第8讲　函数的单调性与最值

第8讲函数的单调性与最值第二章基本初等函数202X/01/01汇报人：链教材·夯基固本01单击此处添加章节副标题1．(人A必一P85习题T1改)已知y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为 (

)A．[－1,3] B．[－1,2]和[4,5]C．[－1,2] D．[－3，－1]和[2,4]B2．(人A必一P86习题T3改)(多选)下列函数在(0，＋∞)上为增函数的是(

)A．f(x)＝－2x＋1 B．f(x)＝x2＋1【解析】BCDA．f(x)的最大值为2，最小值为0.4B．f(x)的最大值为2，没有最小值C．f(x)没有最大值，最小值为0.4D．f(x)的最大值与最小值都没有C4．(人A必一P100复习参考题T4)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有单调性，则实数k的取值范围为_____________________________．【解析】(－∞，40]∪[160，＋∞)5．已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在其定义域上单调递减，那么不等式f(x2)＞f(2x＋3)的解集为________________．【解析】(－1,0)∪(0,3)1．函数的单调性(1)单调函数的定义

增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数x1，x2∈A当x1＜x2时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间A上是增函数当x1＜x2时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间A上是减函数图象描述自左向右看，图象是__________自左向右看，图象是__________f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)上升的下降的(2)复合函数的单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：____________．同增异减2．若函数f(x)与g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：(1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有________的单调性．(2)f(x)与－f(x)的单调性________．(3)当a＞0时，af(x)与f(x)的单调性________；当a＜0时，af(x)与f(x)的单调性________．相同相反相同相反相同(6)f(x)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上)：简记为：①↗＋↗＝↗；②↘＋↘＝↘；③↗－↘＝↗；④↘－↗＝↘．相反相同3．函数的最值前提函数y＝f(x)的定义域为D条件(1)对于任意x∈D，都有______________；(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈D，都有___________；(4)存在x0∈D，使得_______________结论M为最大值M为最小值几何意义函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝M4．常用结论(1)函数单调性的两个等价结论设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则(2)函数最值存在的两条结论①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到；②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(或小)值．研题型·能力养成02单击此处添加章节副标题目标1判断函数的单调性视角1基本初等函数单调性的直接判定

(2021·全国甲卷文)下列函数是增函数的为 (

)1－1【解析】【答案】A视角2定义法证明函数单调性【解答】1－2【解答】1－2视角3确定函数的单调区间【解析】1－3A．[0,3] B．(－∞，3]C．[3,6] D．[3，＋∞)C

(2)函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为______________；函数g(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是_____________．1－3【解析】[2，＋∞)(4，＋∞)(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．(2)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．易错警示函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”．变式1函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．【解析】[1,2]目标2函数单调性的应用视角1解抽象不等式若f(x)是定义在(－∞，0]上的减函数，则不等式f(2x＋3)≤f(x＋1)的解集为______________．【解析】2－1变式2－1

已知定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[1，＋∞)上单调递增．若当x∈[0,1]时，f(ax)＜f(x－1)恒成立，则实数a的取值范围为________．【解析】因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)的对称轴为x＝1．因为f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，所以自变量越靠近对称轴对应的函数值越小．(0,2)视角2求参数的取值范围【解析】2－2【解析】2－2(－∞，－3]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．A．[0，＋∞) B．(－∞，1] C．(0,1) D．[0,1]【解析】D目标3函数的最值(值域)3【解析】【解析】3【解析】3【解析】3求函数值域的主要方法(1)配方法：对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域问题，可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域(第10讲会涉及)．(2)单调性法：根据函数的单调性直接求最值．(3)分离常数法：分子分母都是一次函数的情形，先分离常数，再利用反比例函数的图象求解．(4)基本不等式法：第6讲已有涉及．

(6)判别式法：将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用判别式求出y的取值范围或最值．【解析】7或－1“对勾”函数与“飘带”函数新视角【解析】4－1B【解析】4－2A1．(2023·北京卷)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是 (

)【解析】C【解析】AA．[0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．[0，＋∞)【解析】当x＜0时，f(x)＝－2x＋1单调递减；当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2，f(x)在[0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．A4．(2024·吕梁二模)已知函数y＝f(4x－x2)在区间(1,2)上单调递减，则函数f(x)的解析式可以为 (

)A．f(x)＝4x－x2 B．f(x)＝2|x|C．f(x)＝－sinx D．f(x)＝x【解析】【答案】A配套精练03单击此处添加章节副标题A组夯基精练一、单项选择题1．设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)＞f(2a)，则a的取值范围是 (

)A．[－4，1) B．(1，4]C．(1，2] D．(1，＋∞)【解析】因为函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)＞f(2a)，所以－4≤a＋1＜2a≤4，解得1＜a≤2．C2．函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为 (

)【解析】BA．(－∞，－2)∪(0，3) B．(－∞，－2)∪(0，3]C．(－∞，－2)∪(0，10) D．(－∞，－2)∪(0，10]【解析】B【解析】【答案】D【解析】C二、多项选择题

A．当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．当a＞0时，f(x)的值域为R【解析】【答案】BCDA．当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)B．不论a为何值，函数f(x)既没有最小值，也没有最大值C．不论a为何值，函数f(x)的图象与x轴都有交点D．存在实数a，使得函数f(x)为R上的减函数【解析】【答案】BCD【