第2章 平面向量及其应用 5.1向量的数量积 北师大版高中数学必修第二册课件

第二章5.1向量的数量积基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.了解向量数量积的物理背景,即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量与投影数量.3.会利用向量数量积的运算律和性质进行计算或证明.基础落实·必备知识一遍过知识点一

向量的数量积的定义

如图,已知两个非零向量a和b,作

=b,向量a与b的夹角∠AOB记为<a,b>或θ(0°≤θ≤180°).|a||b|cosθ称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|cosθ.

该值与3个量有关规定零向量与任一向量的数量积为0.当0°≤<a,b><90°时,a·b>0;当<a,b>=90°时,a·b=0;当90°<<a,b>≤180°时,a·b<0;当<a,b>=0°时,a·b=|a||b|;当<a,b>=180°时,a·b=-|a||b|.名师点睛对数量积含义的理解(1)向量的数量积a·b,不能表示为a×b或ab.(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果是一个向量.(3)两个向量的数量积为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦值的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角θ的余弦值决定.[人教A版教材习题]已知△ABC中,=b,当a·b<0或a·b=0时,试判断△ABC的形状.思考辨析自主诊断[人教A版教材例题]已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=,求a·b.知识点二

投影

不是向量,而是一个数量,可正,可负,可为0投影向量

2.由向量投影的定义,可以得到向量的数量积a·b的几何意义:b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cosθ的乘积(如右图);或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cosθ的乘积.名师点睛1.a在b上的投影与b在a上的投影是不同的.2.向量b在向量a方向上的投影数量不是向量而是数量,它的符号取决于a与b的夹角θ的余弦值.思考辨析按照投影数量的定义,非零向量b在a方向上的投影数量为|b|cosθ,我们可以如何借助图形分析其正负?提示

自主诊断判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)向量a在向量b方向上的投影一定是正数.(

)(2)向量a在向量b上的投影数量等于向量b在向量a上的投影数量.(

)××2.按照投影数量的定义,非零向量b在a方向上的投影数量为|b|cosθ,我们可以如何借助图形分析其具体情况?提示

知识点三

数量积的运算律与性质1.数量积的运算律对任意的向量a,b,c和实数λ:(1)交换律:a·b=b·a;(2)与数乘的结合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb);(3)关于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.2.数量积的性质(1)若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos<a,e>;(2)若a,b是非零向量,则a·b=0⇔a⊥b;(3)a·a=|a|2,即|a|=(5)|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.名师点睛1.已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即若已知向量a,b,c,b≠0,a·b=b·c

a=c.2.对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.3.常用运算公式(1)(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2.(2)(a-b)·(a-b)=|a|2-2a·b+|b|2.(3)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.思考辨析在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0;在向量数量积的运算中,能由a·b=0推出a=0或b=0吗?提示

不能.当a·b=0时,a=0或b=0或a≠0,b≠0,但a⊥b.自主诊断判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)两个向量的数量积是一个向量.(

)(2)若a·b=b·c,则一定有a=c.(

)(3)(a-b)·c=a·c-b·c.(

)××√重难探究·能力素养速提升探究点一平面向量的数量积角度1.数量积的简单计算【例1】

已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)(2a-b)·(a+3b).(2)(2a-b)·(a+3b)=2|a|2+5|a||b|cos

120°-3|b|2=8-15-27=-34.规律方法

求向量的数量积时,需明确两个关键点,相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律进行化简,再进行数量积运算.角度2.几何图形中向量数量积的计算【例2】

在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠DAB=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则

=

.

-1

解析

因为AD∥BC,且∠DAB=30°,所以∠ABE=30°.因为AE=BE,所以∠EAB=30°.所以∠AEB=120°.所以在△AEB中,AE=BE=2.规律方法

1.解决几何图形中向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.探究点二投影向量与投影数量【例3】

已知向量a,b,c,其中|a|=3,|b|=4,a与c的夹角θ=120°,b与c的夹角γ=45°.(1)若|c|=1,求a在c方向上的投影向量;(2)求a+b在c方向上的投影数量.变式探究本例改为若|c|=3,求b在c方向上的投影向量和投影数量.规律方法

(1)投影向量的求法①向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cos

θ

e(其中e为与b同向的单位向量),它是一个向量,且与b共线,投影向量的方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定.②向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cos

θ(2)投影数量:a在b方向上的投影数量为|a|cos<a,b>=a·探究点三向量数量积运算律的综合应用【例4】

(1)[2024四川南充高三检测]已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,<a,b>=,则a·(a+b)=(

)A.-2 B.-1 C.0 D.2C(2)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角θ为60°,求(a+2b)·(a-3b).解

(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos

θ-6|b|2=62-6×4×cos

60°-6×42=-72.变式探究若将本例(2)中条件“a与b的夹角为60°”改为“a与b的夹角为120°”,结论如何?解

(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos

θ-6|b|2=62-6×4×cos

120°-6×42=-48.规律方法

熟练掌握两向量的数量积的定义及运算律,是解决此类问题的关键.计算形如(ma+nb)·(pa+qb)的数量积可仿照多项式乘法的法则展开计算,再利用数量积的定义求解.A.10

B.12

C.-10

D.-12A本节要点归纳1.知识清单:(1)向量数量积的定义;(2)投影向量与投影数量;(3)向量数量积的运算性质.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:(1)向量夹角共起点;(2)a·b>0两向量夹角为锐角(易忽视零角),a·b<0

两向量夹角为钝角(易忽视平角).学以致用·随堂检测促达标123451.下列说法正确的是(

)A.单位向量都相等B.若a与b都是单位向量,则a·b=1C.0·a=0D.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线C解析

A,单位向量的模为1,但方向不一定相同,错误;B,若a与b都是单位向量,当夹角为0时a·b=1,当夹角不为0时,a·b≠1,错误;C,由向量数乘仍为向量,模扩大或缩短相应的倍数,知0·a=0,正确;D,若a与b共线,b与c共线,当b为零向量时,则a与c不一定共线,错误.故选C.12345B123453.[2024广东珠海高三期末]已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a·(a+b)=-1,则|a+2b|=(

)B123454.已知|b|=3,向量a在向量