10.1.1　两角和与差的余弦

10.1.1两角和与差的余弦(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)[课时目标]1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,了解它们的内在联系.3.掌握两角和与差的余弦公式的正用、逆用、变形用,并能进行求值、计算.两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α-β)cos(α-β)==________________α,β∈R两角和的余弦公式C(α+β)cos(α+β)=___________________α,β∈R|微|点|助|解|两角和与差的余弦公式的结构特征(1)公式中的α,β都是任意角,既可以是一个角,也可以是几个角的组合.如cosα+β2-α-β2中的(2)cos(α-β)=cosα-cosβ一般不成立,但在特殊情况下也可能成立.例如:当α=0°,β=60°时,cos(0°-60°)=cos0°-cos60°.(3)要掌握公式的逆用,如cos(α+β)cosβ+sin(α+β)·sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα.基础落实训练1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)存在角α,β,使cos(α-β)=cosα+cosβ.()(2)对于任意角α,β,总有cos(α-β)=cosα-cosβ.()(3)对于任意角α,β,总有cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.()(4)存在角α,β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ.()2.cos72°cos12°+sin72°sin12°=()A.-12 B.1C.-32 D.3.不满足sinαsinβ=22-cosαcosβ的一组α,β值的是()A.α=π2,β=π4 B.α=2π3,C.α=2π3,β=π12 D.α=π4,4.化简cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.题型(一)给角求值[例1]求下列各式的值:(1)cos63°sin57°+sin117°sin33°;(2)sin245°sin125°+sin155°sin35°;(3)12cos15°+32听课记录:|思|维|建|模| 解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分.[针对训练]1.若a=(cos100°,sin100°),b=(cos10°,sin10°),则a·b=()A.cos110° B.sin110°C.1 D.02.(1)cos105°=;

(2)cos5π12cosπ6+cosπ题型(二)给值(式)求值[例2]已知α,β为锐角,且cosα=45,cos(α+β)=-1665,求cosβ的值.听课记录:|思|维|建|模|给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的,因此在解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换:①α=(α-β)+β;②α=α+β2+α-β2;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-[针对训练]3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,则cos(α-β)=()A.-3m B.-m3C.m3 D.34.已知cos(2α-β)=-22,sin(α-2β)=22,且π4<α<π2,0<β<π4,求cos(α题型(三)给值求角[例3]已知cosα=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2,求β的值听课记录:[变式拓展]将本例中条件“cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2”换为“cos(α+β)=-1114,且α,β∈0,π2”|思|维|建|模|已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角.[针对训练]5.已知0<α<β<π2,cos2α+cos2β+1=2cos(α-β)+cos(α+β),则()A.α+β=π6 B.α+β=C.β-α=π6 D.β-α=10.1.1两角和与差的余弦◉课前预知教材cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ-sinαsinβ[基础落实训练]1.(1)√(2)×(3)×(4)√2.选Bcos72°cos12°+sin72°sin12°=cos(72°-12°)=cos60°=123.选C因为sinαsinβ=22-cosαcosβ,所以cos(α-β)=22.对于A,cos(α-β)=cosπ4=22,符合题意;对于B,cos(αcosπ4=22,符合题意;对于C,cos(α-β)=cos7π12=cosπ3+π4=12×22-32×22=2-cos(-π4)=22,4.解析:cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=cos[(α+β)-α]=cosβ.答案:cosβ◉课堂题点研究[例1]解:(1)原式=cos63°cos33°+sin63°·sin33°=cos(63°-33°)=cos30°=32(2)原式=sin(270°-25°)sin(90°+35°)+sin(180°-25°)sin35°=-cos25°cos35°+sin25°sin35°=-cos(25°+35°)=-cos60°=-12(3)原式=cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos(60°-15°)=cos45°=22[针对训练]1.选Da·b=cos100°cos10°+sin100°sin10°=cos(100°-10°)=cos90°=0.2.解析:(1)原式=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°=12×22-32×2(2)原式=cos5π12cosπ=cos5π12-π6答案:(1)2-64([例2]解:∵0<α<π2,0<β<π∴0<α+β<π.由cos(α+β)=-1665得sin(α+β)=1-co=1--1665又∵cosα=45,∴sinα=3∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-1665×45+6365×[针对训练]3.选A法一因为cos(α+β)=m,所以cosαcosβ-sinαsinβ=m,而tanαtanβ=2,所以sinαsinβ=2cosαcosβ,故cosαcosβ-2cosαcosβ=m,即cosαcosβ=-m,从而sinαsinβ=-2m,故cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3m,故选A.法二设cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=t,因为cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=m,所以cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ-sinαsinβ4.解:因为π4<α<π2,0<β<所以π4<2α-β<π,-π4<α-2β<因为cos(2α-β)=-22,所以sin(2α-β)=2因为sin(α-2β)=22,所以cos(α-2β)=2所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=-22×22+22×[例3]解:由cosα=17,0<α<π得sinα=1-cos2α=1-由0<β<α<π2,得0<α-β<π又∵cos(α-β)=1314∴sin(α-β)=1-co=1-13142由β=α-(α-β),得cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×∵0<β<π2,∴β=π[变式拓展]解:∵α,β∈0,π2且cosα=17,cos(α+β)=-1114,∴α+β∈π2,π,sin∴sin(α+β)=1-cos2(又∵β=(α+β)-α,∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-1114×17+5314又∵β∈0,π2,∴β=[针对训练]5.选D由2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),则cos[(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-