13.2.2　第2课时　异面直线

异面直线

(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)第2课时课时目标1.理解并掌握异面直线的判定定理,及掌握异面直线的判断方法.2.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线的垂直关系.3.理解异面直线所成的角,并掌握两异面直线所成角的求法.CONTENTS目录123课前预知教材·自主落实基础课堂题点研究·迁移应用融通课时跟踪检测课前预知教材·自主落实基础1.异面直线的判定定理文字语言_________________________________,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线图形语言符号语言若l⊂α,A∉α,B∈α,B∉l,则直线AB与l是异面直线过平面内一点与平面外一点的直线2.异面直线所成的角定义前提两条异面直线a,b作法经过空间任意一点O,作直线a'∥a,b'∥b结论我们把直线a'和b'所成的_____________叫作异面直线a,b所成的角或夹角范围记异面直线a与b所成的角为θ,则______________图例特殊情况若异面直线a,b所成的角是直角,则称异面直线a,b互相垂直,记作_____锐角(或直角)0°<θ≤90°a⊥b|微|点|助|解|

对异面直线所成角的认识(1)任意性与无关性:在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定异面直线所成的角与a',b'所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关.(2)转化求角:异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,通过转化为相交直线所成的角,将空间角转化为平面角来计算.(3)异面直线所成角的大小不能是0°,若两条直线所成的角是0°,则这两条直线平行,不可能异面.(4)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.基础落实训练1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c

(

)A.一定平行 B.一定垂直C.一定是异面直线 D.一定相交√2.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为

.

解析:因为a∥OA,根据等角定理,又因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以a与OB所成的角为60°.60°3.已知正方体ABCD⁃EFGH,则AH与FG所成的角是

.

解析:连接BG,则BG∥AH,所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角.因为四边形BCGF为正方形,所以∠BGF=45°.45°课堂题点研究·迁移应用融通题型(一)异面直线的判定[例1]已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1,E,F分别为BB1,CC1的中点,求证:直线AE与直线BF是异面直线.证明:因为BF⊂平面BCC1B1,E∈平面BCC1B1,E∉BF,A∉平面BCC1B1,所以由异面直线的判定定理可知,直线AE与直线BF是异面直线.针对训练1.已知不共面的三条直线a,b,c相交于点P,A∈a,B∈a,C∈b,D∈c,求证:AD与BC是异面直线.证明:法一:反证法

假设AD和BC共面,所确定的平面为α,那么点P,A,B,C,D都在平面α内,∴直线a,b,c都在平面α内,与已知条件a,b,c不共面矛盾,假设不成立.∴AD和BC是异面直线.法二:直接证法

∵a∩c=P,∴它们确定一个平面,设为α.由题意得C∉平面α,B∈平面α,BC⊄平面α,AD⊂平面α,B∉AD,∴AD和BC是异面直线.题型(二)求异面直线所成的角

√

|思|维|建|模|求异面直线所成角的一般步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.针对训练2.如图,三棱柱ABC⁃A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是

(

)A.CC1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°√解析:由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;因为AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.3.正方体ABCD⁃A'B'C'D'中,E,F分别为平面A'B'C'D'与平面AA'D'D的中心,则EF与CD所成角的度数是

.45°解析:连接B'D',则E为B'D'的中点,连接AB',则EF∥AB'.又CD∥AB,所以∠B'AB为异面直线EF与CD所成的角,即∠B'AB=45°.题型(三)证明两条直线垂直

|思|维|建|模|证明两条直线垂直的策略(1)对于共面垂直的两条直线的证明,可根据勾股定理证明.(2)对于异面垂直的两条直线的证明,可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明.针对训练4.在正方体AC1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF.证明:如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G.则OG∥B1D,EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°,即DB1⊥EF.课时跟踪检测134567891011121314152A级——达标评价1.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,与直线AA1垂直的棱有(

)A.2条 B.4条C.6条 D.8条解析:在正方体AC1中,与AA1垂直的棱为A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,AB,BC,CD,DA,共8条.故选D.√1567891011121314152342.教室内有一根直尺,无论怎样放置,在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线

(

)A.异面 B.相交

C.平行 D.垂直解析:若直尺与地面相交,则C不正确;若直尺平行于地面,则B不正确;若直尺放在地面上,则A不正确.故选D.√1567891011121314153423.已知空间三条直线l,m,n,若l与m垂直,l与n垂直,则

(

)A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n平行、相交、异面均有可能解析:∵m⊥l,n⊥l,∴m与n既可以相交,也可以异面,还可以平行.√1567891011121314153424.如图所示,在等边三角形ABC中,D,E,F分别为各边中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点.将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥后,GH与IJ所成角的度数为

(

)A.90° B.60° C.45° D.0°√156789101112131415342解析:将三角形折成三棱锥.如图所示,GH与IJ为异面直线.在三棱锥A⁃DEF中,IJ∥AD,GH∥DF,所以∠ADF即为所求,因此GH与IJ所成的角为60°.1567891011121314153425.(多选)如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列结论能成立的是

(

)A.l与AD平行

B.l与AB异面C.l与CD所成的角为30°

D.l与BD垂直√√√156789101112131415342解析:假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1可得l∥B1C1,与“l与B1C1不平行”矛盾,所以l与AD不平行,A错误;取l为A1C1所在直线,满足l与AB异面,B正确;取l⊥B1D1,B1D1∥BD,所以l⊥BD,D正确;取l与C1D1成30°角,因为C1D1∥CD,所以此时l与CD所成的角为30°,C正确.1567891011121314153426.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有

条.1解析:与AD1异面的面对角线分别为A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中只有B1C和AD1所成的角为90°.1567891011121314153427.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=

.

51567891011121314153428.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论正确的为

.(填序号)

解析:把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.①③156789101112131415342

156789101112131415342单独看△GEF的平面图,可得

156789101112131415342

156789101112131415342

156789101112131415342B级——重点培优11.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线(

)A.有无数条 B.有两条C.至多有两条 D.有一条解析:如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角,除去两条与l共面的母线,其余都符合要求.√15678910111213141534212.(多选)如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论成立的是

(

)A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直C.EF与CD异面 D.EF与A1C1异面√√√156789101112131415342解析:如图所示,连接A1B,易知点