至二次，则有式中，Ａ、Ｂ、Ｃ为材料常数，可通过材料的剪切屈服试验而确定。第七节电测应力分析介绍一、实验应力分析概述对工程中的实际构件进行应力分析时，理论分析方法往往都作了某些简化，与真实情况有一定的偏差，还需要通过实验进行验证；有些工程问题甚至难以进行理论分析，只能通过实验方法对实际结构或模型进行应力测定，再辅以理论分析来解决。这种通过实验来研究和分析构件应力大小及分布规律的方法，称为实验应力分析。常用的实验应力分析方法有电测法、光测法、全息光弹性法、云纹法和涂层法等。由于电测法具有灵敏度高、传感元件小和适应性强等优点，在工程中应用广泛，成为工程技术人员常用的一种实验测量手段。二、电测法的基本原理电测法是通过贴在构件被测点处的电阻应变片，将被测点的应变值转换为应变片的电阻变化，再用电阻应变仪测出应变片的电阻改变，并直接转换输出应变值，然后依据胡克定律计算出构件被测点的应力值大小。因此，电测法的主要设备包括电阻应变片和电阻应变仪两部分。１.电阻应变片及其传感原理电测法是以电阻应变片作为传感元件，常用的应变片有金属电阻应变片和半导体应变片两类。金属电阻应变片有高电阻合金材料制成丝式、箔式和薄膜式，目前以箔式应变片应用较多，其结构形式如图ａ所示，它是用厚度为０.００３～０.０１ｍｍ的康铜或镍铬箔片借光刻腐蚀制成栅状。半导体材料制成的电阻应变片一般分为体型、薄膜型和扩散型等形式，如图ｂ所示。相对金属电阻应变片而言，半导体应变片具有应变灵敏度高、电阻值高且可微型化等优点，但是存在温度系数大、稳定性差及变换非线性较大等缺点。半导体应变片有时不接应变仪就能得到一定的输出值，从而降低测量仪器的成本，但是在精密测量中仍大多采用金属电阻应变片。测量时，用特种胶水将应变片粘贴在构件的欲测部位上，使应变片的电阻丝随构件一起变形。如以ΔＬ表示电阻丝长度的改变量，以ΔＲ表示电阻丝电阻值的改变量，由实验得知，电阻应变片相对长度的变化（即应变）在一定范围内与其相对电阻的变化成线性关系，即(11-18)式中，Ｋ称为电阻应变片的灵敏系数。Ｋ值愈大，表示应变片对变形的敏感性愈高。由此可见，只要测得电阻的改变率ΔＲ／Ｒ，就可按式（11-18）求得构件所测部位的应变ε的大小。由于实际构件的变形往往很小，要保证所测应变的精度就必须保证相应电阻改变量ΔＲ的测量精度。采用一般的电表不能做到这一点，必须使用特别的电阻应变仪。２.电阻应变仪的测量原理电阻应变仪测定电阻应变片的电阻变化是以惠斯顿电桥原理为基础的，常用的测量电桥有平衡电桥（此时称零读数法）和不平衡电桥（此时称偏转法）两种。（１）平衡电桥若用应变片代替电阻Ｒ１，应变片的阻值可用零读数法读出，即电桥平衡时Ｉｇ＝０，电桥平衡条件为Ｒ１Ｒ４＝Ｒ２Ｒ３，Ｒ１＝Ｒ３Ｒ２／Ｒ４。当应变片电阻变化ΔＲ１时，设Ｒ３和Ｒ４为定值，调Ｒ２至Ｒ２＋ΔＲ２，使电桥达到平衡，应变片电阻值的变化为图11-12ａ是直流平衡电桥，Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３和Ｒ４为电桥的四个臂，１、２端接检流计，内阻为Ｒｇ，３、４端间加上电源Ｕ后，在检流计中流过的电流为Ｉｇ。（11-19）将调节臂电阻Ｒ２的值刻度为被测应变值，就能读出ΔＲ１值。此法仅适合于静态应变的测量。对电阻变化较快的动态应变测量，则来不及使电桥平衡，因而不能采用零读数法，而使用偏转法，即不平衡电桥法。（２）不平衡电桥不平衡法是指应变片阻值的变化可以用流过检流计中的电流Ｉｇ来表示。如图ｂ所示的电桥，设Ｒ１＝Ｒ２＝Ｒ３＝Ｒ４＝Ｒ，各电阻的改变量分别为ΔＲ１、ΔＲ２、ΔＲ３、ΔＲ４，此时电桥不平衡，据式（１１-１８），通过检流计中的电流Ｉｇ可导出（11-20）（３）温度补偿原理根据电工学知识，当被测构建的温度变化时，必须考虑温度的变化对应变片电阻率的影响，以及应变片和构件因材料线膨胀系数不同而造成的影响。为了消除上述影响，可以选一个与Ｒ１相同的应变片，贴在与被测构件相同的材料上，并放置在温度变化相同的环境中，作为电桥的另一臂Ｒ２，如图所示，从而消除了温度变化对电桥平衡的影响。三、电测法的