课时跟踪检测(六)　向量的数量积

课时跟踪检测(六)向量的数量积(满分100分,选填小题每题5分)1.在等腰Rt△ABC中,若C=90°,AC=2,则BA·BC的值等于()A.-2 B.2C.-22 D.222.已知a,b是互相垂直的单位向量,若c=a-2b,则b·c=()A.-2 B.-1 C.0 D.23.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b的方向上的投影向量的模为()A.2 B.3 C.23 D.44.已知|a|=3,|b|=6,当a∥b时,a·b=()A.18 B.-18C.±18 D.05.已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为60°,则|3a-4b|=()A.5 B.13 C.32 D.136.在四边形ABCD中,AB=DC,且(AB+AD)·(AB-AD)=0,那么四边形ABCD为()A.平行四边形 B.矩形C.菱形 D.正方形7.已知a,b是单位向量,c=a+2b,若a⊥c,则|c|=()A.3 B.7C.3 D.28.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明,极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图,若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则AD·GB=()A.9 B.-9C.12 D.-129.(多选)已知正三角形ABC的边长为2,设AB=2a,BC=b,则下列结论正确的是()A.|a+b|=1 B.a⊥bC.(4a+b)⊥b D.a·b=-110.已知|a|=2,b是非零向量,e是与向量b方向相同的单位向量,向量a在向量b上的投影向量为-e,则a与b的夹角为()A.45° B.60°C.120° D.135°11.若|a|=3,|b|=4,a·b=-12,则向量a和b的夹角为.

12.已知△ABC中,BC=7,AC=8,C=60°,则BC·CA=.

13.已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是.

14.(17分)在△ABC中,已知|AB|=5,|BC|=4,|AC|=3,求:(1)AB·BC;(2)AC在AB上的投影向量;(3)AB在BC上的投影向量.15.(18分)已知向量e1与e2是夹角为π3的单位向量,且向量a=3e1+4e2,b=2e1+λe2(1)求|a|;(2)若a⊥(a+b),求实数λ的值.课时跟踪检测(六)1．选B·＝||||cosB＝2×eq\r(2)×cos45°＝2.2．选Ab·c＝b·(a－2b)＝b·a－2b2＝0－2＝－2.故选A.3．选C因为a在b的方向上的投影向量为|a|cos30°×eq\f(b,|b|)＝4×eq\f(\r(3),2)×eq\f(b,2)＝eq\r(3)b，所以a在b的方向上的投影向量的模为|eq\r(3)b|＝2eq\r(3)，故选C.4．选C若a与b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a||b|cos0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角为180°，所以a·b＝|a||b|cos180°＝3×6×(－1)＝－18.5．选D因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9|a|2＋16|b|2－24a·b＝9×12＋16×12－24×1×1×eq\f(1,2)＝13，所以|3a－4b|＝eq\r(13)，故选D.6．选C由＝，可得四边形ABCD是平行四边形．由(＋)·(－)＝0，得2－2＝0，即2＝2，所以||＝||.所以四边形ABCD为菱形．故选C.7．选C因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.又a⊥c⇒a·c＝0，即(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝0⇒a·b＝－eq\f(1,2).又c＝a＋2b⇒|c|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝1－2＋4＝3，所以|c|＝eq\r(3).8．选B由题意可知，AD＝5，HE＝1，设AH＝x，由勾股定理可得(x＋1)2＋x2＝52，解得x＝3，所以sin∠ABH＝eq\f(3,5)＝cos∠GBC，所以·＝||||cos(π－∠GBC)＝5×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－9.9．选CD分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B错误；∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∴|a＋b|＝eq\r(3)，故A错误；∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C正确；a·b＝1×2×cos120°＝－1，故D正确．10．选D设向量a与b的夹角为θ.由题意可知向量a在向量b上的投影向量为eq\f(a·b,|b|)e，则eq\f(a·b,|b|)e＝－e，所以eq\f(a·b,|b|)＝－1，即eq\r(2)cosθ＝－1，所以cosθ＝－eq\f(\r(2),2).因为0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.11．解析：设向量a和b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－12,3×4)＝－1.因为0°≤θ≤180°，所以θ＝180°.答案：180°12．解析：因为C＝60°，BC＝7，AC＝8，所以·＝－·＝－7×8×cos60°＝－28.答案：－2813．解析：由α⊥(α－2β)知，α·(α－2β)＝0，则2α·β＝1，所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10.故|2α＋β|＝eq\r(10).答案：eq\r(10)14．解：(1)因为||＝5，||＝4，||＝3，所以||2＋||2＝||2，即AC⊥BC，所以cosB＝＝eq\f(4,5).所以·＝||||cos(π－B)＝5×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－16.(2)由(1)知，AC⊥BC，所以cosA＝＝eq\f(3,5)，所以在上的投影向量为||cosA·＝3×eq\f(3,5)×＝eq\f(9,25).(3)由(1)知，cosB＝eq\f(4,5)，所以在上的投影向量为||cos(π－B)·＝5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×＝－.15．解：(1)由题意知，e1·e2＝1×1×coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).因为a＝3e1＋4e2，所以|a|＝eq\r((3e1＋4e2)2)＝eq\r(9e\o\al(2,1)＋24e1·e2＋16e\o\al(2,2))＝eq\r(9＋24×\f(1,2)＋16)＝eq\r(37).(2)因为向量a＝3e1＋4e2，b＝2e1＋λe2，所以a