11.1　第2课时　余弦定理的应用

第2课时余弦定理的应用(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)[课时目标]进一步学习余弦定理,能利用余弦定理解决实际应用问题及在平面几何中的应用.题型(一)余弦定理的实际应用[例1]一艘轮船按照北偏东40°方向,以18海里/时的速度直线航行,一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上,经过20分钟的航行,轮船与灯塔的距离为63海里,则灯塔与轮船原来的距离为()A.6海里 B.12海里C.6海里或12海里 D.63海里听课记录:|思|维|建|模|余弦定理在解决实际问题中的策略首先分析此题属于哪种类型的问题(如:测量距离、高度、角度等),然后依题意画出示意图,把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个定理转化,哪个定理求解,并进行作答,解题时还要注意近似计算的要求.[针对训练]1.如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200m,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,则塔高AB=.题型(二)利用余弦定理证明恒等式[例2]如图,已知▱ABCD,求证:AC2+BD2=2(AB2+AD2).听课记录:|思|维|建|模|(1)利用余弦定理的前提是必须在三角形中,在四边形中如何选择有用的三角形是关键;(2)任何一个三角形都不可能包含四边,因此必须选择两个三角形;(3)几何证明的关键是把有关量放到三角形中,借助余弦定理建立它们的关系,从而达到证明的效果,其中构造合适的三角形是关键.[针对训练]2.在△ABC中,求证:b2+c2=abcosC+accosB+2bccosA.题型(三)余弦定理与平面图形结合[例3]在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BD=CD=1.(1)若AB=32,求BC(2)若AB=2BC,求cos∠BDC.听课记录:|思|维|建|模|解三角形广泛应用于解各种平面图形,解题时可将问题纳入三角形中去解决,理清已知条件与待求问题,再根据余弦定理建立未知量与已知量的关系式来求.[针对训练]3.如图,在△ABC中,AB=2,A=60°,点F为AB的中点,且CF2=AC·BC.求AC的长.第2课时余弦定理的应用[例1]选A如图,设轮船原来在A处,航行20分钟后到达B处,C为灯塔的位置,根据条件可得∠BAC=120°,AB=18×2060=6(海里),BC=63海里由余弦定理可得cos120°=AB2+AC2解得AC=6(AC=-12舍去).故灯塔与轮船原来的距离为6海里.[针对训练]1.解析:在Rt△ABC中,∠ACB=45°,若设AB=h,则BC=h;在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD=3h.在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD,即2002=h2+(3h)2-2h·3h·32所以h2=2002,解得h=200(h=-200舍去),即塔高AB=200m.答案:200[例2]证明:设∠ABC=α,∠BCD=π-α.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosα①.在△BCD中,由余弦定理得BD2=CD2+BC2-2CD·BC·cos(π-α)②.又cos(π-α)=-cosα,CD=AB,BC=AD,将①②两式相加,得AC2+BD2=2(AB2+AD2).[针对训练]2.证明:法一右边=ab·a2+b2-c22ab+ac·a2+c2-b22ac+2bc·b2+c2-a法二BC=BA+AC⇒BC·(BA+AC)=(BA+AC)2⇒BC·BA+BC·AC=BA2+2BA·AC+AC2⇒accosB+abcosc2+b2-2bccosA⇒b2+c2=abcosC+accosB+2bccosA.[例3]解:(1)在△ABD中,根据余弦定理可得,cosA=AB2+AD2-BD22·AB·AD=9所以cos∠BDC=cosA=34在△BCD中,根据余弦定理可得,BC2=BD2+CD2-2·BD·CD·cos∠BDC=1+1-2×34=12,所以BC=(2)设AB=2BC=2a,在△ABD中,根据余弦定理可得,cosA=AB2+AD在△BCD中,根据余弦定理可得,cos∠BDC=BD2+CD2-BC22·BD·CD=1+1-a22×1×1=2-a22,所以2-a22=a,解得a=3-1或a=[针对训练]3.解:在△ACF中,AF=12AB=1,A=60°由余弦定理得CF2=AC2+AF2-2AC·AF·cosA=AC2+1-AC.在△ABC中,由余弦定理得CB2=AC2