拉氏变换及反变换讲课文档

拉氏变换及反变换第1页，共72页。定义当f(t)含有冲激函数项时，此项0拉氏变换积分上限说明：一、拉普拉斯变换F(s)=ℒ[f(t)]f(t)=ℒ

-1[F(s)]表示为：0—第2页，共72页。f(t)，t[0,)称为原函数，属时域。原函数用小写字母表示，如f(t)

，i(t)，u(t)

F(s)称为象函数，属复频域。象函数F(s)用大写字母表示,如F(s)，I(s)，U(s)。称为复频率。f(t)F(S)LL_拉普拉斯变换对，记为：第3页，共72页。2.2常用函数的拉普拉斯变换（单位阶跃函数）tu(t)F(s)=第4页，共72页。ℒℒ(指数函数)F(s)=第5页，共72页。=1ℒ（单位脉冲函数）δ(t)t0第6页，共72页。（单位斜坡函数）

f(t)t0F(s)=L[f(t)]=第7页，共72页。ℒℒ（幂函数）

第8页，共72页。ℒℒℒℒℒ第9页，共72页。常用函数的拉普拉斯变换表ttne-atte-attne-ate-jwtu(t)δ(t)δ(n)(t)1sn1/s1/s2n!sn+1n!(s+a)n+11(s+a)21s+a1s+jw第10页，共72页。第11页，共72页。1f1(t)e-tt0例题求图示两个函数的拉氏变换式

1f2(t)e-tt0解由于定义的拉氏变换积分上限是0－，两个函数的拉氏变换式相同当取上式的反变换时，只能表示出区间的函数式ℒ-1第12页，共72页。2.3拉普拉斯变换的基本性质一、线性性质ℒℒℒ例1ℒ例2ℒℒ第13页，共72页。二、微分定理ℒℒ例1ℒℒℒℒ第14页，共72页。初态为r(0-)及r/(0-)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=L[e(t)],R(S)=L[r(t)]对方程两端进行拉氏变换，应用线性组合与微分定理可得[S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)]+a1[SR(s)-r(0-)]+a0R(s)=b1[SE(s)-e(0-)]+b0E(s)整理合并得（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0例3

某动态电路的输入—输出方程为第15页，共72页。三、积分定理例ℒℒ第16页，共72页。四、时域平移f(t)f(t-t0)平移ℒ第17页，共72页。例1例2ℒℒ五、S域平移ℒℒ例3ℒ第18页，共72页。六、初值定理和终值定理初值定理若ℒ[f(t)]=F(s)，且f(t)在t=0处无冲激，则终值定理f(t)及其导数f

(t)可进行拉氏变换，且第19页，共72页。例1例2例3ℒ第20页，共72页。例4：已知F(s)=

解：由初值定理得，求f(0)和f(∞)由终值定理得第21页，共72页。例右图所示电路中，电压源为，试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t)。七、时域卷积性i(t)RL解（1）写出系统动力学方程（2）作Laplace变换得系统方框图h(t)Ui(s)H(s)I(s)第22页，共72页。零状态响应电流I(s)=Ui(s)H(s)=ℒ[ui(t)]

H(s)

=ℒℒ-1[I(s)]i(t)=（4）应用时域卷积定理（3）求系统传递函数h(t)Ui(s)H(s)I(s)（5）作Laplace反变换得第23页，共72页。八、S域卷积性九、尺度变换性第24页，共72页。拉普拉斯变换的基本性质表第25页，共72页。拉普拉斯变换的基本性质表第26页，共72页。拉普拉斯变换的基本性质表第27页，共72页。本讲小结：拉普拉斯变换定义常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质第28页，共72页。第29页，共72页。(1)ℒ利用第30页，共72页。第31页，共72页。第32页，共72页。第33页，共72页。第34页，共72页。第35页，共72页。第36页，共72页。第37页，共72页。作业1、写出拉普拉斯变换定义式2、第38页，共72页。1(s-1)2__第39页，共72页。第40页，共72页。二、拉普拉斯反变换1、由象函数求原函数（2）经数学处理后查拉普拉斯变换表f(t)=L-1[F(s)]（1）利用公式

较麻烦

第41页，共72页。象函数的一般形式：

2、将F(s)进行部分分式展开第42页，共72页。等式两边同乘(s-s1)=0(t≥0)第43页，共72页。例1

解：

F(S)第44页，共72页。例2

（m=n，用长除法）解：

F(S)第45页，共72页。（k1,k2也是一对共轭复数）

假设只有两个根设解：则欧拉公式第46页，共72页。例1

法一：

部分分式法展开，求系数。

第47页，共72页。法二：将F2(s)改写为(s＋

)2+2F(S)=第48页，共72页。等式两边同乘第49页，共72页。例1

等式两边乘

得

第50页，共72页。例2

等式两边乘

第51页，共72页。第52页，共72页。第53页，共72页。（4）一般多重根情况

第54页，共72页。练习1:求其原函数第55页，共72页。s第56页，共72页。练习2:因为m>n，故采用第57页，共72页。第58页，共72页。同理可求第59页，共72页。练习3:第60页，共72页。第61页，共72页。（t≥0）第62页，共72页。练习4:第63页，共72页。第64页，共72页。第65页，共72页。

2.5用拉氏变换法求解常微分方程,n作Laplace变换第66页，共72页。第67页，共72页。例1:1(t>0)0(t≤0)第68页，共72页。第69页，共72页。第70页，共72页。例如图所示