微专题17　带电粒子在组合场中的运动

第十章磁场微专题17

带电粒子在组合场中的运动壹考点一磁场与磁场组合磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系．典例1

(2025·苏州期初调研改编)如图所示的xOy坐标系中，在x轴上方有垂直xOy平面向里、范围足够大的匀强磁场，一质量为m、电荷量为－q的粒子在xOy平面内运动，某时刻粒子经过y轴上y＝a的P点，速度方向与y轴正方向夹角为θ＝30°，经过时间t0粒子经过x轴，速度方向与粒子在P点速度方向相反，不计粒子的重力．(1)求粒子运动的速度v0和磁场Ⅰ的磁感应强度大小B1.(2)若粒子经过P点时，在x轴上方再叠加一个方向垂直xOy平面的匀强磁场Ⅱ，使粒子能在磁场中做完整的圆周运动，求匀强磁场Ⅱ的磁感应强度B2的大小和方向．(2)有两种情况：①B2与B1同方向，粒子顺时针转动，设最大半径r1，对应B1＋B2最小，则r1＋r1sin30°＝a②B2与B1反向，粒子逆时针转动，设最大半径r2，对应B2－B1最小，则r2－r2cos60°＝a类题固法11.(2024·如皋二模)如图所示，坐标系xOy平面在纸面内，在x≥0的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，0≤x<d的区域Ⅰ和x>d的区域Ⅱ的磁感应强度大小分别为B1和B2.大量质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从原点O在坐标平面内以与x正方向成θ(－90°≤θ≤90°)角射入，粒子的速度大小相等，方向随角度均匀分布．沿y轴正方向射入的粒子在P(d，d)点垂直两磁场的边界射入区域Ⅱ.不计粒子的重力和粒子间的相互作用．(1)求粒子从原点O射入磁场时的速度大小v.(2)若在两磁场分界处有一垂直于xOy平面的足够大竖直挡板，求打到挡板上的粒子数占总粒子数的百分比η.(3)若粒子在区域Ⅱ中受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为k，观察发现沿y轴正方向射入的粒子，射入区域Ⅱ后粒子轨迹呈螺旋状并与两磁场的边界相切于Q点(未画出)，求该粒子由P点运动到Q点的时间t及该粒子在区域Ⅱ中运动轨迹的长度l.(2)由R＝d，当初速度方向沿x轴正方向时，轨迹与磁场边界相切，此时粒子刚好打到挡板上，0°≤θ≤90°范围内的粒子都能打到挡板，所以打到挡板上的粒子数占总粒子数的百分比(3)该粒子在区域Ⅱ中的运动轨速如图所示粒子在区域Ⅱ中做螺旋线运动，由于存在阻力，所以最后会停下来，在切线方向上，由牛顿第二定律有k∑(vtΔt)＝m∑Δvt，求和得

kl＝mv贰考点二电场与磁场组合1.带电粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示．2.带电粒子在匀强电场中做类平抛(或类斜抛)运动，在磁场做匀速圆周运动，如图所示．3.常见粒子运动的解题方法(1)加速电压U.(2)离子首次到达x轴的坐标范围．(3)到达探测板的离子数占发射的总离子数的比例η.(2)由于粒子带正电，磁场垂直于纸面向外；可以作出离子在磁场中的轨迹．最小速度的轨迹圆最小，将出射点标记为A.最大速度的轨迹圆最大，将出射点标记为B.离子首次到达x轴的范围在A、B之间．过入射点O作入射速度方向的垂线，过出射点A作出射速度方向的垂线，交汇于C点，该点为最小轨迹圆的圆心，OC、AC为半径．如图所示由于入射速度与x轴正方向的夹角为30°，所以α＝90°－30°＝60°由于OC、AC为轨迹圆半径，故OC＝ACθ＝β＝α＝60°所以AC的长度等于最小轨迹圆半径，入射速度为v，由于向心力等于离子所受的洛伦兹力(3)由于探测板足够长，所以不用考虑粒子从水平方向离开探测板范围的可能性．仅需要考虑竖直方向的运动．电场强度方向向上，对正离子的作用力和加速度向上，大小为根据离子竖直方向速度刚好在到达探测板时减为0，列出运动学方程类题固法21.如图所示，在xOy平面内第一、四象限内存在垂直平面向外的匀强磁场，第一象限磁场的磁感应强度为B0，第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E.一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从第三象限内A点以速度v0沿x轴正方向射出，恰好从原点O射入第一象限，射入时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°，不计粒子重力．(1)求A点离x轴的距离．(2)求第四象限的匀强磁场的磁感应强度满足什么条件时，粒子恰好不能再射入第三象限．(3)若第四象限的磁感应强度为2B0，带电粒子恰能以经过O点的速度经过x轴上的C点，OC距离为L，求带电粒子从O点运动到C点的时间．【解析】(1)粒子沿y轴方向做匀加速运动，则运动三分之一圆周进入第四象限，要使粒子恰好不再进入第三象限，粒子的运动轨迹和y轴相切，设粒子在第四象限的运动半径为r2，则2r1cos30°＝r2＋r2cos30°粒子在第一象限运动三分之一圆周的时间在第四象限运动三分之二圆周的时间当粒子经过C点进入第一象限时t＝n(t1＋t2)(n＝1,2,3，…)(1)若两边界之间的匀强电场场强大小为E0，求粒子第一次离开区域Ⅰ磁场前的运动时间t1和第一次到达区域Ⅱ磁场时的速度大小v1.(2)若粒子第一次经过区域Ⅱ磁场后恰好能回到原点O，求两边界间电势差．【解析】(1)粒子在区域Ⅰ磁场中圆周运动的周期(2)设粒子在区域Ⅰ、Ⅱ磁场中圆周运动的半径分别为r1、r2，在区域Ⅱ磁场中速度为v2，粒子在电场中运动加速度为a，两边界间电势差为U，轨迹如图所示由几何关系有r2＝r1或r2＝2r1解得v2＝2v0或v2＝4v0(3)设粒子在区域Ⅱ磁场中圆周运动的半径为r，轨迹如图所示由几何关系可知叁配套精练1.如图所示，在xOy平面内，0<x<L的区域内有一沿y轴正方向的匀强电场．x>L的区域内有一方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．某时刻，一带正电的粒子从坐标原点以沿x轴正方向的初速度v0进入电场，之后的某一时刻，另一带等量负电的粒子以同样的初速度从坐标原点进入电场．正、负粒子从电场进入磁场时速度方向与电场和磁场边界的夹角分别为60°和30°，两粒子在磁场中分别运动半周后在某点相遇．两粒子的重力以及两粒子之间的相互作用都可忽略不计．求：(1)正粒子从O点运动到A所用的时间．(3)两粒子先后进入电场的时间差．(2)设粒子进磁场方向与边界的夹角为θ.vy＝a·tqE＝ma设两粒子在磁场中运动半径为r1、r2，由几何关系2r1＝(y1＋y2)sin60°2r2＝(y1＋y2)sin30°两粒子在磁场中运动时间均为半个周期v0＝v1sin60°，v0＝v2sin30°由于两粒子在电场中运动时间相同，所以进电场时间差即为磁场中相遇前的时间差Δt＝t1－t22.(2025·镇江期初)如图所示，在P点有一粒子源可发射质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子．以O为圆心有一大圆与小圆，大圆半径为r，大圆外存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，大圆与小圆之间的区域存在方向沿半径向外的辐向电场，不计粒子重力．①求大小两圆间的电势差U.②求该粒子再次回到P点时在磁场中经历的时间．解得粒子在磁场中运动的半径为R＝4r(2)①

粒子在磁场中的运动轨迹如图所示②

粒子在磁场中的运动轨迹如图所示由几何关系可知，粒子在磁场中运动的总的圆心角为θ＝150°＋300°＋300°＋150°＝900°所以，该粒子再次回到P点时在磁场中经历的时间为3.如图所示，y方向足够长的两个条形区域，宽度分别为l1＝0.1m和l2＝

0.2m，两区域分别分布着磁感应强度为B1和B2的磁场，磁场方向垂直于xOy平面向外，磁感应强度B2＝0.1T．现有大量粒子从坐标原点O以恒定速度v＝2×106m/s不断沿x轴正方向射入磁场，由于B1的大小在0～0.5T范围内可调，粒子可从磁场边界的不同位置飞出．已知带电粒子的电荷量q＝－2×10－8C，质量m＝4×10－16kg，不考虑带电粒子的重力．求：(1)要使粒子能进入B2的磁场，B1应满足的条件．(2)粒子在条形区域内运动的最短时间t.(3)粒子从y轴飞出磁场时的最高点坐标y.【解析】

(1)当带电粒子在B1磁场中圆周运动的半径大于l1时粒子能进入磁感应强度B2的磁场．代入数据得B1＝0.4T因此B1满足的条件为0≤B1<0.4T(2)当B1＝0时，粒子水平向右进入B2磁场粒子从右边界MN飞出粒子在两个条形区域运动的时间为随着B1的增大，如图所示，根据时间等于弧长与速度的比值可知，粒子在磁场中的运动时间先增大，后减小，当B1达到最大值0.5T时，粒子从左边界飞出，运动时间为所以粒子在两个条形区域内运动的最短时间为t2＝1.26×10－7s(3)设A1为粒子从MN射出的最高点，则A1为轨迹与边界MN的切点，如图所示，O1为粒子在B1磁场中运动的圆心，O2为粒子在B2磁场中运动的圆心，由几何知识可得O2C2＝r2－(l1＋l2)＝0.1m由对称性知，粒子从y轴飞出磁场时的最高点坐标(1)粒子从O运动到P的时间t1.(