结构稳定理论（第2版）课件全套 第1-9章 结构稳定问题概述 -薄板的屈曲

结构稳定理论授课教师|XXX授课内容21.1引言1.2结构稳定问题及其分类1.3判断平衡的稳定性准则与确定临界荷载的基本方法1.4钢结构稳定问题与强度问题的区别第1章结构稳定问题概述1.1引言3钢结构的特点决定了稳定问题更为突出：

轻质、高强、力学性能好与混凝土比、尺寸轮廓小、构件细长、板件薄柔容易发生整体失稳和局部失稳失稳时经常具有突然性的几何形状改变1.1引言4结构的失效类型（承载能力的极限状态）：(1)整个结构或其一部分作为刚体失去平衡。（倾覆

）(2)材料强度破坏。（强度破坏）(3)结构转变为机动体系。（倒塌）(4)结构或构件丧失稳定。（失稳或屈曲）(5)过渡的塑性变形，不适合继续承载。(6)重复荷载作用下构件的疲劳断裂。（疲劳）1.1引言5钢结构失稳案例：加拿大跨越魁北克(Quebec)河三跨伸臂桥工程概况：两边跨各长152.4m，中间跨长548.6m，包括由两个边跨各悬挑出的171.4m(图(a)),整体桥梁采用悬臂法施工(图(b))破坏原因：第一次：格构式下弦压杆的角钢缀条过于柔弱、失稳，其总面积只占弦杆截面面积的1%；第二次：安装时一个锚固支撑构件断裂，中间跨在被举起过程中突然掉落直接损失：架桥工程中19000t钢桥坠入河中，75员工遇难(a)魁北克桥概况魁北克桥的两次事故(b)中间跨坍塌(c)中间跨掉落1.1引言6美国哈特福特城体育场圆型屋顶，1978年1月大雪后倒塌工程概况：91.4m×109.7m网架，四个等边角钢组成的十字形截面杆件。(b)坍塌情况(a)结构网架布置1.1引言7美国哈特福特城体育场圆型屋顶，1978年1月大雪后倒塌破坏原因：为了提高受压上弦杆、受压腹杆的稳定性，通过节点板连接增设水平系杆及二级斜撑(图(c)、(d))，但施工造成的偏心促使十字形截面产生扭转失稳。(c)受压上弦杆(d)受压腹杆1.1引言81990年2月，辽宁省某重型机械厂新增一会议室破坏原因：只有14.4m跨的轻钢梭形屋架腹杆平面外出现半波屈曲，致使屋盖迅速塌落。误用重型屋盖结构。且错用了计算长度系数，λy>300。事故后果：305人开会期间倒塌，造成42人死亡、179人受伤。1.1引言9福建省泉州市欣佳酒店坍塌事故破坏原因：2016-2018年间户主自行加设夹层，使房屋由5层增至7层(图(a))，导致房屋恒载略超过结构设计极限承载力。2019年12月，因户主再次对底层已轻微屈曲钢柱进行焊接加固而引发结构连续倒塌(图(b))。事故后果：造成29人死亡、42人受伤。(a)结构的违规施工(b)坍塌情况10必须做好钢结构的稳定设计

钢结构的失稳破坏会造成重大事故：严重的经济损失及人员伤亡钢结构稳定设计对保证结构安全性至关重要

钢结构稳定设计是结构设计中必须解决的重要问题1.1引言1.2结构稳定问题及其分类11刚体的平衡状态（a）稳定平衡（b）随遇平衡(中性平衡)（c）不稳定平衡稳定是关于结构平衡状态性质的定义：——平衡指结构处于静止或匀速运动状态；——稳定指结构原有平衡状态不因微小干扰而改变，失稳指结构因微小干扰而失去原有平衡状态、并转移到另一新的平衡状态。1.2结构稳定问题及其分类12理想轴心压杆的平衡状态

(a)稳定平衡状态(F<Fcr)(b)中性平衡状态(临界状态)(c)荷载与挠度关系结构丧失第一类稳定的特征：结构在失稳前后的变形产生了性质上的改变，即原来的平衡形式不稳定后，可能出现与原来平衡形式有本质区别的新平衡形式。分支点失稳（第一类稳定问题）

1.2结构稳定问题及其分类13

(a)稳定平衡状态(F<Fcr)(b)荷载与挠度关系结构丧失第二类稳定的特征：结构在失稳前后变形的性质不变，只是原来的变形大大发展直到破坏，不会出现新的变形形式。极值点失稳（第二类稳定问题）1.3判断平衡的稳定性准则与确定临界荷载的基本方法141.3.1静力准则与静力法平衡结构体系，受到微小扰动后，若在该体系上产生一指向原平衡位置的力(正恢复力)，当扰动除去后体系回复到原来的平衡位置，则平衡是稳定的。若产生负恢复力，则平衡是不稳定的。若不产生任何作用力，则体系处于中性平衡。中性平衡是从稳定平衡过渡到不稳定平衡状态的临界状态，相应的荷载为临界荷载。15

在压杆微弯曲的中性平衡状态下建立平衡微分方程来求解临界荷载，就是静力法。两端铰接的轴心压杆

(a)微弯状态(b)隔离体不考虑压缩及剪切作用1.3判断平衡的稳定性准则与确定临界荷载的基本方法16外力矩：内力矩：在微弯曲状态下，压杆的近似平衡微分方程为:设

上式为一常系数齐次线性微分方程式:

通解为：两端铰接杆件的边界条件包括：

将边界条件代入方程通解，得如下齐次方程组：

1.3判断平衡的稳定性准则与确定临界荷载的基本方法17

上式

，称为稳定特征方程，解得：

当

C1=C2=0时，满足上式，但此时

y=0，表示杆件处于直线平衡状态，不是我们所研究的微弯曲状态，对应杆件曲线平衡状态，要求

y≠0，即

C1、C2有非零解，为此要求方程组的系数行列式必须等于零，即:

则有(n=1,2,3,…),即1.3判断平衡的稳定性准则与确定临界荷载的基本方法18两端铰接轴心受压压杆挠度曲线

(a)

n=1

(b)

n=2(c)n=3相应的挠曲曲线为：1.3判断平衡的稳定性准则与确定临界荷载的基本方法19当n=1时，相对应的临界荷载最小，此时杆件已经失稳，因此n=2，3，…对应的临界荷载不会再存在。相应的临界荷载和挠曲曲线分别为：欧拉临界应力：1.3判断平衡的稳定性准则与确定临界荷载的基本方法20静力法求临界荷载的步骤：(2)取出隔离体列出平衡微分方程，求解此方程得到通解；(3)边界条件代入通解，得出一组与未知常数数目相等的齐次方程组；(4)使齐次方程组有非零解，则令其系数行列式等于零。(1)首先假定杆件处于微弯曲中性平衡状态；1.3判断平衡的稳定性准则与确定临界荷载的基本方法211.3.2能量准则与能量法平衡结构的平衡性用体系的总势能

Ep来判别。总势能

Ep=结构体系内应变能

Eε+外力势能

-W平衡如体系受到微小扰动，Ep是增加的，则原平衡状态是稳定的；若

Ep是减小，则平衡状态不稳定；若

Ep不变，则为中性平衡。或者说：当

Ep取极小值，为稳定平衡；当

Ep取极大值为不稳定平衡。1.3判断平衡的稳定性准则与确定临界荷载的基本方法221.3.3两种准则异同对于保守系统：能量准则等价于静力准则。静力准则：通过中性平衡建立力平衡微分方程。能量准则：通过中性平衡建立能量平衡方程。保守系统：力做功与路径无关，只依赖移动的起点和终点，如重力。非保守系统：力做功与路径有关，如摩擦力。能量法：铁摩辛柯法、瑞利-利兹法、伽辽金法和能量驻值原理。1.3判断平衡的稳定性准则与确定临界荷载的基本方法231.3.4动力准则与动力法

动力准则：平衡结构体系，受到微小扰动，然后放松，若体系在原平衡位置附近振动，则平衡是稳定的。振动频率将随压力增加而减小，当压力达到某一临界值时（临界荷载），频率为零，则平衡是中性的。动力法：体系在原平衡位置微小的自由振动写出动力方程自振频率表达式令频率

f=0确定临界荷载

Fcr。1.3判断平衡的稳定性准则与确定临界荷载的基本方法1.4钢结构稳定问题与强度问题的区别24稳定问题采用二阶分析一阶分析：针对未变形的结构来分析其平衡，不考虑变形对外力效应的影响；二阶分析：针对已变形的结构来分析其平衡。

(1)

稳定问题必须以变形后的结构作为计算依据，其荷载—变形关系是非线性的，因此稳定问题必然采用二阶分析。25(2)强度问题是某一截面或某一点上的应力问题，按强度计算的承载力取决于净截面上的应力和材料的强度；(3)稳定问题是要找出荷载作用与结构内部抵抗力之间的不稳定平衡状态(即变形开始急剧增长的状态)，并要求避免进入这种状态，稳定问题属于整个结构或构件的变形问题，弹性稳定承载力取决于结构或构件的刚度而并不是材料的强度。1.4钢结构稳定问题与强度问题的区别26应用叠加原理应满足两个条件：(1)材料符合虎克定律，即应力与应变成正比；(2)荷载（内力）—变形呈线性关系。1.4钢结构稳定问题与强度问题的区别稳定问题不能应用叠加原理弹性稳定问题必须采用二阶分析，不满足第二个条件。非弹性稳定问题则两个条件均不满足。承受两个集中力的压杆27静定结构的内力分析只用静力平衡条件即可；超静定结构内力分析则还需增加变形协调条件。在稳定计算中，无论是静定或超静定结构都要针对变形后的位形进行分析，两种结构只是边界条件不同而已。1.4钢结构稳定问题与强度问题的区别稳定问题不必区分静定和超静定结构采用同一平衡微分方程:不同支承条件的压杆

感谢倾听THANKYOUFORYOURLISTENING结构稳定理论授课教师|XXX授课内容302.1引言2.2铁摩辛柯能量法2.3势能驻值原理和最小势能原理2.4瑞利-里茨法2.5迦辽金法第2章稳定计算的能量法2.1引言31静力法求解构件稳定问题，是通过建立临界状态的平衡微分方程而求出临界荷载的精确解。但是，静力法需要求解微分方程，同时得到的稳定方程又是超越方程，求解十分困难。由于构件截面的变化或受力的复杂性，有时甚至要求解变系数平衡微分方程，往往不能得到闭合解，这就需要一些近似方法来求解。非等截面构件压力沿轴线变化的构件压杆的弹塑性屈曲问题具有变系数的平衡微分方程求解困难或无法求解2.1引言32近似方法：能量法

铁摩辛柯能量法

势能驻值原理和最小势能原理

瑞利-里茨法

迦辽金法当时，中性平衡状态2.2铁摩辛柯能量法33能量守恒原理：保守体系处于平衡状态时，贮存在结构体系中的应变能等于外力所作的功：铁摩辛柯能量法：用能量守恒原理解决结构弹性稳定问题受到扰动后：体系应变能增量

ΔEε

=外荷载作功增量

ΔW+扰动力所作功当时，不稳定平衡状态当时，稳定平衡状态求解临界荷载2.2铁摩辛柯能量法34以两端铰接轴心受压直杆为例来说明铁摩辛柯能量法：杆在中性平衡状态下弯曲后，上端下降δ，外力所作的功：取杆件的微段dx来研究：因为θ

角很小，故可取两端铰接的轴心受压直杆2.2铁摩辛柯能量法35以两端铰接轴心受压直杆为例来说明铁摩辛柯能量法：两端铰接的轴心受压直杆沿杆长积分，得到杆件上端下降量δ

为：外力功为：杆件由直线状态过渡到曲线平衡状态过程产生的弯曲应变能增量为：式中，y(x)是任一可能的挠度曲线，即满足位移边界条件的挠度曲线。根据ΔEε

=ΔW

得：2.2铁摩辛柯能量法36以两端铰接轴心受压直杆为例来说明铁摩辛柯能量法：两端铰接的轴线受压直杆由Fcr即为临界荷载：支承情况挠度曲线级数表达式2.2铁摩辛柯能量法37满足位移边界条件的挠度曲线级数表达式：2.2铁摩辛柯能量法38满足位移边界条件的挠度曲线级数表达式：支承情况挠度曲线级数表达式2.2铁摩辛柯能量法39满足位移边界条件的挠度曲线级数表达式：支承情况挠度曲线级数表达式支承情况挠度曲线级数表达式2.2铁摩辛柯能量法40满足位移边界条件的挠度曲线级数表达式：2.2铁摩辛柯能量法41例题2.1

采用铁摩辛柯能量法来求两端铰接轴心受压直杆的临界荷载。解1:假定，此式满足位移边界和力学边界条件。力学边界条件：

位移边界条件：

将代入ΔEε

和ΔW表达式，得到：2.2铁摩辛柯能量法42根据ΔEε=ΔW得：与精确值完全一致采用能量法的精度取于位移函数的选择2.2铁摩辛柯能量法43选择原则:形状合理，尽量与真实变形接近尽可能满足几何、力学边界条件，至少满足几何边界条件易积分，便于计算，如常选用多项式和三角函数解2:设位移函数为：位移边界：a=0b=-cl不满足力学边界条件2.2铁摩辛柯能量法44代入ΔEε

和ΔW表达式，得到：根据ΔEε

=ΔW得：比精确值大21%解3:仍假定位移函数为：ΔW计算不变ΔEε的计算采用，而非2.2铁摩辛柯能量法45根据ΔEε=ΔW得：比精确值大1.3%由于假定的y(x)不是真实的屈曲挠度曲线，y〞的误差更大2.3势能驻值原理和最小势能原理46虚位移原理：变形体处于平衡状态的充分必要条件是，对于与约束条件相协调的任意微小虚位移，外力虚功应等于内力虚功，即外力虚功内力虚功，始终为负值，应等于负的虚应变能外力势能

为总势能，应变能和外力势能之和。势能驻值原理：当体系处于平衡状态时，总势能一阶变分为零，或体系总势能为一驻值。2.3势能驻值原理和最小势能原理47势能驻值条件平衡状态平衡是否稳定，还要进一步考察Ep的高阶变分最小势能原理：对于稳定的平衡，给定任何虚位移，总势能的变化ΔEp总为正，因为只有干扰力作正功才可能偏离原来的平衡位置。因此，在稳定平衡状态，体系的总势能为最小。（a）稳定平衡（b）随遇平衡（中性平衡）（c）不稳定平衡刚体的平衡状态482.3势能驻值原理和最小势能原理当时，，为极小，属于稳定平衡；当时，，为极大，属于不稳定平衡。当时，，属于中性平衡；求临界荷载的两种方法：从中性平衡状态的荷载为临界荷载这一概念出发，由势能驻值原理，求临界荷载。从稳定平衡过渡到不稳定平衡的荷载为临界荷载这一概念出发，由最小势能原理，求临界荷载。简单，平衡条件更严密2.4瑞利-里茨法49瑞利－里茨法：建立在势能驻值原理基础上的近似方法，用求解代数方程式代替求解微分方程式。步骤：假定体系在中性平衡时，沿坐标轴x、y、

z方向的位移分量分别为：形状函数2.4瑞利-里茨法50将假定的形状函数代入势能方程Ep=Eε-W中，根据势能驻值原理得：由于是微小的任意值：求解临界荷载2.4瑞利-里茨法51例题2.3

采用瑞利－里茨法求解一端固定一端铰接轴心压杆的临界荷载。根据表2.1，位移函数只取前两项：位移函数的一阶、二阶导数分别为：压杆的应变能为：满足边界条件2.4瑞利-里茨法52外力势能为：压杆的总势能为：对系数α1、

α2

微分：2.4瑞利-里茨法53系数α1、

α2不全为零的条件是其系数行列式为零，得到稳定方程为：比精确值大3.7%2.5迦辽金法54瑞利－里茨法：迦辽金法：瑞利－里茨法的改进型，仍然利用势能驻值原理，直接写出微分方程。

假定形函数

写出势能方程容易利用势能驻值原理，对系数微分得到代数方程组失稳时系数不全为零，得到特征值方程组，求解临界荷载2.5迦辽金法55原理及步骤：以两端铰接轴心受压直杆为例在弯曲状态下的应变能和外力势能分别为：则总势能为:根据势能驻值原理，一阶变分得：利用分部积分：2.5迦辽金法56代入边界条件，简化得到：令L(y)=EIy(4）+Fy'',L(y)为轴压构件平衡微分方程的左端项：设轴心受压构件挠曲线方程为：变形曲线y的一阶变分为：2.5迦辽金法57代入形函数方程，得：由于是不等于零的任意微小量，其系数等于零上式才成立，于是得到迦辽金方程组为：求解临界荷载2.5迦辽金法58例题2.4

采用迦辽金法求解两端固接压杆的临界荷载。设形函数为：迦辽金方程组为：和

满足全部边界条件：2.5迦辽金法59a1,a2不全为零的条件是其系数行列式为零，为此令其系数行列式为零，即得稳定方程为：展开后，解得：比精确值大6.4%

感谢倾听THANKYOUFORYOURLISTENING结构稳定理论授课教师|XXX授课内容623.1引言3.2轴心受压杆件的弯曲失稳3.3格构式轴心受压杆件的稳定第3章轴心受压杆件的整体稳定3.1引言63无缺陷轴心受压杆件的整体失稳形式：弯曲失稳：杆件某个主轴平面内的变形迅速增加而丧失承载力

双轴对称截面绕对称轴、单轴对称截面绕非对称轴的失稳扭转失稳：抗扭刚度较差杆件绕纵轴的扭转变形迅速增大而丧失承载力

十字形截面、Z型截面弯扭失稳：截面形心与剪心不重合，杆件发生弯曲的同时伴有扭转

单轴对称截面绕对称轴的失稳，无对称轴截面

3.1引言64弯曲失稳扭转失稳弯扭失稳整体失稳的形式主要取决于：截面的形状、几何尺寸、杆件长度和杆端的连接条件等因素3.2轴心受压杆件的弯曲失稳653.2.1理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载任意杆端边界条件轴心受压杆件

采用静力法：在中性平衡状态下，取隔离体，在x截面处建立弯矩平衡方程为：引入符号对式（3.1）求导两次消除非齐次项得：(3.1)(3.2)式(3.2)适用于各种杆端支承条件的理想轴心压杆，故称之为轴心压杆稳定问题的普遍微分方程。3.2轴心受压杆件的弯曲失稳663.2.1理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载式(3.2)通解为:通解包含了4个任意积分常数，可由压杆两端支承条件确定，例如：(3.3)和简支端：和固定端：和自由端：根据压杆两端的四个边界条件，代入通解可得到四个线性齐次方程式：(3.2)3.2轴心受压杆件的弯曲失稳673.2.1理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载系数A~D不同时为零（非零解）的条件：

=0为稳定特征方程或简称稳定方程，得到一个只包含参数α的超越方程式，有无数个根，取最小根α。由α2=F/EI，即可求出临界荷载Fcr。将最小根α代入通解，确定了杆件的挠曲曲线。3.2轴心受压杆件的弯曲失稳683.2.1理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载【例3.1】以一端固定一端铰接的轴心压杆来说明稳定准则的应用。边界条件：下端（固定）：和当

时，上端（简支）：和当

时，将以上边界条件代入通解，可得到四个线性齐次方程式：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳693.2.1理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载系数A~D不同时为零（非零解）的条件是：展开上式，得到关于α

的超越方程：此超越方程的最小根为：临界力（荷载）为：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳703.2.1理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载临界应力为：杆件的长细比杆件的计算长度计算长度系数杆件挠曲曲线上两反弯点的间距。计算长度几何意义：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳713.2.1理想轴心受压杆件弯曲失稳的临界荷载轴心受压构件的计算长度3.2轴心受压杆件的弯曲失稳723.2.2弹塑性弯曲失稳欧拉（Euler）公式的使用范围：适用于弹性范围，欧拉临界应力小于比例极限，即此时，长细比但是，当长细比时，，材料进入非线性阶段稳定问题变得复杂考虑双重非线性3.2轴心受压杆件的弯曲失稳733.2.2弹塑性弯曲失稳

1889年恩格塞尔（Engesser），用应力～应变曲线的切线模量代替欧拉(Euler)公式中的弹性模量E：相应的切线模量临界应力为：即为切线模量理论。与欧拉公式应用方面的区别为：

采用欧拉(Euler)公式可直接由长细比λ

求得临界应力σcr，但切线模量公式则不能，因为切线模量Et与临界应力σcr互为函数。3.2轴心受压杆件的弯曲失稳743.2.2弹塑性弯曲失稳如何应用第二步：由σ~ε

曲线得到σ~Et曲线。如图（b）第三步：先给定一个σcra，由σ~Et曲线得到Et，由切线模量公式求出长细比λ，得到σcr~

λ

曲线。第一步：通过短柱试验先测得钢材的平均关系曲线σ~ε，如图（a）柱子曲线切线模量理论经典弹塑性屈曲理论除切线模量理论外，还有和3.2轴心受压杆件的弯曲失稳753.2.2弹塑性弯曲失稳Engesser双模量理论Karman双模量理论Shanley理论：切线模量应力是轴心受压杆件弹塑性屈曲应力的下限，双模量应力是其上限，切线模量理论更有实用价值。事实证明：双模量理论计算结果比试验值偏高，而切线模量理论计算结果却与试验值更为接近。引入，得到：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳763.2.3初弯曲(初挠度)的影响设杆件初弯曲形状为半波正弦曲线：微弯状态下的平衡方程为：有初弯曲的轴心受压杆件3.2轴心受压杆件的弯曲失稳773.2.3初弯曲(初挠度)的影响微分方程通解为：代入边界条件：得到附加挠度：总挠度：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳783.2.3初弯曲(初挠度)的影响挠度放大系数可以看出：

1.一开始加载，杆件就出现弯曲；

2.当荷载F接近欧拉荷载FE时，挠度增加很快，最后趋于无穷大；

3.初弯曲越大，中点挠度越大，挠度与初弯曲值a成正比

4.杆件的初弯曲会降低轴心受压杆件的承载力。

5.考虑材料非线性的影响，出现上图虚线所示的极值点失稳现象。有初弯曲轴心受压杆件的荷载-总挠度曲线跨中挠度:3.2轴心受压杆件的弯曲失稳793.2.4初偏心的影响微弯状态下的平衡方程为：引入，得到：方程的解：由边界条件：有初偏心的轴心受压杆件3.2轴心受压杆件的弯曲失稳803.2.4初偏心的影响方程的解为：跨中挠度：令，由，，得到3.2轴心受压杆件的弯曲失稳813.2.4初偏心的影响初偏心距为e

的杆件可以等效成初弯曲为

的杆件来研究。有初偏心受压杆件的荷载-挠度曲线由此可见：1.初偏心的影响与初弯曲的影响相似，可以只考虑其中一个缺陷来模拟两种缺陷。2.无论是初弯曲或初偏心受压杆件，当荷载F接近欧拉荷载FE时，中点挠度趋于无穷。3.考虑材料非线性的影响，出现极值点失稳现象，稳定承载力低。3.2轴心受压杆件的弯曲失稳823.2.5残余应力的影响概念：钢结构杆件制作时，由于钢材热轧、板边火焰切割、杆件焊接和校正调直等加工制造过程中不均匀的加热和冷却会产生残余应力。特点：1.截面的残余应力为一种自相平衡的应力。2.对结构静力强度影响不大，但对结构的刚度和压杆

的稳定性能有不利影响。3.2轴心受压杆件的弯曲失稳833.2.5残余应力的影响残余应力分布应力变化应力～应变曲线

残余应力的存在，降低了杆件的比例极限

fp=fy-σr，超过比例极限之后，应力应变曲线呈现非线性。残余应力对短柱应力～应变曲线的影响3.2轴心受压杆件的弯曲失稳3.2.5残余应力的影响残余应力对杆件稳定承载力的影响

若杆件进入弹塑性阶段，截面出现部分塑性区和部分弹性区。已屈服的塑性区，弹性模量E=0，不能继续有效地承载。弹性阶段:采用欧拉(Euler)公式计算其临界力。弹塑性阶段:按弹性区截面的有效截面惯性矩Ie来计算其临界力，即相应临界应力为:3.2轴心受压杆件的弯曲失稳3.2.5残余应力的影响残余应力对杆件稳定承载力的影响换算切线模量

Ie/I取决于杆件截面形状尺寸、残余应力的分布和大小，以及杆件屈曲时的弯曲方向。总结：

考虑残余应力影响时，弹塑性屈曲的临界应力为弹性欧拉(Euler)临界应力乘以小于1的折减系数Ie/I。3.2轴心受压杆件的弯曲失稳863.2.6有弹性支承的轴心受压杆件的稳定以一端固定、一端弹性水平支承的压杆为例：微弯状态下的平衡方程为：一端固定、一端弹性水平支承压杆引入，得到通解：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳3.2.6有弹性支承的轴心受压杆件的稳定代入边界条件：得到该压杆的临界荷载：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳3.2.6有弹性支承的轴心受压杆件的稳定一端自由、一端弹性转动支承压杆微弯状态下的平衡方程为：边界条件：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳3.2.6有弹性支承的轴心受压杆件的稳定一端铰支、一端弹性转动支承压杆微弯状态下的平衡方程为：边界条件：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳903.2.7变截面轴心压杆的稳定分上下部建立平衡方程：一级台阶悬臂轴心压杆通解为：3.2轴心受压杆件的弯曲失稳913.2.7变截面轴心压杆的稳定代入边界条件及连续性条件：令可得：当给定l1/l2,I2/I1

各比值时，即可求得临界荷载。3.3格构式轴心受压杆件的稳定3.3.1剪切变形对临界力的影响右图所示压杆，小变形下，根据叠加原理，有：引入变形曲率、附加转角，得到:剪切变形对轴心受压杆件临界力的影响引入M=Fy得到:3.3格构式轴心受压杆件的稳定3.3.1剪切变形对临界力的影响令得到:解得临界荷载:边界条件:对于实腹式轴心受压杆件，k/GA很小，在计算其稳定性时，可以忽略剪切变形的影响。3.3格构式轴心受压杆件的稳定3.3.2缀条式轴心受压杆件的临界荷载双肢缀条式轴心受压杆件格构缀条柱计算长度系数为式中：——整个杆件对虚轴的长细比——两斜缀条横截面面积之和——两横缀条横截面面积之和3.3格构式轴心受压杆件的稳定3.3.2缀条式轴心受压杆件的临界荷载

横缀条对临界荷载的影响小于斜缀条，长度计算系数简化为：通常取倾角为45°，则换算长细比为：总结：剪切变形使得临界荷载降低3.3格构式轴心受压杆件的稳定3.3.3缀板式轴心受压杆件的临界荷载双肢缀条式轴心受压杆件格构缀柱计算长度系数为式中：——整个杆件对虚轴的长细比——单个分肢节间段的长细比——缀板惯性矩3.3格构式轴心受压杆件的稳定3.3.3缀板式轴心受压杆件的临界荷载一般情况下，缀板刚度大，如在常用范围时，可近似取1，则：总结：格构式轴心受压杆件临界荷载的计算与实腹式相同。

感谢倾听THANKYOUFORYOURLISTENING结构稳定理论授课教师|XXX授课内容1004.1引言4.2自由扭转4.3约束扭转4.4梁的弯扭屈曲4.5用能量法计算工字梁的弯扭屈曲临界荷载第4章

杆件的扭转与梁的弯扭屈曲4.1引

言

受弯构件通常称为梁，在土木工程中应用很广泛，例如房屋建筑中的楼盖梁、工作平台、吊车梁、屋面檩条和墙架横梁，以及桥梁、水工闸门、起重机、海上采油平台中的梁等。受弯构件在荷载作用下的工作大体经历两个阶段：

（1）仅平面弯曲变形

（2）同时出现侧向弯曲和扭转梁的弯扭屈曲首先介绍薄壁杆件的扭转理论。1014.2自由扭转截面的剪切中心钢构件的截面(如工字形、槽形)，其组成板件较薄(宽厚比一般大于10)，属薄壁构件，薄壁截面剪应力的计算宜用剪力流理论。

剪力流理论

(1)

分布：剪应力沿板件厚度均匀分布(2)

方向：与各板件平行

工字形截面槽形截面当外荷载引起的截面剪力通过某一确定点时，构件仅发生弯曲而不引起扭转，则该点称为剪力中心（弯曲中心）。1024.2自由扭转腹板中竖向剪应力的合力必然等于外剪力翼缘中剪应力的合力H形成偶力V—计算截面一个主轴方向的剪力；S—计算翼缘剪应力时为计算处以外，计算腹板剪应力时则为计算处以上毛截面对中和轴的面积矩；Ix—毛截面惯性矩；t—计算剪应力处的板件厚度。1034.2自由扭转剪切中心特点：其位置取决于截面的形状与尺寸，与荷载无关。构件的横向荷载通过剪心时，不发生扭转变形。双轴对称截面：剪心

S与形心

C

重合。单轴对称截面：剪心

S在对称轴上，但不与形心重合。（对于两块狭长矩形板组成的截面，剪心

S在两块板厚度中线上的交点）(1)杆件受扭时，绕着剪心S发生扭转变形(2)

杆件发生弯曲时，剪力不通过截面剪心，弯曲时将伴随扭转1044.2自由扭转翘曲非圆形截面的杆件扭转时，截面除绕杆件轴线转动外，截面上各点还会发生不同的轴向位移而使截面出现凹凸，不像圆截面杆件那样扭转后还保持平面。(a)无翘曲，截面保持平面(b)有翘曲，截面不保持平面荷载作用线未通过剪切中心产生的扭转有两种形式：自由扭转和约束扭转。1054.2自由扭转自由扭转

横截面上各点的轴向位移不受任何约束，截面可以自由翘曲，又叫做圣维南扭转。（1）截面翘曲相同、没有正应力。截面将发生翘曲，但不同横截面上相应点的轴向位移相同，即每个纵向纤维的长度保持不变，也就是说各个横截面的翘曲变形完全相同。因此，自由扭转时，每个纵向纤维不产生轴向应变，杆件横截面上没有正应力而只有扭转引起的剪应力。（2）自由扭转时，杆件的所有纵向纤维不发生弯曲而保持直线，因此杆件不发生弯曲变形。1064.2自由扭转工字钢的自由扭转

在扭转过程中，翼缘和腹板上所有纵向纤维均保持直线，扭角为

φ

：对杆件轴线坐标

z

求导数，可得扭率为：自由扭转时的扭矩

Mst与扭率

φ’之间的关系为:G为材料的剪切弹性模量；It为截面的自由扭转惯性矩或扭转常数自由扭转微分方程1074.2自由扭转

开口薄壁杆件自由扭转时，截面上的剪应力方向与中心线平行，且沿薄壁厚度

ti

线性分布，在中心线上剪应力为零，截面周边边缘处为最大，剪应力的合成必定是与外扭矩相等的一个扭矩，从而在截面内形成闭合循环的剪力流：自由扭转的截面应力只有剪应力，无翘曲正应力或1084.3约束扭转定义

由于杆件的荷载分布情况或约束条件可能使扭转时的翘曲受到约束，即横截面的轴向位移受到约束，这种扭转称为约束扭转。特点（一）沿杆件轴线各个截面的翘曲不相同，杆件的纵向纤维将发生拉伸或压缩变形，各纤维的正应力

σω也不同，发生弯曲变形，因此约束扭转又叫做弯曲扭转。（二）截面上产生翘曲正应力的同时，必然产生与之平衡的剪应力，称为翘曲剪应力。1094.3约束扭转约束扭转的平衡微分方程工字形截面的约束扭转截面上翘曲剪应力的合力组成的力矩称为翘曲扭矩Mω，由自由扭转产生的剪应力的合力组成自由扭转扭矩Mst

；在约束扭转中，自由扭转扭矩Mst和翘曲扭矩Mω共同与外加扭矩相平衡。自由端有集中扭矩Mz扭角为φ翘曲受到一定限制，上下翼缘将发生相反方向的侧向弯曲1104.3约束扭转

约束扭转的平衡微分方程工字形截面的约束扭转自由扭矩Mst翘曲扭矩Mω由于扭角φ很小，故：翼缘的弯曲曲率为：I1为一个翼缘对

y轴的惯性矩，I1=Iy/21114.3约束扭转约束扭转的平衡微分方程工字形截面的约束扭转上翼缘向左弯曲，下翼缘向右弯曲，方向相反。因此，翘曲产生的剪力Vf必然大小相等方向相反，这两个剪力形成的力矩就是翘曲力矩

Mω。弯曲产生的剪力Vf为：1124.3约束扭转约束扭转的平衡微分方程翘曲力矩Mω为：Iω为截面的翘曲扭转常数（或称为扇性惯性矩）;EIω为翘曲刚度得约束扭转的平衡微分方程为：1134.3约束扭转

约束扭转的翘曲正应力与翘曲切应力总扭矩Mz自由扭转扭矩Mst翘曲扭矩Mω剪应力剪应力τω和正应力σω约束扭转引起的A点的翘曲正应力为：ω=bh/4为扇形坐标1144.3约束扭转约束扭转的翘曲正应力与翘曲切应力

翼缘上翘曲产生的剪力为Vf，最大翘曲剪应力发生在

B点，其值为：；Sω为扇形静距1154.4梁的弯扭屈曲梁的失稳类型

在最大刚度平面内承受弯曲作用的理想弹性梁，在侧向没有足够的支撑，且侧向刚度很弱，当弯矩达到某一限值

时，梁会突然产生侧向弯曲变形和扭转角，这种现象称为梁的弯扭失稳或弯扭屈曲，属于第一类稳定问题。

但是实际梁在弯曲平面内和平面外都存在几何缺陷或荷载初始偏心，梁一受弯就会产生侧扭变形，实际梁的失稳属于第二类稳定问题，即极值点失稳。而极值点失稳问题极其复杂。梁的弯扭失稳1164.4梁的弯扭屈曲理想纯弯简支梁侧扭屈曲临界弯矩计算

假设材料是各向同性的完全弹性体，不考虑梁的初始缺陷和残余应力。

忽略梁在屈曲前的弯曲变形对侧向弯扭的影响。

梁的简支是指梁的两端面可以绕形心主轴

x

轴或

y

轴自由转动，但不能绕z轴扭转。

当达到临界状态时，在梁发生微小侧向弯曲和扭转变形位置建立梁的平衡微分方程。理想简支支座1174.4梁的弯扭屈曲双轴对称截面简支梁的弯扭屈曲

工字形截面的弯扭屈曲平衡微分方程为：(1)(2)(3)

对双轴对称截面，截面的形心o与剪力中心s重合，沿坐标轴x、y方向的位移分别为u、v,且位移沿坐标轴正向为正。截面的扭转角为φ,右手螺旋方向旋转为正。1184.4梁的弯扭屈曲

式(2)与式(3)都具有两个相同的未知数u和φ，将式(3)对z微分一次，并利用式(2)消去，得到下列只包含扭转角

φ

的侧向弯扭屈曲平衡方程式。令；得：通解为：式中；1194.4梁的弯扭屈曲边界条件为：当z=0和z=l时，φ=0（无扭转角）；d2φ/dz2=0（无翘曲）代入A≠0微分方程的解为：代入要使上式在任何z值都成立1204.4梁的弯扭屈曲梁整体失稳的临界弯矩为：或写成：

如果梁不是纯弯曲而是受别的荷载作用，如受到集中荷载、均布荷载或两端不等弯矩作用时，梁中弯矩将为z的函数，平衡微分方程也不再是常系数微分方程，则采用能量法和数值分析求解，求解将更复杂。1214.4梁的弯扭屈曲临界弯矩通用表达式：

对于纯弯曲梁系数C1=1.00；对于跨中集中荷载作用下的梁C1=1.37；对于在四分点集中荷载作用下的梁C1=1.04；对于均布荷载作用下的梁C1=1.15。梁的整体稳定性的影响因素：三个刚度（抗弯刚度、抗扭刚度、翘曲刚度）梁的跨度l荷载沿梁轴的分布情况荷载沿梁截面高度的作用位置荷载作用位置对梁整体稳定性的影响1224.5用能量法计算工字梁的弯扭屈曲临界荷载均匀弯矩作用、两端简支的工字梁

梁的应变能由三部分组成，一部分是侧向弯曲应变能，另两部分分别由自由扭转和翘曲引起。根据材料力学原理，梁的侧向弯曲应变能为：

在梁上沿z向取微段dz，自由扭转时的应变能等于扭矩和扭角变化的乘积的一半，即（1）（2）将

代入（2）得1234.5用能量法计算工字梁的弯扭屈曲临界荷载均匀弯矩作用、两端简支的工字梁故整个梁自由扭转的应变能为：

计算翘曲扭矩引起的应变能时，忽略翘曲剪应力所引起的应变能，只考虑翘曲正应力引起的应变能。除此之外，根据普通梁理论，与弯曲应变能比较，假定伴随非均匀弯矩而产生的剪切应变能是可以忽略的，其弯曲应变能就是翘曲引起的应变能，即（3）（4）1244.5用能量法计算工字梁的弯扭屈曲临界荷载均匀弯矩作用、两端简支的工字梁

将；；带入（4）式得梁的应变能为弯曲应变能、自由扭转应变能和翘曲应变能之和，即：=（5）（6）1254.5用能量法计算工字梁的弯扭屈曲临界荷载均匀弯矩作用、两端简支的工字梁

外力功等于外力矩与梁在屈曲时端部转角的乘积，而外力势能V是外力功的负值，即：M为端弯矩；θ为梁端部的转角。工字型梁的侧向屈曲变形图（8）（7）1264.5用能量法计算工字梁的弯扭屈曲临界荷载均匀弯矩作用、两端简支的工字梁将（9）、（10）代入式（8）得：代入代入（9）（10）（11）127均匀弯矩作用、两端简支的工字梁综上所述，梁的总势能为：

代入

==假定位移函数u与φ近似取为：

（12）（13）4.5用能量法计算工字梁的弯扭屈曲临界荷载1284.5用能量法计算工字梁的弯扭屈曲临界荷载均匀弯矩作用、两端简支的工字梁由边界条件：当z=0、l时，u=v=0，φ=φ′′=0并利用

得到

根据瑞雷-里兹法，令，得

（14）1294.5用能量法计算工字梁的弯扭屈曲临界荷载均匀弯矩作用、两端简支的工字梁系数A、B不同时为零的条件是其系数行列式为零，即

展开行列式，得稳定方程为：

由此可解得临界屈曲弯矩为：

（15）（16）1304.5用能量法计算工字梁的弯扭屈曲临界荷载均匀弯矩作用、两端固定的工字梁

这里两端固定的条件是指端部截面在x、y方向的位移为零，绕y轴和z轴的转角为零。

边界条件

：

当z=0、l时，u=v=φ=0，u′=φ′=0，v′′=0代入式（13）得：根据瑞雷-里兹法，令，得

1314.5用能量法计算工字梁的弯扭屈曲临界荷载均匀弯矩作用、两端固定的工字梁系数A、B不同时为零的条件是其系数行列式为零，即

由此可得临界方程为：

展开行列式，得稳定方程为：

（17）（18）132

感谢倾听THANKYOUFORYOURLISTENING结构稳定理论授课教师|XXX授课内容1355.1引言5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲5.3偏心压杆的弯扭屈曲5.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载5.5用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载第5章

受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲5.1引言136下面讨论压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲问题。（1）开口薄壁受压杆件截面的抗扭刚度较小，容易发生扭转变形；（2）十字形截面受压杆件，容易发生扭转屈曲；（3）单轴对称受压杆件，如角形、槽形、T

形截面杆件，由于截面形心与截面剪切中心不重合，容易发生弯扭屈曲。扭转屈曲弯扭屈曲双轴对称轴心压杆的扭转屈曲开口薄壁杆件在轴心压力作用下：（1）只有截面形心和弯心重合的杆件才可能出现扭转屈曲；（2）而截面形心和弯心不重合的杆件，发生扭转时总是伴随着弯曲，也就是呈现弯扭屈曲。5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲137扭转屈曲以双轴对称工字形截面轴心受压杆件为例来说明扭转屈曲：两端铰支的杆发生扭曲时，除支承处外，各个截面都绕形心轴轴转动。5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲双轴对称轴心压杆的扭转屈曲138分析屈曲时扭转平衡的情况：杆件任意截面的扭转角为，则截面上一点

在截面平面内的位移为相距的两个邻近截面的相对扭转角为是

点至截面形心的距离两截面上相对应点E、D的相对位移是5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲139双轴对称轴心压杆的扭转屈曲

纤维因两截面相对转动而产生倾斜，倾斜后的纤维相对杆件轴线方向的倾角为根据平衡关系，作用在以该倾斜纤维为轴线的微元体上的轴力在杆的横截面平面内有分力，且5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲140双轴对称轴心压杆的扭转屈曲它对弯心（形心）有扭矩在整个截面上进行积分，得作用于截面上的扭矩式中,，

为截面对弯心的极回转半径。5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲141双轴对称轴心压杆的扭转屈曲将代入开口薄壁杆件约束扭转的平衡微分方程式得边界条件：和时，表示扭角为0表示截面没有翘曲正应力5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲142双轴对称轴心压杆的扭转屈曲设式的解为：显然，该解满足边界条件式：和时，将代入微分方程式解得扭转屈曲临界力的计算公式为：（

为参数）5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲143对于工字形截面,翘曲扭转常数，是截面对平行于腹板的主轴的惯性矩，是截面高度。对于非铰接支承情况的杆件，式右侧括号内第一项应乘以适当系数来反映约束作用。的计算公式随截面形式而不同，对十字形截面由于，扭转屈曲临界力比较低，式成为5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲144所以，对十字形截面，扭转屈曲临界力和杆的长细比和支承条件均无关，属于自由扭转。杆的弯曲屈曲临界力是随长细比减小而增加的，因此当长细比不大而板件宽厚比很大时，扭转屈曲临界力将低于弯曲屈曲的临界力。但是，工程中十字形截面很少采用，工字形截面杆按照通常的尺寸比例（截面高度大于翼缘宽度），一般不会发生扭转屈曲。因此，在设计规范中没有反映扭转屈曲的计算。5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲145截面单轴对称的单角钢、单槽钢或T

形钢轴心压杆，形心和弯心不相重合。如果杆件在轴心力F作用下不能保持直线平衡而绕对称轴

y弯曲时，由于剪力不通过弯心，不可避免地要出现扭转。5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲弯扭屈曲单轴对称轴心压杆的弯扭屈曲146图示槽形钢轴心压杆，弯心S至形心O的距离为,如果压杆受轴心压力F作用下在

xz平面内发生弯曲，而弯心在

x轴方向的位移为u，则杆内出现：剪力弯矩5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲单轴对称轴心压杆的弯扭屈曲147由于F沿形心轴作用，

的作用线亦将通过形心O而不通过弯心S，从而对弯心产生扭矩使杆件在弯曲的同时出现扭转，因此在分析杆件扭转平衡时应该考虑这一项。5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲单轴对称轴心压杆的弯扭屈曲148根据式，再加上这一项，得杆件的扭转平衡微分方程为或再微分一次，写成由于形心和弯心不重合，式中截面对弯心的极回转半径按下式计算5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲149由于弯扭同时出现，这个微分方程包括有两个未知量和。需要建立关于y轴弯曲的平衡微分方程来联立求解。弯曲平衡微分方程的基本形式是：式中是截面形心O的位移，当截面扭转角为时，O在x方向的位移是：因此，弯曲平衡的微分方程可以写成：5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲150于是，单轴对称轴心压杆的弯扭屈曲平衡微分方程组为：对两端铰接的杆件，杆端边界条件是：当时，和时，可设和的变化都是正弦曲线的一个半波，即5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲151代入单轴对称轴心压杆的弯扭屈曲平衡微分方程组中，并令满足边界条件式式中，得5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲152式中，系数A、C不同时为零的条件是其系数行列式为零，于是得到稳定方程为展开此行列式，得出确定弯扭屈曲临界力的方程如下解此方程式，其最小根就是临界荷载5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲153临界荷载分析式可知，当时，即截面双轴对称时，等于或（此时式中，是对y轴的临界力，是扭转临界力），说明杆件只可能发生绕对称轴的弯曲屈曲或扭转屈曲。当时，比或都小，越大，相差越悬殊，说明杆件只可能发生弯扭屈曲。5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲154

例题5.1如图所示T形截面杆件，两端铰接，杆长为2.50m，弹性模量，剪切模量，要求计算其弯扭屈曲临界力，并和弯曲屈曲临界力比较。例题5.1图5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲155解:例题5.1图计算截面特性：5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲156利用以上数值算得：代入公式

得：解得：5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲157由此可见，对于任何单轴对称轴心受压杆件，在计算对称轴的稳定性时应该考虑弯扭屈曲而不是弯曲屈曲。不过对一般热轧和焊接钢杆件说来，和相差不十分悬殊，但对于薄壁杆件可能比低许多，必须考虑其弯扭屈曲。为简化计算，设计中常常用换算长细比方法计算弯扭屈曲问题。我国冷弯薄壁型钢结构技术规范设x轴为对称轴，因此将计算弯扭屈曲的换算长细比法代入中单轴对称开口截面5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲158解得：令，由于则上式可写为：5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲159式又可改写为：解得：其较小根为弯扭屈曲临界力，即5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲160弯扭屈曲临界应力为：式中，换算长细比由弯扭屈曲临界应力计算公式可以看出，为了验算杆件对x轴的弯扭屈曲，只要验算长细比为的杆件的弯曲屈曲。从而，将弯扭屈曲的计算问题转化为弯曲屈曲的计算问题，使计算大大简化。5.2轴心压杆的扭转屈曲和弯扭屈曲161偏心压杆的弯扭屈曲是指其在弯矩作用平面外的失稳。在分析偏心压杆在弯矩作用平面外的稳定问题时，采用的基本假定与分析梁的弯扭屈曲一节相同；除此之外，为了使分析问题简化和突出弯扭屈曲问题，假定杆件在弯矩作用平面内的刚度很大，从而忽略在弯矩作用平面内的弯曲变形，也就是忽略弯扭屈曲前弯矩作用平面内的弯曲变形对弯扭屈曲的影响。1625.3偏心压杆的弯扭屈曲分析如图所示在偏心荷载作用下的双轴对称截面简支杆件。杆件的简支是指其的的两端面可以绕形心主轴x轴或y轴自由转动，但不能绕z

轴扭转。建立固定坐标系为Oxyz，截面发生弯扭变形后的移动坐标系为。双轴对称截面偏心压杆的弯扭屈曲1635.3偏心压杆的弯扭屈曲当达到临界状态时，在偏心受压杆件发生微小侧向弯曲和扭转变形的位置建立平衡微分方程，为简化起见，可以只列出侧向弯曲平衡微分方程和扭转平衡微分方程。双轴对称截面偏心压杆的弯扭屈曲1645.3偏心压杆的弯扭屈曲经过与第4.4节类似分析，显然：双轴对称截面偏心压杆的弯扭屈曲因此，在移动坐标系平面内（图b）弯矩平衡方程为：1655.3偏心压杆的弯扭屈曲由式，工字形截面的弯曲扭转微分方程为：根据前述分析将代入1665.3偏心压杆的弯扭屈曲得到偏心受压杆件的弯扭屈曲平衡微分方程为：对z

微分二次对z

微分一次可以得到：式中，1675.3偏心压杆的弯扭屈曲求解，得偏心压杆的临界荷载为：式中，1685.3偏心压杆的弯扭屈曲可知，临界荷载与、和有关。总是小于、的较小值（通常较小），当越大，小得越多。可认为，偏心受压杆件两端承受轴力和弯矩，因此由式可知，当（即）时，可解得轴心受压杆件的临界荷载或者，两者互不相关，取较小者为真正的临界荷载。当时，可得到纯弯曲时的临界弯矩，即，与式相同。1695.3偏心压杆的弯扭屈曲根据和的表达式，把式写成如下形式：利用这个关系式，并将用端弯矩代替，则式在钢结构设计中常常采用相关公式来控制偏心压杆的弯扭失稳，下面介绍相关公式的基本原理。成为：1705.3偏心压杆的弯扭屈曲偏心压杆弯扭屈曲与的相关曲线将式画成与

的相关曲线，如图所示。不仅与有关，而且受的影响很大，越大，偏心压杆的弯扭屈曲承载力越高。当时，与之间的关系是直线关系：1715.3偏心压杆的弯扭屈曲偏心压杆弯扭屈曲与的相关曲线一般普通热轧工字形截面，相关曲线都在此直线之上。对于一般冷弯薄壁杆件，其，相关曲线在直线之下，如图所示。如果采用式

计算普通热轧钢杆件弯矩作用平面外的稳定性，即简单又偏于安全。1725.3偏心压杆的弯扭屈曲如图所示等截面开口薄壁轴心压杆，设O为截面形心，x、y轴为截面的主惯性轴，z为形心轴，S为截面的弯曲中心（，）。当压力F逐渐增加达到临界荷载时，杆件发生扭转屈曲或弯扭屈曲，此时杆件不再保持直线平衡。开口薄壁轴心压杆1735.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载当杆件处于中性平衡状态时，其独立位移分量包括三个：截面弯曲中心S在x、y轴的位移为u和v，设与坐标轴的正向一致时为正；绕弯曲中心S的扭角为θ，其正向遵守右手螺旋法则。174开口薄壁轴心压杆5.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载假定杆件屈曲时处于弹性状态，变形是微小的，且截面的周边形状保持不变。现在采用瑞雷-里兹法来计算杆件屈曲时的临界荷载。175开口薄壁轴心压杆5.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载取刚屈曲前的直接状态为参考状态，不必考虑轴向变形的影响。参见式：考虑增加了沿y轴的位移v，弯扭变形下的总应变能为：式中，被积函数的前两项为弯曲变形产生的应变能，后两项为约束扭转产生的应变能。176开口薄壁轴心压杆5.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载求外力势能：B点绕弯曲中心S点转动θ角至

时，相对于弯曲中心S点的位移分量变化如图右：考虑坐标为（x,y）的小条（图左的B点），其面积为,长度为，把这小条看作承受轴心压力的压杆。截面B点的位移变化177开口薄壁轴心压杆5.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载截面B点的位移变化B点绕弯曲中心S点转动θ角至时，相对于弯曲中心S点的位移分量变化为：弯扭变形后小条的位移为：1785.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载B点纵向纤维的变形考察B点纵向纤维的长度变化：取微段，变形后微段的上端在x、y轴上的位移为u、v，下端相应的位移为u+du、v+dv，变形后的微段长度为：当趋近于零时，；考虑杆件处于微小变形状态，即、是微小量；上式可简化为：1795.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载B点纵向纤维的变形后的总长度为：B点纵向纤维的变形后两端的缩短为：应力在小条上外力功为：180B点纵向纤维的变形5.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载对整个杆件，压力F的外力功为：式中,因此，总势能为，即：1815.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载考虑，，下面用瑞雷—里兹法来求两端简支杆件的临界荷载近似解。杆端简支时的边界条件为：设满足上述边界条件的位移函数为当和时，，（）1825.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载将位移函数代入总势能表达式中，得到：利用积分：1835.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载经整理后，总势能表达式为：式中，根据势能驻值原理，令，，，可得：1845.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载A、B、C不同为零的条件是其系数行列式，即：展开上式，得到稳定方程为：解上式得

F的最小根即为临界荷载1855.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载对临界荷载讨论如下:将稳定方程进行简化：（1）当杆件截面为双轴对称（如工字形截面）或者点对称（如Z形截面）时，形心与弯曲中心重合。因此，。简化1865.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载方程的根为：但注意到，临界荷载只可能发生在n=1时，故取方程的根为：其最小根就是双轴对称截面轴心压杆的临界荷载；哪个根最小与截面形状和尺寸、长细比等因素有关。1875.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载当或者时，杆件发生绕y轴或者绕x轴弯曲失稳当时，杆件发生绕z轴（形心与弯曲中心重合）的扭转失稳也就是说，双轴对称或者点对称截面轴心压杆只会发生绕两个主轴的弯曲失稳或者绕弯曲中心的纯扭转失稳，不会发生弯扭失稳。轴心受压工字形截面杆件：一般情况下，轴心受压工字形截面杆件绕弱轴的弯曲失稳临界荷载低于绕强轴的弯曲失稳临界荷载，也低于绕弯曲中心的扭转失稳临界荷载，因此工字形截面杆件常常只会发生绕弱轴的弯曲失稳形式。1885.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载轴心受压十字形截面杆件：对于轴心受压十字形截面杆件，由于,如果发生扭转失稳，则临界荷载为：由此可见，对于轴心受压十字形截面杆件，但杆件的长细比较小时，其弯曲临界荷载较高，当超过后，杆件就会发生扭转失稳。上式与十字形截面杆件的长度无关，一旦发生扭转失稳就是自由扭转。1895.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载轴心受压双轴对称截面杆件：将式代入可以看出双轴对称截面轴心压杆不会发生弯扭失稳。1905.4用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载为此可以得到：由位移函数式:可知，双轴对称截面轴心压杆只有一种单纯的变形存在，不会发生弯扭变形耦合。当时，只有，而当时，只有，而当时，只有