10.2　二倍角的三角函数

10.2二倍角的三角函数(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)[课时目标]1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.二倍角公式三角函数公式简记正弦sin2α=

S2α余弦cos2α=cos2α-sin2α==

C2α正切tan2α=2tanαT2α|微|点|助|解|(1)二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍角,α是α2的二倍角等,“倍”是描述两个数量之间关系的,这里蕴含着换元思想(2)由任意角的三角函数的定义可知,S2α,C2α中的角α是任意的,但要使T2α有意义,需要α≠π4+kπ2(k∈(3)一般情况下,sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.(4)二倍角的常用变形形式:①1+cos2α=2cos2α;②cos2α=1+cos2α2;③1-cos2α=2sin2α;④sin2α=基础落实训练1.已知sinα=35,cosα=45,则sin2α=2.已知cosα=13,则cos2α=.3.cos245°-sin245°=.

4.已知tanα=43,则tan2α=.题型(一)给角求值[例1]求下列各式的值.(1)sinπ12cosπ12;(2)1-2sin(3)2tan150°1-tan2150°;(4)听课记录:|思|维|建|模|给角求值的解题策略(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦.[针对训练]1.求下列各式的值.(1)tan22.5°1-ta(2)cos8π7cos16π(3)cos5π16sin题型(二)给值求值[例2](1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cosαsinβ=16,则cos(2α+2β)=(A.79 B.1C.-19 D.-(2)已知sinπ4-x=513,0<x<π4,则听课记录:|思|维|建|模|1.条件求值问题常有两种解题途径(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢;(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.2.注意几种公式的灵活应用(1)sin2x=cosπ2-2=2cos2π4-x-1=1-2sin(2)cos2x=sinπ2-2=2sinπ4-x[针对训练]2.若sinπ6-α=13,则cos2π3A.-13 B.-C.13 D.3.若tanα=2,则sin2α-cos2α1+cosA.76 B.C.16 D.-题型(三)利用二倍角公式化简与证明[例3](1)化简:sin2x(2)求证:3-4cos2A+cos4A3+4cos2听课记录:|思|维|建|模|三角函数式的化简方法三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”“弦化切”;三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等.[针对训练]4.化简:(1)2cos(2)1tan10.2二倍角的三角函数◉课前预知教材2sinαcosα2cos2α-11-2sin2α[基础落实训练]1.解析:sin2α=2sinαcosα=2×35×45=答案:242.解析:cos2α=2cos2α-1=2×132-1=-答案:-73.解析:cos245°-sin245°=cos90°=0.答案:04.解析:tan2α=2tanα1-tan2答案:-24◉课堂题点研究[例1]解:(1)原式=2sinπ12cosπ12(2)原式=cos(2×750°)=cos1500°=cos(4×360°+60°)=cos60°=12(3)原式=tan(2×150°)=tan300°=tan(360°-60°)=-tan60°=-3.(4)原式=cos10°-=2=4(sin30°cos10°-cos30°sin10°)=4sin20°sin20°=4[针对训练]1.解:(1)原式=12×=12×tan45°=1(2)cos8π7cos=-cosπ7cos=-2sin=-2sin=-2sin4π7cos4π(3)cos5π=cos5π16cosπ16-sin5[例2]解析:(1)因为sin所以sinαcosβ=12所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12+16=所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×232=19,(2)因为0<x<π4,所以π4-x∈又sinπ4-x=513,所以cos又cos2x=sinπ=2sinπ4-=2×513×1213=cosπ4+=sinπ4-x所以原式=120169513答案:(1)B(2)24[针对训练]2.选Bcos2π3+2α=-cosπ3-2α=-cos2π6-α3.选A原式=2sin=2tanα-1+tan2α[例3]解:(1)sin2=sin2=2sinxcos=sinx·cosx2cosx(2)证明:因为左边=3-4cos2=1-c