知识点一极限与连续

.精选文档.求极限的常用方法①利用极限的定义数列极限的定义:

;函数极限的定义（
）:.类似可定义其它形式下的函数极限.②利用单调有界准则和夹逼准则熟悉数列极限和函数极限的单调有界准则.利用夹逼准则可以证明下面的极限.这一结论可以推广为:和③利用两个重要极限
,
或
=
.
、由重要极限及变量替换可以求下列极限:其中,
,极限过程
改为其它情形也有类似的结论.
、设
,则利用重要极限有：其中.④利用无穷小的性质和等价无穷小替换求极限
、无穷小量乘以有界函数仍是无穷小量;
、熟悉常见的无穷小量:当
时,有
～
～
～
～
～
～
;
;
;
,等等.
、求极限过程中,可以把积和商中的无穷小量用与之等价的无穷小量替换,加与减不能替换.
、无穷小量与无穷大量之间的关系：如果
为无穷大,则
为无穷小;反之,如果
为无穷小,且
,则
为无穷大.⑤利用极限与左右极限的关系存在的充要条件是.⑥利用极限的和、差、积、商运算法则应当注意的是:参与运算的每个函数的极限都要存在,而且函数的个数只能是有限个,在作商的运算时,还要求分母的极限不为零.利用Stolz定理：设数列
单调增加且
,若
或存在,则有
,由此可以证明下面的平均值定理⑦利用函数的连续性函数
在
处连续,则
⑧利用导数的定义⑨利用定积分的定义求和式的极限⑩利用洛必达法则求未定式的极限或利用带有佩亚诺(
)型余项的泰勒公式求极限(3)无穷大量与无穷小量①无穷大量是绝对值无限增大的一类变量,它不是什么绝对值很大的固定数；无穷小量以零为极限的一类变量,它也不是什么绝对值很小的固定数.②无穷大
的倒数
是无穷小量;无穷小
的倒数是无穷大.③无穷小是以零为极限的变量,因此,和、差、乘积的极限运算法则自然也适用于无穷小,但商的极限运算法则不适用于无穷小,因为这时分母的极限为零,另外,无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小.④两个无穷小之商的极限,一般说来随着无穷小的不同而不同,从而产生了两个无穷小之间的"高阶"、"同阶"、"等价"等概念,它们反映了两个无穷小趋于零的快慢程度.⑤如果
以A为极限,则
是无穷小；反之亦然.3.连续函数(1)函数
在
处连续定义的三种不同表达形式是①②③
,使当
时,
.这最后一种表达形式与
的表达形式十分相似,差异在于极限定义中的不等式；
这里变成了
变成了
.因为在探讨连续性时,必须要求
在
处有定义,且极限值A必须为
.(2)连续函数的和、差、积、商在它们共同有定义的区间仍为连续函数.(3)连续函数的复合函数仍为连续函数.(4)单调连续函数有单调连续的反函数.(5)一切初等函数在其定义区间内都连续.(6)闭区间
上的连续函数
有下列重要性质:①
必在
上有界且取得最大值
与最小值
(有界、最大、最小值定理)②
必在
上取得介于
与
之间的任何值(介值定理）;③
必在
上取得最大值
与最小值
之间的任何值;④如果
,则
在开区间
内至少有一点
使得
.③、④两个性质是介值定理②的推论.(7)间断点的分类可去间断点可去间断点第一类间断点存在第一类间断点存在跳跃间断点跳跃间断点间断点间断点无穷间断点(左右极限至少一个为无穷间断点(左右极限至少一个为)第二类间断点第二类间断点(非第一类间断点)振荡间断点振荡间断点(极限振荡不存在)典型例题:例1求极限解把换成,可得又因为所以.因此例2.证明:数列
收敛,并求其极限。证明:设该数列通项为
,则
,令
,则f(2)=2,
,由拉格朗日中值定理得:存在
介于x,2之间,使得
,，
,由题意得
,即
,则
由
且
,由夹逼定理得
即
,同理可得
,练习：利用极限四则运算法则12讨论它的连续性不连续利用两个重要极限求极限1.
12、当常数
,

3.

3.利用洛必达法则求未定式极限1.

2.

3.

4.

4.利用等价无穷小1.
12.
45.利用左右极限的关系求极限1.

2、(00数一5）
13.

6.利用函数的极限求极限1.
02.

07.利用夹逼法则求极限1.
求极限12、设
求
和
答案:

3.
其中
在
上连续08.利用导数的定义求极限1.
,求

2、
在
处可导,
,求

3.

9.利用定积分求和式的极限1.

2.

3.

10.利用单调有界准则求极限1.
求极限
11.利用泰勒公式求极限1.

2.

练习提高:1.(08数学一9)
(提示:用等价无穷小代换或洛必达法则)
;2.(06数一)
(提示:用等价无穷小代换)23、（06数一数二12)数列
满足
,（1)证明
极限存在,并求之;（2)求
（提示：1、利用单调有界公理,2、利用重要极限)1、0,2、
4.(03数一4）
(提示:先写成指数形式）
5.（00数一12)
（提示:讨论左右极限)16.(07数三4)
07.(06数三4)
18.(05数三12）
(提示:用洛必达法则）
9.（05数三4)
,则a=b=
10.(04数三9)

11.设
,证明数列
的极限存在,并求极限。（提示:用单调有界公理,

）12.求极限
,求极限
,并指出其间断点的类型。（
,
可去间断点,
为第二间断点）13.
114.

15（08数三4)设函数
在
内连续,则
.116、(08数三10)求极限
.解:

17、(05数三4）极限
=218.(05数三9)求

题型一无穷小及其阶1.(09数1,2,3)(1)当
时,
与
等价无穷小,(A)
(B)
(C)
(D)
(A)2.当
时,函数
与
比较是（)的无穷小(A)等价(B)同阶非等价(C)高阶 (D)低阶(B)3、设
为任意正数,当
时,将
按从低阶到高阶的顺序排列。答案:
4.当
时,
与
是等价无穷小,则
________
5、（07数一4）当
时,与
等价的无穷小量是应选(B).(A).(B).(C).(D).【】6.(04数一4)把
时的无穷小量
,

使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A).(B).(C).(D).[B]题型三讨论函数的连续性与间断点的类型求函数
在
内的间断点,并判断类型2.（09数二,数三)函数
的可去间断的个数,则（)(A)1 (B)2 (C)3 (D)无穷多个【答案】(C3.
,
讨论
的连续性并指出间断点的类型