第5节　古典概型、概率的基本性质

INNOVATIVEDESIGN第5节古典概型、概率的基本性质第十章计数原理、概率、随机变量及其分布汇报人：1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件发生的概率.3.当直接求某一事件的概率较为复杂时,可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率.CONTENTS目录01知识诊断自测02考点聚焦突破03课时对点精练ZHISHIZHENDUANZICE知识诊断自测011.古典概型一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是________

(简称为有限性),而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小________

(简称为等可能性),则称这样的随机试验为古典概率模型.有限的都相等2.古典概型的概率公式假设样本空间含有n个样本点,如果事件C包含m个样本点,则事件C的概率P(C)=_________.

3.概率的性质性质1:对任意的事件A,都有0≤P(A)≤1;性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0;性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=____________;性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=________;性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B),由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1.性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).P(A)+P(B)1-P(B)互斥事件概率加法公式的推广:P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).常用结论与微点提醒×1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其样本点是“发芽与不发芽”.(

)(2)“在区间[-3,2]上任取一个数,求它取自[-3,0]的概率属于古典概型.(

)(3)不可能事件发生的概率为0,必然事件发生的概率为1.(

)(4)若P(A)+P(B)=1,则A,B互相对立.(

)解析对于(1),两个样本点是“发芽”与“发不发芽”,因在适宜条件下,所以一定发芽,样本点不具备等可能性;对于(2),样本空间是无限的,故都不属于古典概型;(4)P(A)+P(B)=1时,A,B不一定对立,如掷骰子一次A为“掷出偶数点”,B为“掷出点数不大于3”,P(A)+P(B)=1,但A,B不对立.×√×D

D

0.5

4.(人教A必修二P245练习T1改编)已知P(A)=0.5,P(B)=0.3且B⊆A,则P(A∪B)=

,P(AB)=

.

解析

P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(B)=0.3.

0.3KAODIANJUJIAOTUPO考点聚焦突破02

B

考点一古典概型

C求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法:适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题,注意在确定样本点时(x,y)可看成是有序的,如(1,2)与(2,1)不同;有时也可看成是无序的,如(1,2)与(2,1)相同.(3)排列组合法:在求一些较复杂的样本点个数时,可利用排列或组合的知识.思维建模训练1(1)(2025·1月八省联考)有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8.现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为

.

(2)(2024·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为

.

例2

从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里,遇到红灯个数的概率如表所示:红灯个数0123456个及6个以上概率0.020.1a0.350.20.10.03求:(1)表中字母a的值;解由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.考点二概率基本性质的应用(2)至少遇到4个红灯的概率;解设事件A为“遇到红灯的个数为4”,事件B为“遇到红灯的个数为5”,事件C为“遇到红灯的个数为6个及6个以上”,则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C,因为事件A,B,C互斥,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33,即至少遇到4个红灯的概率为0.33.

复杂事件概率的求解方法(1)对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的事件,当这些事件彼此互斥时,原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其对立事件,通过求其对立事件的概率,然后转化为所求问题.思维建模

C

AB

例3

(2025·黑龙江联考)2025年春节联欢晚会为广大观众献上了一场精彩纷呈的文化盛宴.某中学寒假社会劳动与实践活动小组对某市市民发放了3

000份问卷,调查市民对春节联欢晚会的满意度情况,从收回的问卷中随机抽取300份进行分析,其中女性与男性市民的人数之比为1∶1,统计结果如表所示:

女性男性合计满意120

不满足

60

合计

用样本估计总体,将频率视为概率.考点三古典概型的综合应用(1)完成2×2列联表,在犯错误的概率不超过0.01的前提下,能否认为市民对春节联欢晚会的满意度情况与性别有关系;解依题意得2×2列联表:

女性男性合计满意12090210不满足306090合计150150300

(2)分别估计该市女性与男性市民对春节联欢晚会满意的概率;

α=P(χ2≥k)0.100.050.01k2.7063.8416.635有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题,无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息,准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.思维建模训练3某城市100户居民的月平均用电量(单位:千瓦时)以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240), [240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值;解由(0.0020+0.0095+0.0110+0.0125+x+0.0050+0.0025)×20=1得x=0.0075,所以直方图中x的值是0.0075.

(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[240,260),[260,280),[280,300]的三组用户中,用分层随机抽样的方法抽取6户居民,并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目,求参加节目的2户来自不同组的概率.

KESHIDUIDIANJINGLIAN课时对点精练03一、单选题1.下列试验是古典概型的是(

) A.在区间[-1,5]上任取一个数x,使x2-3x+2>0 B.抛掷一枚质地不均匀的骰子,向上点数为6点的概率 C.向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率 D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言,甲被选中的概率

解析

A中,在区间[-1,5]内的数有无限多个,不满足有限性; B中,骰子不均匀,不能保证等可能性; C中,圆面内的点有无限多个,不满足有限性; D中,老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限,甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.D

C

D4.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为(

) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8

解析由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位:cm)内的概率和该同学的身高超过175cm的概率和为1,

故所求概率为1-0.2-0.5=0.3.B

D6.(2025·南京模拟)有5个形状大小相同的球,其中3个红色、2个蓝色,从中一次性随机取2个球,则下列说法正确的是(

) A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件 B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件 C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率 D.“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率C

A

C

CD

10.(2025·衡水调研)中国篮球职业联赛中,某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表:ABC投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是(

)A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18C.P(C)=0.27 D.P(B∪C)=0.55

AD血型ABABO该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以互相输血,O型血的人可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB型血的人输血,其他不同血型的人不能互相输血,则(

)A.任找一个人,其可以给B型血的人输血的概率是0.64B.任找一个人,B型血的人能给其输血的概率是0.29C.任找一个人,其可以给O型血的人输血的概率为1D.任找一个人,其可以给AB型血的人输血的概率为111.(2025·西安调研)黄种人群中各种血型的人所占的比例如表:解析因为B型血、O型血的人可以给B型血的人输血,所以可以给B型血的人输血的概率为0.29+0.35=0.64,故A正确;B型血的人能给B型血、AB型血的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,故B错误;O型血的人只能接受O型血的人输血,故C错误;由任何血型的人都可以给AB型血的人输血,知D正确.三、填空题12.(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为

.

13.由于夏季炎热,某小区用电量过大,据统计,一天停电的概率为0.3,现在用数据0,1,2表示当天停电;用3,4,5,6,7,8,9表示当天不停电,现以两个随机数为一组,表示连续两天停电情况,经随机模拟得到以下30组数据. 28

21

79

14

56

74

06

89

53

90 14

57

62

30

93

78

63

44

71

28 67

03

53

82

47

23

10

94

02

43

根据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为

.

0.4

四、解答题