第5章 复数 3.1复数的三角表示式 3.2复数乘除运算的几何意义 北师大版高中数学必修第二册课件

第五章3.1复数的三角表示式3.2复数乘除运算的几何意义基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.2.了解复数的代数形式与三角形式之间的关系.3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.基础落实·必备知识一遍过知识点一

复数的三角表示式

这个式子称为复数z=a+bi(a,b∈R)的

,简称三角形式.为了与三角形式区分,a+bi称为复数的代数表示式,简称代数形式.

当z=r(cosθ+isinθ)≠0时,z的辐角有无穷多个值,这些值相差2π的整数倍.三角表示式

为确定起见,将满足条件0≤θ<2π的辐角值,称为

,记作argz,即0≤argz<2π.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值,并且可由它的模与辐角的主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.如果z=0,那么与它对应的向量

缩成一个点(零向量),它的方向是任意的,所以复数0的辐角也是任意的.

非零复数的辐角不唯一,辐角的主值唯一辐角的主值

名师点睛1.复数的三角形式的特征:(1)模r≥0.(2)括号内需满足:前余弦,后正弦,角相同.(3)cos

θ与isin

θ之间用加号连结.简单地说,复数三角形式的结构特征是:模非负,角相同,余弦前,加号连.不符合条件的都不是三角形式.2.在复数的三角形式中,幅角θ的值可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以是主值,也可以是主值加2kπ或k·360°(k∈Z).但为了简单起见,复数的代数形式化为三角形式时,一般将θ写成主值.思考辨析1.复数0的辐角是多少,辐角主值是多少?

2.把一个复数表示成三角形式时,辐角θ一定要取主值吗?提示

0的辐角是任意角,辐角主值是[0,2π)内任一角.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)×××××2.[人教A版教材习题]将下列复数表示成三角形式:解(1)6=6(cos

0+isin

0).知识点二

复数三角形式的乘法法则与几何意义1.复数乘法运算的三角表示r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].两个复数相乘,积的模等于它们的模的

,积的辐角等于它们辐角的

.

简单地说,两个复数三角形式相乘的法则为:模数相乘,辐角相加.积

和

2.复数乘法运算的几何意义

θ2>0,逆时针;θ2<0,顺时针

思考辨析一个复数对应的向量无论顺时针旋转,还是逆时针旋转90°,得到的向量对应的复数一致吗?提示

不一致,根据复数乘法的几何意义可知,所得到的向量对应的复数与旋转方向有关.自主诊断1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(2)若argz1=α,argz2=β,则arg(z1·z2)=α+β.(

)√×2.把复数a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为(

)

A.a-bi B.-a+biC.b-ai D.-b+aiC解析

按顺时针旋转90°,即将复数与cos(-90°)+isin(-90°)相乘,∴所求复数为(a+bi)·(-i)=b-ai.知识点三

复数三角形式的除法法则与几何意义1.复数除法运算的三角表示两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的

.

简单地说,两个复数三角形式相除的法则为:模数相除,辐角相减.差

2.复数除法运算的几何意义

θ2>0,顺时针;θ2<0,逆时针

自主诊断判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)√×重难探究·能力素养速提升探究点一复数的三角形式【例1】

将下列复数表示成三角形式(辐角取主值).(1)5i;(2)8;(3)-3-3i;(4)-1+i.(2)因为r=8,cos

θ=1,sin

θ=0,所以θ=0,所以8=8(cos

0+isin

0).规律方法

复数的代数形式z=a+bi化为复数三角形式的一般步骤(2)由tan

θ=及点(a,b)所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下,只需求出复数的辐角主值即可);(3)写出复数的三角形式.变式训练1将下列复数中代数形式的表示成三角形式(辐角取主值),三角形式的表示成代数形式.(1)-1;解

(1)因为r=1,cos

θ=-1,sin

θ=0,所以θ=π,于是-1=cos

π+isin

π.探究点二复数三角形式的乘法运算【例2】

计算下列各式:(3)(cos36°+isin36°)5.解

(1)原式=21(cos

π+isin

π)=-21.(3)原式=cos(5×36°)+isin(5×36°)=cos

180°+isin

180°=-1.规律方法

两个复数三角形式乘法的法则可简记为,模数相乘,辐角相加,并且可以作以下推广:(1)有限个复数相乘,结论亦成立.即z1·z2·…·zn=r1(cos

θ1+isin

θ1)·r2(cos

θ2+isin

θ2)·…·rn(cos

θn+isin

θn)=r1·r2·…·rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].(2)当z1=z2=…=zn=z时,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ,有zn=[r(cos

θ+isin

θ)]n=rn(cos

nθ+isin

nθ),这就是复数三角形式的乘方法则,即:模数乘方,辐角n倍.变式训练2计算下列各式:(2)3(cos18°+isin18°)·2(cos54°+isin54°)·5(cos108°+isin108°);(2)原式=3×2×5[cos(18°+54°+108°)+isin(18°+54°+108°)]=30(cos

180°+isin

180°)=-30.探究点三复数三角形式的除法运算解

原式=9[cos(270°+90°)+isin(270°+90°)]=9(cos

360°+isin

360°)=9.规律方法

进行两个复数的三角形式除法运算时,将模对应相除等于商的模,用被除数辐角减去除数的辐角等于商的辐角,即可得两个复数的除法结果.探究点四复数乘除法运算的几何意义【例4】

已知复数乘法(x+yi)(cosθ+isinθ)(x,y∈R,i为虚数单位)的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点(x,y)绕原点逆时针方向旋转θ角,则将点(6,4)绕原点逆时针方向旋转

得到的点的坐标为

.

解析

复数乘法(x+yi)(cos

θ+isin

θ)(x,y∈R,i为虚数单位)的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点(x,y)绕原点逆时针方向旋转θ角,则将点(6,4)绕原点逆时针方向旋转

得到的点的对应的复数为变式探究若将条件“逆时针方向”改为“顺时针方向”,其结果如何?规律方法

逆时针方向旋转与复数的乘法的几何意义相对应;顺时针方向旋转与复数的除法的几何意义相对应.可简记为“逆乘顺除”四个字.本节要点归纳1.知识清单:(1)复数的三角形式及复数的代数形式与三角形式的互化;(2)复数在三角形式下的乘法、除法运算;(3)复数在三角形式下的乘法、除法运算的几何意义.2.方法归纳:转化与化归、数形结合.3.常见误区:(1)辐角和辐角主值容易混淆;(2)若arg

z1=α,arg

z2=β,则arg(z1·z2)不一定为α+β,arg()不一定为α-β.学以致用·随堂检测促达标1231.复数z=-sin100°+icos100°的辐角主值是