人教版七年级数学下册期末解答题压轴题题及答案

人教版七年级数学下册期末解答题压轴题题及答案一、解答题1.(1)小丽计划在母亲节那天送份礼物妈妈,特设计一个表面积为12dm2的正方体纸盒,则这个正方体的棱长是.(2)为了增加小区的绿化面积,幸福公园准备修建一个面积121πm2的草坪,草坪周围用篱笆围绕.现从对称美的角度考虑有甲,乙两种方案,甲方案:建成正方形;乙方案:建成圆形的.如果从节省篱笆费用的角度考虑,你会选择哪种方案?请说明理由;（3）在（2）的方案中,审批时发现修如此大的草坪,目的是亲近自然,若按上方案就没达到目的,因此建议用如图的设计方案：正方形里修三条小路,三条小路的宽度是一样,这样草坪的实际面积就减少了21πm2,请你根据此方案求出各小路的宽度（π取整数）．2.(1)如图,分别把两个边长为
的小正方形沿一条对角线裁成
个小三角形拼成一个大正方形,则大正方形的边长为_______
;(2)若一个圆的面积与一个正方形的面积都是
,设圆的周长为
,正方形的周长为
,则
_____
(填"
"或"
"或"
"号);（3）如图,若正方形的面积为
,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为
的长方形纸片,使它的长和宽之比为
,他能裁出吗？请说明理由？3.如图,这是由8个同样大小的立方体组成的魔方,体积为64.(1)求出这个魔方的棱长;(2)图中阴影部分是一个正方形ABCD,求出阴影部分的边长．4.小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向裁处一块面积为300cm2的长方形纸片.(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案;(2)若使长方形的长宽之比为3:2,小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗?若能,请帮小丽设计一种裁剪方案,若不能,请简要说明理由.5．张华想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3：2．他不知能否裁得出来,正在发愁．李明见了说：“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意李明的说法吗？张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？二、解答题6.已知,
,
.(1)如图1,求证:
;（2）如图2,作
的平分线交
于点
,点
为
上一点,连接
,若
的平分线交线段
于点
,连接
,若
,过点
作
交
的延长线于点
,且
,求
的度数．7.如图1,已知直线m∥n,AB是一个平面镜,光线从直线m上的点O射出,在平面镜AB上经点P反射后,到达直线n上的点Q.我们称OP为入射光线,PQ为反射光线,镜面反射有如下性质:入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角,即∠OPA=∠QPB.(1)如图1,若∠OPQ=82°,求∠OPA的度数;(2)如图2,若∠AOP=43°,∠BQP=49°,求∠OPA的度数;(3)如图3,再放置3块平面镜,其中两块平面镜在直线m和n上,另一块在两直线之间,四块平面镜构成四边形ABCD,光线从点O以适当的角度射出后,其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系,并说明理由.8.已知:直线AB∥CD,M,N分别在直线AB,CD上,H为平面内一点,连HM,HN.（1)如图1,延长HN至G,∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E.求证：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；(2)如图2,∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系:;②作MP平分∠AMH,NQ∥MP交ME的延长线于点Q,若∠H＝140°,求∠ENQ的度数．（可直接运用①中的结论）9.已知直线
,点P为直线
、
所确定的平面内的一点.(1)如图1,直接写出
、
、
之间的数量关系;（2）如图2,写出
、
、
之间的数量关系,并证明;（3）如图3,点E在射线
上,过点E作
,作
,点G在直线
上,作
的平分线
交
于点H,若
,
,求
的度数．10.如图,已知直线
射线
,
.
是射线
上一动点,过点
作
交射线
于点
,连接
.作
,交直线
于点
,
平分
.(1)若点
,
,
都在点
的右侧．①求
的度数;②若
,求
的度数.(不能使用"三角形的内角和是
"直接解题)（2）在点
的运动过程中,是否存在这样的偕形,使
？若存在,直接写出
的度数；若不存在．请说明理由．三、解答题11.[感知]如图①,
,求
的度数.小乐想到了以下方法,请帮忙完成推理过程.解:(1)如图①,过点P作
.∴
（_____________）,∴，∴
________(平行于同一条直线的两直线平行),∴_____________（两直线平行,同旁内角互补）,∴，∴，∴
,即
.[探究]如图②,
,求
的度数;[应用](1)如图③,在[探究]的条件下,
的平分线和
的平分线交于点G,则
的度数是_________º.（2）已知直线
,点A,B在直线a上,点C,D在直线b上（点C在点D的左侧）,连接
,若
平分
平分
,且
所在的直线交于点E.设
,请直接写出
的度数（用含
的式子表示）.12．（1）学习了平行线以后,香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法,她是通过折纸做的,过程如（图1）．①请你仿照以上过程,在图2中画出一条直线b,使直线b经过点P,且
,要求保留折纸痕迹,画出所用到的直线,指明结果.无需写画法:②在(1)中的步骤(b)中,折纸实际上是在寻找过点P的直线a的线.（2）已知,如图3,
,BE平分
,CF平分
.求证：
（写出每步的依据）.13．已知
,直角
的边与直线a分别相交于O、G两点,与直线b分别交于E、F点,
．(1)将直角
如图1位置摆放,如果
,则
______;(2)将直角
如图2位置摆放,N为AC上一点,
,请写出
与
之间的等量关系,并说明理由.(3）将直角
如图3位置摆放,若
,延长AC交直线b于点Q,点P是射线GF上一动点,探究
,
与
的数量关系,请直接写出结论．14.综合与探究综合与实践课上,同学们以"一个含
角的直角三角尺和两条平行线"为背景开展数学活动,如图,已知两直线
,
,且
,三角形
是直角三角形,
,
,
操作发现:(1)如图1.
,求
的度数;(2)如图2．创新小组的同学把直线
向上平移,并把
的位置改变,发现
,请说明理由．实践探究:(3)填密小组在创新小组发现的结论的基础上,将图2中的图形继续变化得到图3,
平分
,此时发现
与
又存在新的数量关系,请写出
与
的数量关系并说明理由.15．如图,已知AM∥BN,∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合）,BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D．(1)①∠ABN的度数是;②∵AM∥BN,∴∠ACB＝∠;(2)求∠CBD的度数;（3）当点P运动时,∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由:若变化,请写出变化规律；（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时,∠ABC的度数是．四、解答题16.如图
,
平分
,
平分
,

请判断
与
的位置关系并说明理由;
如图
,当
且
与
的位置关系保持不变,移动直角顶点
,使
,当直角顶点
点移动时,问
与
否存在确定的数量关系?并说明理由.
如图
,
为线段
上一定点,点
为直线
上一动点且
与
的位置关系保持不变,①当点
在射线
上运动时（点
除外）,
与
有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点
在射线
的反向延长线上运动时（点
除外）,
与
有何数量关系？直接写出猜想结论,不需说明理由．17.Rt△ABC中,∠C=90°,点D.E分别是△ABC边AC.BC上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.(1)若点P在线段AB上,如图(1)所示,且∠α=50°,则∠1+∠2=°;（2）若点P在边AB上运动,如图（2）所示,则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；(3)若点P运动到边AB的延长线上,如图(3)所示,则∠α、∠1.∠2之间有何关系?猜想并说明理由.(4)若点P运动到△ABC形外,如图(4)所示,则∠α、∠1.∠2之间的关系为:.18.如图1,已知线段AB.CD相交于点O,连接AC.BD,我们把形如图1的图形称之为"8字形".如图2,∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,并且与CD.AB分别相交于M、N.试解答下列问题:(1)仔细观察,在图2中有个以线段AC为边的"8字形";(2）在图2中,若∠B=96°,∠C=100°,求∠P的度数;（3）在图2中,若设∠C=α,∠B=β,∠CAP=
∠CAB,∠CDP=
∠CDB,试问∠P与∠C、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P）,并说明理由;（4）如图3,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．19.如图①所示,在三角形纸片
中,
,
,将纸片的一角折叠,使点
落在
内的点
处.(1)若
,
________.(2）如图①,若各个角度不确定,试猜想
,
,
之间的数量关系,直接写出结论.②当点
落在四边形
外部时（如图②）,（1）中的猜想是否仍然成立？若成立,请说明理由,若不成立,
,
,
之间又存在什么关系？请说明．(3)应用:如图③:把一个三角形的三个角向内折叠之后,且三个顶点不重合,那么图中的
和是________.20.阅读下列材料并解答问题:在一个三角形中,如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍,那么这样的三角形我们称为"梦想三角形"例如:一个三角形三个内角的度数分别是120°,40°,20°,这个三角形就是一个"梦想三角形".反之,若一个三角形是"梦想三角形",那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.(1)如果一个"梦想三角形"有一个角为108°,那么这个"梦想三角形"的最小内角的度数为__________（2）如图1,已知∠MON＝60°,在射线OM上取一点A,过点A作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C（点C不与O、B重合）,若∠ACB=80°.判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”,为什么？（3）如图2,点D在△ABC的边上,连接DC,作∠ADC的平分线交AC于点E,在DC上取一点F,使得∠EFC+∠BDC＝180°,∠DEF＝∠B．若△BCD是“梦想三角形”,求∠B的度数．【参考答案】一、解答题1.(1)dm;(2)从节省篱笆费用的角度考虑,选择乙方案建成圆形;(3)根据此方案求出小路的宽度为【分析】(1)先求得正方体的一个面的面积,然后依据算术平方根的定义求解即可;(2)根据正方形的周解析：（1）
dm；（2）从节省篱笆费用的角度考虑,选择乙方案建成圆形；（3）根据此方案求出小路的宽度为
【分析】(1)先求得正方体的一个面的面积,然后依据算术平方根的定义求解即可;(2)根据正方形的周长公式以及圆形的周长公式即可求出答案;（3）根据图形的平移求解.【详解】解:(1)∵正方体有6个面且每个面都相等,∴正方体的一个面的面积=2dm2.∴正方形的棱长=
dm;故答案为:
dm;（2）甲方案：设正方形的边长为xm,则x2=121
∴x=11∴正方形的周长为:4x=44
m乙方案:设圆的半径rm为,则
r2==121
∴r=11∴圆的周长为:2
=22
m∴442222(2-∵4＞∴2∴∴正方形的周长比圆的周长大故从节省篱笆费用的角度考虑,选择乙方案建成圆形;（3）依题意可进行如图所示的平移,设小路的宽度为ym,则(11
–y)2=121
21
∴11–y=10∴y=∵取整数∴y=答:根据此方案求出小路的宽度为
;【点睛】本题主要考查的是算术平方根的定义,熟练掌握正方形的性质以及平移的性质是解题的关键;2．（1）；（2）；（3）不能裁剪出,详见解析【分析】(1)根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长;(2)由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长,进而可求得圆和正方形解析：（1）
；（2）
；（3）不能裁剪出,详见解析【分析】(1)根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长;(2)由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长,进而可求得圆和正方形的周长,利用作商法比较这两数大小即可;（3）利用方程思想求出长方形的长边,与正方形边长比较大小即可；【详解】解:(1)∵小正方形的边长为1cm,∴小正方形的面积为1cm2,∴两个小正方形的面积之和为2cm2,即所拼成的大正方形的面积为2cm2,∴大正方形的边长为
cm,（2）∵
,∴，∴，设正方形的边长为a∵，∴，∴，∴故答案为:＜;(3)解:不能裁剪出,理由如下:∵长方形纸片的长和宽之比为
,∴设长方形纸片的长为
,宽为
,则，整理得:
,∴，∵450＞400,∴，∴，∴长方形纸片的长大于正方形的边长,∴不能裁出这样的长方形纸片.【点睛】本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用,主要是对学生无理数运算及比较大小进行了考查.3.（1）棱长为4；（2）边长为：（或）【分析】(1)由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案;(2)用勾股定理直接计算得到答案.【详解】解:(1)设正方体的棱长为,则,所以,即正方体的棱长为4.解析:（1）棱长为4；（2）边长为:
（或
）【分析】(1)由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案;(2)用勾股定理直接计算得到答案.【详解】解:(1)设正方体的棱长为
,则
,所以
,即正方体的棱长为4.（2）因为正方体的棱长为4,所以AB＝
．【点睛】本题考查的是立方根与算术平方根的理解与计算,由实际的情境去理解问题本身就是求一个数的立方根与算术平方根是关键.4．（1）可以以正方形一边为长方形的长,在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）不能,理由见解析.【解析】(1)解:设面积为400cm2的正方形纸片的边长为acm∴解析:(1)可以以正方形一边为长方形的长,在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形;(2)不能,理由见解析.【解析】(1)解:设面积为400cm2的正方形纸片的边长为acm∴a2=400又∵a＞0∴a=20又∵要裁出的长方形面积为300cm2∴若以原正方形纸片的边长为长方形的长,则长方形的宽为:300÷20=15(cm)∴可以以正方形一边为长方形的长,在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形(2)∵长方形纸片的长宽之比为3:2∴设长方形纸片的长为3xcm,则宽为2xcm∴6x2=300∴x2=50又∵x＞0∴x=∴长方形纸片的长为又∵＞202即:
＞20∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片5.不同意,理由见解析.【详解】试题分析:设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米,2x厘米,则3x•2x=300,x2=50,解得x=,而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米,由于解析：不同意,理由见解析．【详解】试题分析:设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米,2x厘米,则3x•2x=300,x2=50,解得x=
,而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米,由于
＞20,所以用一块面积为400平方厘米的正方形纸片,沿着边的方向裁不出一块面积为300平方厘米的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2.试题解析:解:不同意李明的说法．设长方形纸片的长为3x(x＞0)cm,则宽为2xcm,依题意得:3x•2x=300,6x2=300,x2=50,∵x＞0,∴x=
=
,∴长方形纸片的长为
cm,∵50＞49,∴
＞7,∴
＞21,即长方形纸片的长大于20cm,由正方形纸片的面积为400cm2,可知其边长为20cm,∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．答:李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.点睛：本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0的算术平方根为0.也考查了估算无理数的大小.二、解答题6.(1)见解析;(2)【分析】(1)根据平行线的性质得出,再根据等量代换可得,最后根据平行线的判定即可得证;(2)过点E作,延长DC至Q,过点M作,根据平行线的性质及等量代换可得出,再根据平角的解析:（1）见解析；（2）
【分析】(1)根据平行线的性质得出
,再根据等量代换可得
,最后根据平行线的判定即可得证;（2）过点E作
,延长DC至Q,过点M作
,根据平行线的性质及等量代换可得出
,再根据平角的含义得出
,然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出
；设
,根据角的和差可得出
,结合已知条件
可求得
,最后根据垂线的含义及平行线的性质,即可得出答案．【详解】(1)证明:
；(2)过点E作
,延长DC至Q,过点M作

,
,
,
AF平分FH平分设，．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质,角平分线的定义,能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键.7．（1）49°,（2）44°,（3）∠OPQ=∠ORQ【分析】(1)根据∠OPA=∠QPB.可求出∠OPA的度数;(2)由∠AOP=43°,∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数,转化为(1)来解解析：（1）49°,（2）44°,（3）∠OPQ=∠ORQ【分析】(1)根据∠OPA=∠QPB.可求出∠OPA的度数;(2)由∠AOP=43°,∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数,转化为(1)来解决问题;（3）由（2）推理可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP,∠ORQ=∠DOR+∠RQC,从而∠OPQ=∠ORQ．【详解】解:(1)∵∠OPA=∠QPB,∠OPQ=82°,∴∠OPA=(180°-∠OPQ)×
=(180°-82°)×
=49°,(2）作PC∥m,∵m∥n,∴m∥PC∥n,∴∠AOP=∠OPC=43°,∠BQP=∠QPC=49°,∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°,∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×
=（180°-92°）×
44°,(3)∠OPQ=∠ORQ.理由如下:由(2)可知:∠OPQ=∠AOP+∠BQP,∠ORQ=∠DOR+∠RQC,∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角,∴∠AOP=∠DOR,∠BQP=∠RQC,∴∠OPQ=∠ORQ.【点睛】本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定,解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的.8.（1）见解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°【分析】(1)过点E作EP∥AB交MH于点Q,利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°,角与角之间的基本运算、等量代换等即解析:（1）见解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°【分析】(1)过点E作EP∥AB交MH于点Q,利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°,角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证.(2)①过点H作GI∥AB,利用(1)中结论2∠MEN﹣∠MHN＝180°,利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°,角与角之间的基本运算、等量代换等得出∠AMH＋∠HNC＝360°﹣(∠BMH＋∠HND),进而用等量代换得出2∠MEN＋∠MHN＝360°.②过点H作HT∥MP,由①的结论得2∠MEN＋∠MHN＝360°,∠H＝140°,∠MEN＝110°．利用平行线性质得∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°,由角平分线性质及邻补角可得∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣
（180°﹣∠BMH）＝180°．继续使用等量代换可得∠ENQ度数．【详解】解:(1)证明:过点E作EP∥AB交MH于点Q.如答图1∵EP∥AB且ME平分∠BMH,∴∠MEQ＝∠BME＝
∠BMH.∵EP∥AB,AB∥CD,∴EP∥CD,又NE平分∠GND,∴∠QEN＝∠DNE＝
∠GND．(两直线平行,内错角相等)∴∠MEN＝∠MEQ＋∠QEN＝
∠BMH＋
∠GND＝
(∠BMH＋∠GND）.∴2∠MEN＝∠BMH＋∠GND.∵∠GND＋∠DNH＝180°,∠DNH＋∠MHN＝∠MON＝∠BMH．∴∠DHN＝∠BMH﹣∠MHN.∴∠GND＋∠BMH﹣∠MHN＝180°,即2∠MEN﹣∠MHN＝180°.（2）①：过点H作GI∥AB.如答图2由(1)可得∠MEN＝
(∠BMH＋∠HND),由图可知∠MHN＝∠MHI＋∠NHI,∵GI∥AB,∴∠AMH＝∠MHI＝180°﹣∠BMH,∵GI∥AB,AB∥CD,∴GI∥CD.∴∠HNC＝∠NHI＝180°﹣∠HND.∴∠AMH＋∠HNC＝180°﹣∠BMH＋180°﹣∠HND＝360°﹣(∠BMH＋∠HND).又∵∠AMH＋∠HNC＝∠MHI＋∠NHI＝∠MHN,∴∠BMH＋∠HND＝360°﹣∠MHN.即2∠MEN＋∠MHN＝360°.故答案为:2∠MEN＋∠MHN＝360°.②:由①的结论得2∠MEN＋∠MHN＝360°,∵∠H＝∠MHN＝140°,∴2∠MEN＝360°﹣140°＝220°.∴∠MEN＝110°.过点H作HT∥MP.如答图2∵MP∥NQ,∴HT∥NQ.∴∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°(两直线平行,同旁内角互补).∵MP平分∠AMH,∴∠PMH＝
∠AMH＝
(180°﹣∠BMH).∵∠NHT＝∠MHN﹣∠MHT＝140°﹣∠PMH.∴∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣
(180°﹣∠BMH)＝180°.∵∠ENH＝
∠HND.∴∠ENQ＋
∠HND＋140°﹣90°＋
∠BMH＝180°.∴∠ENQ＋
(HND＋∠BMH)＝130°.∴∠ENQ＋
∠MEN＝130°.∴∠ENQ＝130°﹣110°＝20°.【点睛】本题考查了平行线的性质,角平分线的性质,邻补角,等量代换,角之间的数量关系运算,辅助线的作法,正确作出辅助线是解题的关键,本题综合性较强.9.（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）见解析；（3）55°【分析】(1)首先过点P作PQ∥AB,则易得AB∥PQ∥CD,然后由两直线平行,同旁内角互补,即可证得∠A+∠C+∠APC=360解析:（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）见解析；（3）55°【分析】(1)首先过点P作PQ∥AB,则易得AB∥PQ∥CD,然后由两直线平行,同旁内角互补,即可证得∠A+∠C+∠APC=360°;(2)作PQ∥AB,易得AB∥PQ∥CD,根据两直线平行,内错角相等,即可证得∠APC=∠A+∠C;（3）由（2）知,∠APC=∠PAB-∠PCD,先证∠BEF=∠PQB=110°、∠PEG=
∠FEG,∠GEH=
∠BEG,根据∠PEH=∠PEG-∠GEH可得答案．【详解】解:(1)∠A+∠C+∠APC=360°如图1所示,过点P作PQ∥AB,∴∠A+∠APQ=180°,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠C+∠CPQ=180°,∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°,即∠A+∠C+∠APC=360°;(2）∠APC=∠A+∠C,如图2,作PQ∥AB,∴∠A=∠APQ,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠C=∠CPQ,∵∠APC=∠APQ-∠CPQ,∴∠APC=∠A-∠C;(3)由(2)知,∠APC=∠PAB-∠PCD,∵∠APC=30°,∠PAB=140°,∴∠PCD=110°,∵AB∥CD,∴∠PQB=∠PCD=110°,∵EF∥BC,∴∠BEF=∠PQB=110°,∵EF∥BC,∴∠BEF=∠PQB=110°,∵∠PEG=∠PEF,∴∠PEG=
∠FEG,∵EH平分∠BEG,∴∠GEH=
∠BEG,∴∠PEH=∠PEG-∠GEH=∠FEG-∠BEG=∠BEF=55°.【点睛】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.10．（1）①35°；（2）55°；（2）存在,或【分析】(1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠PCG的度数;②依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠ECG=∠GCF=20°解析：（1）①35°；（2）55°；（2）存在,
或
【分析】(1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠PCG的度数;②依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠ECG=∠GCF=20°,再根据PQ∥CE,即可得出∠CPQ=∠ECP=60°;（2）设∠EGC=3x,∠EFC=2x,则∠GCF=3x-2x=x,分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时,②当点G、F在点E的左侧时,依据等量关系列方程求解即可．【详解】解:(1)①∵AB∥CD,∴∠CEB+∠ECQ=180°,∵∠CEB=110°,∴∠ECQ=70°,∵∠PCF=∠PCQ,CG平分∠ECF,∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝
∠QCF+
∠FCE＝
∠ECQ＝35°;②∵AB∥CD,∴∠QCG=∠EGC,∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=70°,∴∠EGC+∠ECG=70°,又∵∠EGC-∠ECG=30°,∴∠EGC=50°,∠ECG=20°,∴∠ECG=∠GCF=20°,∠PCF＝∠PCQ＝
(70°−40°)＝15°,∵PQ∥CE,∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=70°-15°=55°.(2)52.5°或7.5°,设∠EGC=3x°,∠EFC=2x°,①当点G、F在点E的右侧时,∵AB∥CD,∴∠QCG=∠EGC=3x°,∠QCF=∠EFC=2x°,则∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°,∴∠PCF＝∠PCQ＝
∠FCQ＝
∠EFC＝x°,则∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°,∵∠ECD=70°,∴4x=70°,解得x=17.5°,∴∠CPQ=3x=52.5°;②当点G、F在点E的左侧时,反向延长CD到H,∵∠EGC=3x°,∠EFC=2x°,∴∠GCH=∠EGC=3x°,∠FCH=∠EFC=2x°,∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°,∵∠CGF=180°-3x°,∠GCQ=70°+x°,∴180-3x=70+x,解得x=27.5,∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=27.5°×2+70°=125°,∴∠PCQ＝
∠FCQ＝62.5°,∴∠CPQ=∠ECP=62.5°-55°=7.5°,【点睛】本题主要考查了平行线的性质,掌握两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等是解题的关键.三、解答题11.[感知]见解析;[探究]70°;[应用](1)35;(2)或【分析】[感知]过点P作PM∥AB,根据平行线的性质得到∠1=∠AEP,∠2+∠PFD=180°,求出∠2的度数,结合∠1可得结果;解析:[感知]见解析；[探究]70°；[应用]（1）35；（2）
或
【分析】[感知]过点P作PM∥AB,根据平行线的性质得到∠1=∠AEP,∠2+∠PFD=180°,求出∠2的度数,结合∠1可得结果;[探究]过点P作PM∥AB,根据AB∥CD,PM∥CD,进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数;[应用]（1）如图③所示,在[探究]的条件下,根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,可得∠G的度数;（2）画出图形,分点A在点B左侧和点A在点B右侧,两种情况,分别求解．【详解】解:[感知]如图①,过点P作PM∥AB,∴∠1=∠AEP=40°(两直线平行,内错角相等)∵AB∥CD,∴PM∥CD(平行于同一条直线的两直线平行),∴∠2+∠PFD=180°(两直线平行,同旁内角互补),∴∠PFD=130°(已知）,∴∠2=180°-130°=50°,∴∠1+∠2=40°+50°=90°,即∠EPF=90°;[探究]如图②,过点P作PM∥AB,∴∠MPE=∠AEP=50°,∵AB∥CD,∴PM∥CD,∴∠PFC=∠MPF=120°,∴∠EPF=∠MPF-∠MPE=120°-50°=70°;[应用](1)如图③所示,∵EG是∠PEA的平分线,FG是∠PFC的平分线,∴∠AEG=
∠AEP=25°,∠GFC=
∠PFC=60°,过点G作GM∥AB,∴∠MGE=∠AEG=25°(两直线平行,内错角相等)∵AB∥CD(已知),∴GM∥CD(平行于同一条直线的两直线平行),∴∠GFC=∠MGF=60°(两直线平行,内错角相等）．∴∠G=∠MGF-∠MGE=60°-25°=35°.故答案为:35.(2）当点A在点B左侧时,如图,故点E作EF∥AB,则EF∥CD,∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,∵
平分
平分
,
,∴∠ABE=∠BEF=
,∠CDE=∠DEF=
,∴∠BED=∠BEF+∠DEF=
;当点A在点B右侧时,如图,故点E作EF∥AB,则EF∥CD,∴∠DEF=∠CDE,∠ABG=∠BEF,∵
平分
平分
,
,∴∠DEF=∠CDE=
,∠ABG=∠BEF=
,∴∠BED=∠DEF-∠BEF=
;综上:∠BED的度数为
或
.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论,角平分线的定义,解决本题的关键是熟练运用平行线的性质.12.（1）①见解析；②垂；（2）见解析【分析】(1)①过点折纸,使痕迹垂直直线,然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直,从而得到直线;②步骤（b)中,折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．(2)先根据解析:（1）①见解析；②垂；（2）见解析【分析】(1)①过
点折纸,使痕迹垂直直线
,然后过
点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直,从而得到直线
;②步骤(b)中,折纸实际上是在寻找过点
的直线
的垂线.（2）先根据平行线的性质得到
,再利用角平分线的定义得到
,然后根据平行线的判定得到结论．【详解】(1)解:①如图2所示:②在(1)中的步骤(b)中,折纸实际上是在寻找过点
的直线
的垂线.故答案为垂;(2)证明:
平分
,
平分
(已知),
,
(角平分线的定义),
(已知),
(两直线平行,内错角相等),
(等量代换),
(等式性质）,
（内错角相等,两直线平行）．【点睛】本题考查了作图
复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了平行线的性质与判定.13.(1)136°;(2)∠AOG+∠NEF＝90°,理由见解析;(3)当点P在GF上时,∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF;当点P在线段GF的延长线上时,140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF.解析：（1）136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°,理由见解析；（3）当点P在GF上时,∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；当点P在线段GF的延长线上时,140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．【分析】(1)如图1,作CP∥a,则CP∥a∥b,根据平行线的性质可得∠AOG＝∠ACP,∠BCP+∠CEF＝180°,然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可求得答案;(2)如图2,作CP∥a,则CP∥a∥b,根据平行线的性质可得∠AOG＝∠ACP,∠BCP+∠CEF＝180°,然后结合已知条件可得∠BCP＝∠NEF,然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可得到结论;（3）分两种情况,如图3,当点P在GF上时,过点P作PN∥OG,则NP∥OG∥EF,根据平行线的性质可推出∠OPQ＝∠GOP+∠PQF,进一步可得结论；如图4,当点P在线段GF的延长线上时,同上面方法利用平行线的性质解答即可．【详解】解:(1)如图1,作CP∥a,∵，∴CP∥a∥b,∴∠AOG＝∠ACP,∠BCP+∠CEF＝180°,∴∠BCP＝180°﹣∠CEF,∵∠ACP+∠BCP＝90°,∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°,∵∠AOG＝46°,∴∠CEF＝136°,故答案为136°;(2)∠AOG+∠NEF＝90°.理由如下：如图2,作CP∥a,则CP∥a∥b,∴∠AOG＝∠ACP,∠BCP+∠CEF＝180°,而∠NEF+∠CEF＝180°,∴∠BCP＝∠NEF,∵∠ACP+∠BCP＝90°,∴∠AOG+∠NEF＝90°;（3）如图3,当点P在GF上时,过点P作PN∥OG,∴NP∥OG∥EF,∴∠GOP＝∠OPN,∠PQF＝∠NPQ,∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF,∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF;如图4,当点P在线段GF的延长线上时,过点P作PN∥OG,∴NP∥OG∥EF,∴∠GOP＝∠OPN,∠PQF＝∠NPQ,∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN,∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF,∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF.【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行公理的推论等知识,属于常考题型,正确添加辅助线、灵活应用平行线的判定和性质是解题的关键.14．（1）；（2）理由见解析；（3）,理由见解析．【分析】(1)由平角定义求出∠3＝42°,再由平行线的性质即可得出答案;(2)过点B作BD∥a.由平行线的性质得∠2＋∠ABD＝180°,∠1＝∠解析：（1）
；（2）理由见解析；（3）
,理由见解析．【分析】(1)由平角定义求出∠3＝42°,再由平行线的性质即可得出答案;(2)过点B作BD∥a.由平行线的性质得∠2＋∠ABD＝180°,∠1＝∠DBC,则∠ABD＝∠ABC−∠DBC＝60°−∠1,进而得出结论;（3）过点C作CP∥a,由角平分线定义得∠CAM＝∠BAC＝30°,∠BAM＝2∠BAC＝60°,由平行线的性质得∠1＝∠BAM＝60°,∠PCA＝∠CAM＝30°,∠2＝∠BCP＝60°,即可得出结论．【详解】解:(1)如图1
,
,，，；图1(2)理由如下:如图2.过点
作
,图2，，，，，，；(3)
,图3理由如下:如图3,过点
作
,
平分
,，，又，，，，，又，，．【点睛】本题是三角形综合题目,考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识;本题综合性强,熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键.15．（1）①②；（2）；（3）不变,,理由见解析；（4）【分析】(1)①由平行线的性质,两直线平行,同旁内角互补可直接求出;②由平行线的性质,两直线平行,内错角相等可直接写出;(2)由角平分线的解析：（1）①
②
；（2）
；（3）不变,
,理由见解析；（4）
【分析】(1)①由平行线的性质,两直线平行,同旁内角互补可直接求出;②由平行线的性质,两直线平行,内错角相等可直接写出;(2)由角平分线的定义可以证明∠CBD＝
∠ABN,即可求出结果;（3）不变,∠APB:∠ADB＝2:1,证∠APB＝∠PBN,∠PBN＝2∠DBN,即可推出结论；（4）可先证明∠ABC＝∠DBN,由（1）∠ABN＝116°,可推出∠CBD＝58°,所以∠ABC+∠DBN＝58°,则可求出∠ABC的度数．【详解】解:(1)①∵AM//BN,∠A＝64°,∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°,故答案为:116°;②∵AM//BN,∴∠ACB＝∠CBN,故答案为:CBN;(2）∵AM//BN,∴∠ABN+∠A＝180°,∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°,∴∠ABP+∠PBN＝116°,∵BC平分∠ABP,BD平分∠PBN,∴∠ABP＝2∠CBP,∠PBN＝2∠DBP,∴2∠CBP+2∠DBP＝116°,∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°;(3)不变,∠APB:∠ADB＝2:1,∵AM//BN,∴∠APB＝∠PBN,∠ADB＝∠DBN,∵BD平分∠PBN,∴∠PBN＝2∠DBN,∴∠APB:∠ADB＝2:1;(4）∵AM//BN,∴∠ACB＝∠CBN,当∠ACB＝∠ABD时,则有∠CBN＝∠ABD,∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN∴∠ABC＝∠DBN,由(1)∠ABN＝116°,∴∠CBD＝58°,∴∠ABC+∠DBN＝58°,∴∠ABC＝29°,故答案为：29°.【点睛】本题考查了角平分线的定义,平行线的性质等,解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分线的定义等.四、解答题16.(1)详见解析;(2)∠BAE+∠MCD=90°,理由详见解析;(3)详见解析.【详解】试题分析:(1)先根据CE平分∠ACD,AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,再解析：（1）详见解析；（2）∠BAE+
∠MCD=90°,理由详见解析；（3）详见解析.【详解】试题分析:(1)先根据CE平分∠ACD,AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180,故可得出结论;(2)过E作EF∥AB,根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD,∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,故∠BAE+∠ECD=90°,再由∠MCE=∠ECD即可得出结论;(3)根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°,∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°,故∠BAC=∠PQC+∠QPC.试题解析：证明：(1）∵CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∴∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE.∵∠EAC+∠ACE=90°,∴∠BAC+∠ACD=180,∴AB∥CD;(2)∠BAE+
∠MCD=90°.证明如下:过E作EF∥AB.∵AB∥CD,∴EF∥∥AB∥CD,∴∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE.∵∠E=90°,∴∠BAE+∠ECD=90°．∵∠MCE=∠ECD,∴∠BAE+
∠MCD=90°;(3)①∠BAC=∠PQC+∠QPC.理由如下:如图3：∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°.∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°,∴∠BAC=∠PQC+∠QPC;②∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°.理由如下:如图4:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACQ.∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°,∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°.点睛:本题考查了平行线的性质,根据题意作出平行线是解答此题的关键．17.（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α.【详解】试题分析:(1)根据四边形内角和定理以及邻补角的定义,得出∠1+∠2解析：（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α.【详解】试题分析:(1)根据四边形内角和定理以及邻补角的定义,得出∠1+∠2=∠C+∠α,进而得出即可;(2)利用(1)中所求的结论得出∠α、∠1.∠2之间的关系即可;（3)利用三角外角的性质,得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α;(4)利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系.试题分析:（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°,∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°,∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α,∵∠C＝90°,∠α＝50°,∴∠1＋∠2＝140°,故答案为140;（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2,∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下:如图③,设DP与BE的交点为M,∵∠2＋∠α＝∠DME,∠DME＋∠C＝∠1,∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.(4)如图④,设PE与AC的交点为F,∵∠PFD＝∠EFC,∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC,∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2,∴∠2＝90°＋∠1－∠α.故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α点睛:本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质,熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.18．（1）3；（2）98°；（3）∠P=（β+2α）,理由见解析；（4）360°.【分析】(1)以M为交点的"8字形"有1个,以O为交点的"8字形"有2个;(2)根据角平分线的定义得到∠CAP=∠解析：（1）3；（2）98°；（3）∠P=
（β+2α）,理由见解析；（4）360°.【分析】(1)以M为交点的"8字形"有1个,以O为交点的"8字形"有2个;(2)根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP,再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,两等式相减得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B,即∠P=
(∠C+∠B),然后把∠C=100°,∠B=96°代入计算即可;(3）与(2）的证明方法一样得到∠P=
(2∠C+∠B）.（4）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠A=∠1,∠C+∠D=∠2,再根据四边形内角和为360°可得答案．【详解】解:(1)在图2中有3个以线段AC为边的"8字形",故答案为3;(2)∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,∴∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP,∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,∴∠C﹣∠P=∠P﹣∠B,即∠P=
(∠C+∠B),∵∠C=100°,∠B=96°∴∠P=
(100°+96°)=98°;(3)∠P=
(β+2α);理由:∵∠CAP=
∠CAB,∠CDP=
∠CDB,∴∠BAP=
∠BAC,∠BDP=
∠BDC,∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,∴∠C﹣∠P=
∠BDC﹣
∠BAC,∠P﹣∠B=
∠BDC﹣
∠BAC,∴2(∠C﹣∠P)=∠P﹣∠B,∴∠P=
(∠B+2∠C）,∵∠C=α,∠B=β,∴∠P=
(β+2α);(4）∵∠B+∠A=∠1,∠C+∠D=∠2,∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2,∵∠