人教高中数学A版必修二《数系的扩充和复数的概念》复数课件

高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI7.1.1数系的扩充和复数的概念第七章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.了解数系的扩充与引进复数的必要性.(数学抽象)2.通过方程的解认识复数,并理解复数的有关概念.(数学抽象)3.掌握复数相等的充要条件及其应用.(数学运算、逻辑推理)课前篇自主预习激趣诱思虚数的单位i最早是由欧拉引入的,他取imaginary(想象的,假想的)一词的首字母作为虚数单位,i=,于是一切虚数都具有bi的形式.但虚数的确定要归功于18世纪两位业余数学家,一位是挪威的测绘员威赛尔,另一位是巴黎的会计师阿尔干.知识点拨知识点一、复数的概念及其表示1.复数的定义我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.规定i·i=i2=-1.2.复数的表示复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时,复数z=a+bi都有a,b∈R,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.要点笔记z=a+bi(a,b∈R)的虚部是b,而不是bi.微练习(1)复数z=2+5i的实部等于

,虚部等于

.

(2)若复数z=(2a-1)+(3+a)i(a∈R)的实部与虚部相等,则a=

.

(3)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.若复数z=x+yi,则复数z的实部与虚部分别为x,y.(

)答案(1)2

5

(2)4

(3)×解析(1)复数z=2+5i的实部等于2,虚部等于5.(2)由已知得2a-1=3+a,所以a=4.知识点二、复数相等在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.名师点析(1)根据两个复数相等的定义知,在a=c且b=d两式中,如果有一个不成立,那么a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).(2)如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则不能比较大小.(3)复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据,是复数问题实数化这种数学思想方法的体现.微练习已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,则x+y=

.

答案5知识点三、复数的分类1.复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下:2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系:微练习

(2)若复数z=(m-2)+(m+1)i是纯虚数,则实数m=

.

课堂篇探究学习探究一对复数相关概念的理解例1(多选题)下列说法错误的是(

)A.复数由实数、虚数、纯虚数构成B.若复数z=3m+2ni,则其实部与虚部分别为3m,2nC.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数D.若a∈R,a≠0,则(a+3)i是纯虚数分析根据复数及其相关概念进行分析判断.答案ABD解析A错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.B错,只有当m,n∈R时,才能说复数z=3m+2ni的实部与虚部分别为3m,2n.C正确,复数z=x+yi(x,y∈R)为纯虚数的条件是x=0且y≠0,只要x≠0,则复数z一定不是纯虚数.D错,只有当a∈R,且a≠-3时,(a+3)i才是纯虚数.要点笔记判断复数概念方面的命题真假的注意点(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念,注意它们之间的区别与联系;(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同;(3)注意通过列举反例来说明一些命题是假命题.变式训练1下列说法正确的是(

)A.1-ai(a∈R)是一个复数B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数C.两个复数一定不能比较大小D.若a>b,则a+i>b+i答案A解析由复数的定义知A正确;当a∈R,b=0时a+bi(b∈R)表示实数,故B项错误;如果两个复数同时是实数时,可以比较大小,故C项错误;a+i与b+i不能比较大小,故D项错误.探究二复数的分类及其应用例2已知复数z=(m2-2m)+

i,其中m∈R.当m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数.分析根据复数分类的标准及条件,建立关于实数m的方程或不等式(组),求解m满足的条件.反思感悟利用复数的分类求参数的方法及注意事项(1)利用复数的分类求参数时,首先应将复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式,若不是这种形式,应先化为这种形式,得到实部与虚部,再求解;(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解;(3)要特别注意复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.变式训练2已知m∈R,复数z=lgm+(m2-1)i,当m满足何条件时,(1)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数.探究三复数相等的充要条件及应用例3已知集合M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i}.若M∪P=P,求实数m的值.分析M∪P=P→M⊆P→(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或4i→列出方程组可求得m的值解∵M∪P=P,∴M⊆P.∴(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.若(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,反思感悟复数相等问题的解题技巧(1)复数必须是z=a+bi(a,b∈R)的形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.变式训练3(1)若5-12i=xi+y(x,y∈R),则x=

,y=

.

(2)已知x2+y2-6+(x-y-2)i=0,求实数x,y的值.(1)答案-12

5解析由复数相等的条件知x=-12,y=5.素养形成对复数相关概念的理解典例给出下列说法:(1)若x+yi=0,则x=y=0;(2)若a+bi=3+8i,则a=3,b=8;(3)若x为实数,且(x2-4)+(x2+2x)i是纯虚数,则x=±2;(4)若3x+mi<0,则有x<0.其中正确的序号是

.

答案(4)解析(1)和(2)都是错误的,原因是没有x,y∈R,a,b∈R的限制条件,因此相应结论都是错误的;(3)也是错误的,事实上,当(x2-4)+(x2+2x)i是纯虚数时,应有方法点睛复数中的许多结论,都是建立在复数为z=a+bi(a,b∈R)的形式这一条件下的,在复数z=a+bi中,a,b∈R是必不可少的条件,如果没有这一条件,相应结论不一定能够成立.例如:a+bi=0⇒a=b=0成立的条件是a,b∈R;a+bi=c+di⇒a=c,b=d成立的条件是a,b,c,d∈R.另外,复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的条件是a=0,且b≠0,切记不能丢掉“b≠0”这一条件.变式训练若k∈R,且(2k2-5k-3)+(2k2-k-1)i为纯虚数,则实数k等于

.

答案3当堂检测答案D解析复数(2+)i的实部是0,故选D.2.“a=-2”是“复数z=(a2-4)+(a+1)i(a,b∈R)为纯虚数”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案A解析当a=-2时,z=(22-4)+(-2+1)i=-i是纯虚数;当z为纯虚数时,a2-4=0,且a+1≠0,即a=±2.故“a=-2”可以推出“z为纯虚数”,反之不成立.故选A.3.设C={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C,则下面结论正确的是(

)A.A∪B=C B.∁UA=BC.A∩(∁UB)=⌀ D.B∪(∁UB)=C答案D解析由复数的分类可知D项正确.4.若x,y∈R,且3x+y+3=(x-y-3)i,则x=

,y=

.

答案0

-35.(2021安徽宿州期末)已知复数z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i,当实数m取什么值时,复数z是下列数?(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.解(1)当m2