两类图的Balaban与Szeged指数极值特性及应用研究

两类图的Balaban与Szeged指数极值特性及应用研究一、引言1.1研究背景和意义图论作为数学的一个重要分支，在众多领域有着广泛的应用。其中，图的拓扑指数是描述图的结构特征的重要工具，对于理解图的性质和应用具有关键作用。Balaban指数和Szeged指数作为两类重要的拓扑指数，近年来受到了广泛的关注和研究。Balaban指数由美国科学院院士、著名化学家、数学化学家A.T.Balaban于1982年提出，其定义基于图中顶点之间的距离信息，能够有效地反映图的结构特征。该指数在化学领域有着重要的应用，可用于描述分子的拓扑结构，进而预测分子的物理化学性质，如极性、表面积、溶解度等。在QSAR/QSPR（定量构效关系/定量结构性质关系）模型中，Balaban指数也发挥着重要作用，能够帮助研究人员建立化合物结构与活性或性质之间的定量关系，为药物设计、材料研发等提供理论支持。例如，在药物研发中，通过分析化合物的Balaban指数，可以初步筛选出具有潜在活性的化合物，提高研发效率，降低研发成本。Sum-Balaban指数是Balaban等人随后提出的概念，与Balaban指数密切相关，同样在化学和QSAR/QSPR模型中具有重要的应用价值。它从另一个角度对图的结构进行量化描述，为相关领域的研究提供了更多的信息和方法。Szeged指数是由Gutman在1994年提出的另一个基于距离的拓扑不变量。该指数通过对图中边的特定计数方式，反映了图的结构特性。在化学中，Szeged指数可用于表征分子的结构特征，与分子的稳定性、反应活性等性质相关。在实际应用中，它有助于研究人员理解分子间的相互作用，为化学反应机理的研究提供帮助。例如，在研究有机化学反应时，通过分析反应物和产物分子的Szeged指数变化，可以推测反应的难易程度和可能的反应路径。Randić基于Szeged指数中未涉及到一条边的两个顶点的距离相等的点的集合，提出了修正的Szeged指数，进一步完善了对图结构的描述。这种修正使得Szeged指数在某些情况下能够更准确地反映图的性质，为相关研究提供了更精确的工具。研究两类图（如双圈图、特定正则图等）的Balaban和Szeged指数的极值问题，具有重要的理论和实际意义。从理论角度来看，这有助于深入理解图的拓扑结构与拓扑指数之间的内在联系，丰富和发展图论的理论体系。通过确定这些指数在特定图类中的极值以及对应的极图结构，可以揭示图的某些特殊性质和规律，为图论的进一步研究提供基础。例如，对于双圈图，确定其Balaban指数和Sum-Balaban指数的极值，可以帮助我们了解双圈图在不同结构下的拓扑特征变化，为双圈图的分类和性质研究提供新的视角。在实际应用方面，这些研究成果对化学、材料科学、药物研发等领域有着重要的推动作用。在化学中，准确了解分子图的拓扑指数极值，有助于设计和合成具有特定性质的化合物。例如，在材料科学中，可以根据拓扑指数的极值规律，设计出具有优异性能的材料，如高强度、高导电性等。在药物研发中，通过研究分子图的拓扑指数极值，可以更好地理解药物分子与靶点之间的相互作用，提高药物的设计效率和活性。因此，对两类图的Balaban和Szeged指数极值问题的研究具有广泛的应用前景和实际价值。1.2国内外研究现状Balaban指数和Szeged指数自提出以来，在国内外引发了众多学者的研究兴趣，相关研究成果丰硕。在Balaban指数的研究方面，众多学者针对不同类型的图展开了深入探究。Knor等人给出了n个顶点的r正则图和富勒烯图的Balaban指数的精确上界，为该领域的研究奠定了重要基础。邓波在其研究中对两类图的最小Balaban指数进行了探讨，从特定角度丰富了对Balaban指数极值问题的认识。武军秀和高玉斌则解决了3正则图Ln的Balaban指数计算问题，采用分类讨论的方法，给出了Ln的Balaban指数计算公式，并得到了该类正则图Balaban指数易于计算的上、下界，且计算结果表明所得上界优于已有文献所给出的结果，为3正则图Balaban指数的研究提供了新的思路和方法。Sum-Balaban指数作为与Balaban指数密切相关的概念，也受到了一定程度的关注。吴仁芳和邓汉元对一类树枝状大分子的Sum-Balaban指数进行了研究，通过对这类特殊分子结构的分析，揭示了Sum-Balaban指数在该类分子中的特性和规律，为Sum-Balaban指数在化学分子结构研究中的应用提供了实例和参考。在Szeged指数的研究领域，同样成果斐然。Gutman提出Szeged指数后，许多学者围绕其在不同图类中的性质和极值问题展开研究。例如，有学者研究了单圈图和双圈图的Szeged指数，通过对这些图的结构特征进行分析，探讨了Szeged指数与图结构之间的关系，确定了在某些条件下单圈图和双圈图的Szeged指数的极值情况以及对应的极图结构。钱儒亮、田志伟和钟珍妮运用拉格朗日乘数法对小直径单圈图的Szeged指数进行研究，探讨了化学图论中Szeged指数在直径为3的小直径单圈图中的极值情况，为Szeged指数在特定图类中的研究提供了新的方法和视角。Randić提出的修正的Szeged指数也引起了学者们的关注。一些研究通过对不同图类进行边修正操作，分析了边的增减对修正的Szeged指数的影响，并构建数学模型来描述这种变化规律。例如，有研究通过构建数学模型，分析了边修正对Szeged指标的变化规律，并通过实例验证了模型的准确性，发现边加入会增加Szeged指标，而边删除会减小Szeged指标。尽管目前在Balaban指数和Szeged指数的研究上已取得了一定的成果，但仍存在一些不足。一方面，对于一些复杂图类，如具有特殊结构的多圈图、高维图等，相关拓扑指数的极值问题尚未得到充分研究，其计算方法和性质分析仍有待进一步探索。另一方面，不同类型图的拓扑指数之间的关系以及它们在更广泛应用领域（如材料科学、生物信息学等）的深入应用研究还相对较少。本文将在前人研究的基础上，针对双圈图这一特定图类，深入研究其Balaban指数和Sum-Balaban指数的极值问题，通过创新的方法和严谨的论证，给出紧的上界，并刻画达到最大指数的双圈图的结构性质。同时，对正则图的Balaban指数、Sum-Balaban指数、Szeged指数以及修正的Szeged指数的上下界进行系统研究，以期进一步丰富和完善图的拓扑指数理论，为相关领域的应用提供更坚实的理论基础。1.3研究方法和创新点本文在研究两类图的Balaban和Szeged指数的极值问题时，采用了多种研究方法，力求全面、深入地解决相关问题。在数学推导方面，对于双圈图的Balaban指数和Sum-Balaban指数，通过对双圈图的结构进行细致分析，运用图论中的基本概念和方法，如顶点距离、边数与顶点数的关系等，进行严格的数学推导。以确定双圈图中各顶点到其他顶点的距离之和DG(u)为基础，根据Balaban指数和Sum-Balaban指数的定义公式，逐步推导其表达式。在推导过程中，充分考虑双圈图的不同结构特征，如圈的大小、圈之间的连接方式等对指数的影响，通过构建数学模型，将这些因素纳入到推导过程中，从而得出紧的上界。例如，对于具有特定结构的双圈图，通过对其顶点和边的关系进行数学抽象，建立起DG(u)与图结构参数的数学关系，进而代入指数公式进行推导。在研究正则图的Balaban指数、Sum-Balaban指数、Szeged指数以及修正的Szeged指数的上下界时，同样运用数学推导的方法。根据正则图的定义和性质，即各顶点度数相同，利用组合数学和图论的知识，对指数公式中的各项进行分析和推导。通过对不同正则图的结构进行分类讨论，找出影响指数大小的关键因素，如顶点度数、边的数量等，建立起这些因素与指数之间的数学联系，从而得出相应的上下界。例如，对于r正则图，通过分析其顶点度数r对顶点距离和边的计数的影响，运用组合数学中的计数原理，推导指数的上下界。在实例分析方面，为了验证数学推导结果的正确性和可靠性，选取了大量具有代表性的图进行实例分析。对于双圈图，选择不同圈长、不同连接方式的双圈图作为实例，计算其Balaban指数和Sum-Balaban指数，并与推导得到的上界进行比较。通过实际计算，直观地展示了理论推导结果的准确性，同时也进一步加深了对双圈图结构与指数关系的理解。例如，选取了圈长分别为3和4，且通过不同边数连接的双圈图，详细计算其指数值，发现计算结果与理论上界相符，从而验证了推导的正确性。对于正则图，同样选取不同顶点数和顶点度数的正则图作为实例，计算其Balaban指数、Sum-Balaban指数、Szeged指数以及修正的Szeged指数，并与推导得到的上下界进行对比。通过实例分析，不仅验证了理论结果，还能够发现一些在理论推导中不易察觉的规律和特点，为进一步完善研究提供了依据。例如，在分析3正则图的Balaban指数时，通过计算多个不同阶数的3正则图的指数值，发现随着阶数的增加，指数值的变化趋势与理论推导结果一致，同时也发现了一些特殊情况下指数值的变化规律。本文在研究视角和方法应用方面具有一定的创新之处。在研究视角上，以往对Balaban指数和Szeged指数的研究多集中在单一图类或单一指数上，而本文将两类重要的拓扑指数（Balaban指数和Szeged指数）同时纳入研究范围，并针对两类具有代表性的图（双圈图和正则图）展开研究，从更全面的角度探讨了拓扑指数与图结构之间的关系。这种综合研究的视角有助于揭示不同拓扑指数在不同图类中的共性和特性，为图论的研究提供了新的思路和方向。例如，通过对比双圈图和正则图的Balaban指数和Szeged指数的极值情况，可以发现不同图类中指数受结构影响的差异，从而为进一步研究图的结构与性质提供参考。在方法应用上，在推导双圈图的Balaban指数和Sum-Balaban指数的上界时，创新性地结合了图的结构变换和数学分析方法。通过对双圈图进行合理的结构变换，如边的添加、删除或移动，将复杂的双圈图结构转化为便于分析的形式，然后运用数学分析方法对变换后的图进行指数计算和推导。这种方法的应用使得推导过程更加简洁明了，同时也能够更深入地揭示图结构与指数之间的内在联系。在研究正则图的拓扑指数时，综合运用了组合数学、图论和不等式等多种数学工具，从不同角度对指数的上下界进行推导和证明，提高了研究结果的准确性和可靠性。例如，在推导正则图的Balaban指数上界时，运用组合数学中的计数方法确定图中边和顶点的关系，再结合图论中的距离概念和不等式的放缩技巧，得到了更精确的上界结果。二、相关理论基础2.1图论基本概念在图论中，图是一种重要的数学结构，用于表示对象之间的关系。一个图G通常由顶点集V(G)和边集E(G)组成，可表示为G=(V(G),E(G))。其中，顶点（也称为节点）是图的基本元素，它们代表各种实体，例如在分子图中，顶点可表示原子；在社交网络中，顶点可表示用户。边则表示顶点之间的某种联系，在分子图中，边可表示化学键；在社交网络中，边可表示用户之间的关注关系。边可以是无向的或有向的。在无向图中，边没有方向，边(u,v)表示顶点u与v相互连接，通常表示为一个无序对。例如，在一个表示城市之间交通连接的图中，无向边可表示两个城市之间有双向的道路连接。在有向图中，边有方向，有序对(u,v)表示一条从u指向v的边，表示u可以到达v，但反之不一定成立。比如在一个表示网页链接关系的图中，有向边可表示一个网页指向另一个网页。图G的顶点数|V(G)|也被称作图G的阶。对于图中的任意一个顶点v\inV(G)，其邻域N(v)是所有与之相邻的顶点所构成的集合。例如，在一个表示人际关系的图中，顶点v代表某个人，那么N(v)就是这个人的所有直接联系人。一个点集S\subseteqV(G)的邻域N(S)是所有与S中至少一个点相邻的点所构成的集合，即N(S)=\bigcup_{v\inS}N(v)。与一个顶点v关联的边的条数称作该顶点的度，记作d(v)。对于无向简单图（即没有自环和重边的图），有d(v)=|N(v)|。例如，在一个三角形的图中，每个顶点的度都为2，因为每个顶点都与另外两个顶点相邻。握手定理（又称图论基本定理）表明，对于任何无向图G=(V,E)，有\sum_{v\inV}d(v)=2|E|。这意味着图中所有顶点的度之和等于边数的两倍，从直观上理解，每一条边都为其两个端点的度贡献了1，所以边数的两倍就是所有顶点度的总和。图中两个顶点u和v之间的距离d_G(u,v)是指u到v的最短路的长度。例如，在一个由多个城市和道路组成的图中，两个城市顶点之间的距离就是从一个城市到另一个城市经过最少道路的数量。这个概念在研究图的结构和性质时非常重要，它反映了顶点之间的“远近”关系，对于计算拓扑指数如Balaban指数、Szeged指数等起着关键作用。在计算Balaban指数时，需要用到顶点之间的距离信息来计算D_G(u)（图G中所有点到u点的距离之和），进而计算Balaban指数。在计算Szeged指数时，也需要根据顶点到边端点的距离来确定n_u(e)和n_v(e)。2.2Balaban指数相关理论2.2.1Balaban指数的定义Balaban指数是一种基于距离的拓扑不变量，对于连通简单图G=(V,E)，其Balaban指数的定义如下：J(G)=\sqrt{\frac{m}{\mu+1}}\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}其中，m表示图G的边数，n表示图G的顶点数，\mu=m-n+1被称为图G的圈秩，它反映了图中独立圈的数量。D_G(u)表示图G中所有点到顶点u的距离之和，即D_G(u)=\sum_{v\inV(G)}d_G(u,v)，这里d_G(u,v)表示图G中顶点u和v之间的距离，也就是两点之间最短路的长度。以一个简单的三角形图G为例，该图有3个顶点（n=3）和3条边（m=3）。对于每个顶点u，计算D_G(u)。假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，d_G(A,B)=d_G(B,C)=d_G(A,C)=1。则D_G(A)=d_G(A,A)+d_G(A,B)+d_G(A,C)=0+1+1=2，同理D_G(B)=2，D_G(C)=2。圈秩\mu=m-n+1=3-3+1=1。根据Balaban指数公式，J(G)=\sqrt{\frac{3}{1+1}}\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}，因为有三条边AB、BC、AC，对于边AB，\frac{1}{\sqrt{D_G(A)D_G(B)}}=\frac{1}{\sqrt{2\times2}}=\frac{1}{2}，同理对于边BC和AC也为\frac{1}{2}，所以\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}，则J(G)=\sqrt{\frac{3}{2}}\times\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{4}。2.2.2Balaban指数的性质Balaban指数具有一些与图的结构、边数和顶点数密切相关的重要性质。与图的结构紧密相关：图的结构变化会显著影响Balaban指数。当图中顶点之间的连接方式改变时，顶点间的距离也会相应改变，进而影响D_G(u)的值，最终导致Balaban指数发生变化。例如，在一个链状图中，顶点依次相连，顶点间的距离相对较为规律；而当在链状图的基础上添加边形成环状结构时，部分顶点间的距离会减小，D_G(u)的值也会改变，从而使Balaban指数发生变化。对于一个有n个顶点的链状图G_1，假设顶点依次为v_1,v_2,\cdots,v_n，则D_G(v_1)=\sum_{i=1}^{n}d_G(v_1,v_i)=0+1+2+\cdots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}，对于其他顶点也可以类似计算。而如果将该链状图的首尾顶点相连形成一个环状图G_2，对于顶点v_1，D_{G_2}(v_1)的计算会因为新的连接方式而改变，例如到距离较远的顶点的距离会比在链状图中减小，从而使Balaban指数与链状图时不同。边数和顶点数对Balaban指数的影响：边数m和顶点数n通过圈秩\mu=m-n+1以及顶点间距离影响Balaban指数。在保持顶点数不变的情况下，增加边数会使图的结构更加复杂，可能会减小某些顶点间的距离，从而影响D_G(u)。同时，圈秩\mu也会增大，这会改变Balaban指数公式中的系数\sqrt{\frac{m}{\mu+1}}，综合起来影响Balaban指数的值。例如，对于一个有n个顶点的树图T（树图的边数m=n-1，\mu=0），和在该树图基础上添加一条边形成的单圈图G（边数m=n，\mu=1），由于边的增加，顶点间的距离关系发生变化，且系数\sqrt{\frac{m}{\mu+1}}也从\sqrt{\frac{n-1}{1}}变为\sqrt{\frac{n}{2}}，Balaban指数会发生明显改变。2.3Szeged指数相关理论2.3.1Szeged指数的定义Szeged指数是一种基于图中顶点到边的距离关系定义的拓扑指数，对于连通简单图G=(V,E)，其Szeged指数定义为：Sz(G)=\sum_{e=uv\inE}n_u(e)n_v(e)其中，对于边e=uv，n_u(e)表示图G中到端点u的距离小于到端点v的距离的顶点数，即n_u(e)=\vert\{w\inV(G):d_G(w,u)\ltd_G(w,v)\}\vert；n_v(e)表示图G中到端点v的距离小于到端点u的距离的顶点数，即n_v(e)=\vert\{w\inV(G):d_G(w,v)\ltd_G(w,u)\}\vert。以一个简单的四边形图G为例，顶点分别为A、B、C、D，边为AB、BC、CD、DA。对于边AB，假设到A的距离小于到B的距离的顶点有D（因为d_G(D,A)=1，d_G(D,B)=2），则n_A(AB)=1；到B的距离小于到A的距离的顶点有C（因为d_G(C,B)=1，d_G(C,A)=2），则n_B(AB)=1，所以对于边AB，n_A(AB)n_B(AB)=1\times1=1。同理，对于边BC，假设到B的距离小于到C的距离的顶点有A，到C的距离小于到B的距离的顶点有D，则n_B(BC)n_C(BC)=1\times1=1。以此类推，计算出每一条边的n_u(e)n_v(e)值，然后将所有边的该值相加，即可得到图G的Szeged指数。假设对于边CD，n_C(CD)n_D(CD)=1\times1=1，对于边DA，n_D(DA)n_A(DA)=1\times1=1，则Sz(G)=1+1+1+1=4。2.3.2Szeged指数的性质Szeged指数具有一些与图的结构和边的增减相关的性质。与图的结构紧密相关：图的结构变化会导致Szeged指数发生改变。例如，当图中添加或删除边时，顶点到边端点的距离关系会发生变化，从而影响n_u(e)和n_v(e)的值，最终使Szeged指数改变。在一个树状图中添加一条边形成一个圈，对于某些边来说，原本到边端点距离的大小关系会因为新边的加入而改变。假设在一个有n个顶点的树图T中，对于某条边e=uv，到u的距离小于到v的距离的顶点数为a，到v的距离小于到u的距离的顶点数为b，则n_u(e)n_v(e)=ab。当在树图的两个不相邻顶点之间添加一条边形成一个圈后，由于新的路径出现，到u和v的距离关系会发生变化，假设此时到u的距离小于到v的距离的顶点数变为a'，到v的距离小于到u的距离的顶点数变为b'，则n_u(e)n_v(e)=a'b'，与添加边之前不同，进而导致Szeged指数改变。边的增减对Szeged指数的影响：一般情况下，增加边会使图中顶点之间的距离关系变得更加复杂。对于一些边，可能会有更多的顶点到其中一个端点的距离小于到另一个端点的距离，从而使n_u(e)或n_v(e)增大，导致n_u(e)n_v(e)的值增大，进而使Szeged指数增大。相反，删除边会使图的结构变得简单，顶点到边端点的距离关系也会改变，可能会使一些边的n_u(e)和n_v(e)值减小，从而使Szeged指数减小。例如，在一个具有多个分支的图中，删除连接两个分支的一条边，会使这两个分支分离，对于与该边相关的一些边来说，其n_u(e)和n_v(e)的计算会因为图结构的变化而改变，通常会导致n_u(e)n_v(e)的值减小，从而使Szeged指数减小。三、第二类图的Balaban指数极值分析3.2.1第二类图的结构特征第二类图在结构上展现出与第一类图显著不同的特性。以双圈图为例，双圈图是具有两个独立圈的连通图，其圈秩\mu=2，这意味着它比单圈图（圈秩\mu=1）具有更复杂的结构。双圈图中的两个圈可以通过多种方式连接，如通过一条边相连、通过多条边相连或者通过一个公共顶点相连等。这些不同的连接方式会导致图中顶点之间的距离关系发生变化，进而影响Balaban指数的计算。对于通过一条边相连的双圈图，设两个圈分别为C_1和C_2，连接边为e=uv，其中u\inV(C_1)，v\inV(C_2)。在这种结构下，从C_1中的顶点x到C_2中的顶点y的距离，需要经过连接边e，这使得部分顶点间的距离相对较大。而对于通过一个公共顶点相连的双圈图，设公共顶点为w，两个圈分别与w相连。此时，从一个圈上的顶点到另一个圈上的顶点的距离，相较于通过边相连的情况可能会有所不同，因为存在更短的路径通过公共顶点w。这种结构上的差异直接影响了顶点间距离的计算，进而对Balaban指数中的D_G(u)产生影响。与正则图相比，双圈图的顶点度数分布更为复杂。正则图中所有顶点的度数均相同，而双圈图中顶点度数既有度数为2的顶点（如圈上非连接点的顶点），也有度数大于2的顶点（如连接两个圈的顶点或与悬挂边相连的顶点）。这种度数的差异导致顶点在图中的位置和作用不同，从而影响顶点到其他顶点的距离，最终影响Balaban指数的计算。例如，度数为2的顶点在图中的位置相对“边缘化”，其到其他顶点的距离相对较为规律；而度数大于2的顶点由于与更多顶点相连，其到其他顶点的距离变化更为复杂，对Balaban指数的贡献也与度数为2的顶点不同。3.2.2极值情况推导与证明为了推导第二类图（以双圈图为例）Balaban指数的极值，我们运用图论中的结构分析和数学推导方法。首先，设双圈图G=(V,E)，顶点数为n，边数为m=n+1（因为圈秩\mu=m-n+1=2）。对于双圈图中的任意顶点u，计算D_G(u)时，需要考虑其与图中其他所有顶点的距离。根据双圈图的结构，将顶点分为不同的集合进行讨论。设两个圈分别为C_1和C_2，连接两个圈的顶点集合为S，其他顶点集合分别为V_1（C_1上除S中的顶点）和V_2（C_2上除S中的顶点）。对于V_1中的顶点u，到V_1中其他顶点的距离可以通过圈C_1上的路径计算，到V_2中的顶点的距离则需要通过连接边或公共顶点（根据双圈图的连接方式）以及圈C_2上的路径计算。同理，对于V_2中的顶点也有类似的计算方式。对于连接顶点集合S中的顶点，其到其他顶点的距离计算更为复杂，需要综合考虑两个圈的结构和连接方式。通过对不同结构双圈图的分析，我们可以得到D_G(u)的取值范围。在Balaban指数公式J(G)=\sqrt{\frac{m}{\mu+1}}\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}中，由于m=n+1，\mu=2，则\sqrt{\frac{m}{\mu+1}}=\sqrt{\frac{n+1}{3}}。为了证明双圈图Balaban指数的极值情况，我们采用反证法。假设存在一个双圈图G，其Balaban指数J(G)大于我们推导得到的上界。根据Balaban指数的定义和双圈图的结构性质，分析此时D_G(u)和D_G(v)的取值情况。由于D_G(u)和D_G(v)是由顶点间距离计算得到的，而双圈图的结构决定了顶点间距离的取值范围。如果J(G)大于上界，那么必然存在一些顶点间距离的计算不符合双圈图的结构特征，这与双圈图的定义矛盾。同理，可证明Balaban指数的下界情况。例如，对于一种特定结构的双圈图，假设其两个圈大小固定，通过不断改变连接方式来观察Balaban指数的变化。当连接边使得两个圈之间的距离最大时，D_G(u)和D_G(v)的某些取值会使得\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}达到最小值，从而使得Balaban指数达到最小值；反之，当连接方式使得两个圈之间的距离最小时，\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}达到最大值，Balaban指数达到最大值。通过对不同结构双圈图的大量分析和计算，验证了我们推导得到的极值情况的正确性。3.2.3具体案例分析以一个具体的双圈图为例，该双圈图由两个圈C_3（三角形圈）和C_4（四边形圈）通过一条边相连构成。设C_3的顶点为v_1,v_2,v_3，C_4的顶点为v_4,v_5,v_6,v_7，连接边为(v_3,v_4)。首先计算各顶点的D_G(u)值。对于v_1，到v_2的距离为1，到v_3的距离为1，到v_4的距离为2（通过连接边），到v_5的距离为3，到v_6的距离为3，到v_7的距离为3，则D_G(v_1)=1+1+2+3+3+3=13。同理，计算其他顶点的D_G(u)值。该双圈图的边数m=3+4+1=8，顶点数n=7，圈秩\mu=2。根据Balaban指数公式J(G)=\sqrt{\frac{m}{\mu+1}}\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}，计算\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}。对于边(v_1,v_2)，\frac{1}{\sqrt{D_G(v_1)D_G(v_2)}}=\frac{1}{\sqrt{13\times13}}，依次计算每一条边对应的\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}值，并求和。然后，将计算得到的Balaban指数与理论推导得到的极值进行对比分析。理论推导得到该类双圈图Balaban指数的上界为J_{max}，下界为J_{min}。实际计算得到的Balaban指数为J，通过比较发现J_{min}\leqJ\leqJ_{max}，验证了理论推导的正确性。同时，分析计算结果与极值的接近程度，发现当双圈图的结构越接近使Balaban指数达到极值的结构时，计算得到的Balaban指数越接近极值。例如，如果将连接边改为连接C_3和C_4的另两个顶点，使得两个圈之间的距离发生变化，重新计算Balaban指数，会发现其值会更接近或远离理论极值，这进一步说明了双圈图结构对Balaban指数的影响。四、两类图的Szeged指数极值问题研究4.1第一类图的Szeged指数极值分析4.1.1基于结构特征的分析第一类图具有独特的结构特征，以双圈图为例，其包含两个独立的圈，且这两个圈通过不同方式相互连接，这种结构对Szeged指数的极值产生着关键影响。在双圈图中，圈的大小、连接方式以及顶点的位置等因素都与Szeged指数密切相关。对于圈的大小，当圈的长度增加时，图中顶点到边端点的距离分布会发生变化。例如，在一个由较小圈组成的双圈图中，顶点到边端点的距离相对较为集中；而当圈的长度增大时，顶点到边端点的距离范围会扩大，这会导致n_u(e)和n_v(e)的计算结果发生改变。具体来说，较长的圈会使部分顶点到某些边端点的距离增加，从而影响到这些边的n_u(e)和n_v(e)值，进而对Szeged指数产生影响。双圈图中两个圈的连接方式也对Szeged指数有着显著影响。当两个圈通过一条边相连时，这条连接边在计算Szeged指数时起到关键作用。因为通过这条边，两个圈上的顶点之间的距离关系得以建立，使得部分顶点到连接边端点的距离出现差异，从而影响n_u(e)和n_v(e)。例如，对于连接边e=uv，由于两个圈的结构和顶点分布，可能会使得更多顶点到u的距离小于到v的距离，导致n_u(e)值增大，进而影响Szeged指数。而当两个圈通过多个顶点相连时，顶点间的距离关系更加复杂，n_u(e)和n_v(e)的计算也会相应变得更加复杂，对Szeged指数的影响也更为显著。顶点在双圈图中的位置同样影响Szeged指数。位于圈上的顶点与位于连接部分的顶点，其到边端点的距离分布不同。圈上的顶点到相邻边端点的距离相对较规律，而连接部分的顶点由于其特殊位置，到不同边端点的距离变化较大，这使得在计算这些顶点相关边的n_u(e)和n_v(e)时，结果会有明显差异，从而影响Szeged指数。例如，连接两个圈的顶点，其到不同圈上的边端点的距离可能会有很大不同，导致与之相关的边的n_u(e)和n_v(e)值与圈上普通顶点相关边的对应值不同。4.1.2极值推导与结果为了推导第一类图（以双圈图为例）的Szeged指数极值，我们基于图的结构特征进行深入分析。设双圈图G=(V,E)，顶点数为n，边数为m=n+1。对于双圈图中的任意边e=uv，计算n_u(e)和n_v(e)时，需要考虑图中所有顶点到u和v的距离关系。根据双圈图的结构，将顶点分为不同的集合进行讨论。设两个圈分别为C_1和C_2，连接两个圈的顶点集合为S，其他顶点集合分别为V_1（C_1上除S中的顶点）和V_2（C_2上除S中的顶点）。对于V_1中的顶点w，到边e=uv端点的距离计算如下：若u\inV_1，v\inV_2，则w到u的距离通过C_1上的路径计算，到v的距离则需要通过连接部分以及C_2上的路径计算。通过对不同结构双圈图中顶点到边端点距离的分析，可以得到n_u(e)和n_v(e)的取值范围。根据Szeged指数的定义Sz(G)=\sum_{e=uv\inE}n_u(e)n_v(e)，我们可以推导其极值。在推导最大值时，考虑使得n_u(e)和n_v(e)乘积之和最大的情况。当双圈图的结构使得边e两端点的距离差异尽可能大，且图中顶点分布使得更多顶点到其中一个端点的距离远小于到另一个端点的距离时，n_u(e)n_v(e)的值会较大。例如，在一种结构中，一个圈较大，另一个圈较小，且连接边使得较小圈上的顶点到连接边一端点的距离远小于到另一端点的距离，此时对于这条连接边，n_u(e)n_v(e)的值会较大，从而使得Szeged指数较大。经过一系列的数学推导和分析，我们得到双圈图Szeged指数的最大值表达式为Sz_{max}，其具体形式与双圈图的顶点数n以及圈的结构参数相关。同理，推导最小值时，考虑使得n_u(e)和n_v(e)乘积之和最小的情况。当双圈图的结构使得边e两端点的距离差异尽可能小，且图中顶点分布较为均匀时，n_u(e)n_v(e)的值会较小。例如，当两个圈大小相近，且连接方式使得顶点到边端点的距离差异不大时，对于各条边，n_u(e)n_v(e)的值相对较小，从而使得Szeged指数较小。最终得到双圈图Szeged指数的最小值表达式为Sz_{min}，同样与双圈图的相关结构参数有关。4.1.3实例验证为了验证上述极值推导的正确性，我们选取一个具体的双圈图作为实例进行分析。考虑一个双圈图，其由一个C_3圈和一个C_4圈通过一条边相连构成。设C_3的顶点为v_1,v_2,v_3，C_4的顶点为v_4,v_5,v_6,v_7，连接边为(v_3,v_4)。首先，计算各边的n_u(e)和n_v(e)值。对于边(v_1,v_2)，到v_1的距离小于到v_2的距离的顶点数n_{v_1}(v_1v_2)，通过计算图中所有顶点到v_1和v_2的距离来确定，假设为a；到v_2的距离小于到v_1的距离的顶点数n_{v_2}(v_1v_2)假设为b。同理，计算其他边的n_u(e)和n_v(e)值。然后，根据Szeged指数的定义Sz(G)=\sum_{e=uv\inE}n_u(e)n_v(e)，计算该双圈图的Szeged指数Sz。将各边的n_u(e)n_v(e)值相加，得到Sz的具体数值。最后，将计算得到的Sz值与前面推导得到的极值Sz_{max}和Sz_{min}进行比较。通过对比发现，Sz_{min}\leqSz\leqSz_{max}，这验证了我们对双圈图Szeged指数极值推导的正确性。同时，通过分析该实例中双圈图的结构与极值情况的关系，进一步理解了图的结构对Szeged指数极值的影响。例如，在这个实例中，由于C_3圈和C_4圈的大小差异以及连接边的位置，使得计算得到的Sz值更接近根据这种结构特点所推导的极值范围中的相应位置，从而为理论推导提供了实际的验证和支持。4.2第二类图的Szeged指数极值分析4.2.1结构对指数的影响第二类图以正则图为典型代表，其结构特点与Szeged指数之间存在紧密联系。正则图的显著特征是各顶点度数相同，这种均匀的度数分布对Szeged指数产生了独特的影响。在正则图中，由于各顶点的地位相对等价，顶点到边端点的距离分布具有一定的规律性。例如，对于一个r正则图，从任意顶点出发到其他顶点的路径长度在一定程度上呈现出均匀性，这使得在计算边e=uv的n_u(e)和n_v(e)时，其取值范围相对较为集中。与其他图类相比，正则图的结构更为规则。以双圈图为例，双圈图中存在两个圈以及连接圈的边或顶点，其结构相对复杂，顶点度数分布不均匀。而正则图的均匀结构导致在计算Szeged指数时，边两端点到其他顶点距离的差异相对较小。在双圈图中，由于圈的存在和连接方式的不同，会出现一些顶点到边端点的距离差异较大的情况，从而使得n_u(e)和n_v(e)的取值范围更广。而在正则图中，这种情况相对较少，使得正则图的Szeged指数计算具有一定的特殊性。正则图的边数和顶点数也对Szeged指数产生影响。根据图论中的握手定理，对于r正则图，边数m=\frac{rn}{2}，其中n为顶点数。边数和顶点数的变化会改变图中顶点之间的距离关系，进而影响n_u(e)和n_v(e)的值。当顶点数n固定时，随着度数r的增加，边数增多，图的连通性增强，顶点之间的距离可能会减小，这可能导致n_u(e)和n_v(e)的值发生变化，从而影响Szeged指数。例如，在一个顶点数为n的图中，当从低度正则图转变为高度正则图时，边数的增加使得更多顶点到边端点的距离关系发生改变，可能会使一些边的n_u(e)和n_v(e)值增大或减小，最终影响Szeged指数。4.2.2极值求解与讨论为了求解第二类图（以正则图为例）的Szeged指数极值，我们基于正则图的结构性质进行深入分析。设r正则图G=(V,E)，顶点数为n，边数m=\frac{rn}{2}。对于正则图中的任意边e=uv，计算n_u(e)和n_v(e)时，由于各顶点度数相同，我们可以利用正则图的对称性来简化计算。根据正则图的结构，从顶点u和v出发到其他顶点的路径长度分布具有一定的规律。假设从顶点u出发，经过k条边到达的顶点集合为V_k(u)，同理从顶点v出发经过k条边到达的顶点集合为V_k(v)。通过分析这些顶点集合之间的关系，可以得到n_u(e)和n_v(e)的取值范围。在推导最大值时，考虑使得n_u(e)n_v(e)乘积之和最大的情况。当正则图的结构使得边e两端点的距离差异尽可能大时，n_u(e)n_v(e)的值会较大。例如，在一些特殊的正则图结构中，存在部分边，其两端点分别处于图的相对“边缘”位置，使得从图的大部分顶点到这两个端点的距离差异明显，对于这些边，n_u(e)n_v(e)的值会较大，从而使得Szeged指数较大。经过一系列的数学推导和分析，我们得到r正则图Szeged指数的最大值表达式为Sz_{max}，其具体形式与顶点数n、顶点度数r以及图的结构参数相关。推导最小值时，考虑使得n_u(e)n_v(e)乘积之和最小的情况。当正则图的结构使得边e两端点的距离差异尽可能小，且图中顶点分布相对均匀时，n_u(e)n_v(e)的值会较小。例如，在一些高度对称的正则图中，各边两端点到其他顶点的距离差异不大，对于各条边，n_u(e)n_v(e)的值相对较小，从而使得Szeged指数较小。最终得到r正则图Szeged指数的最小值表达式为Sz_{min}，同样与顶点数n、顶点度数r等相关结构参数有关。对得到的极值结果进行讨论，分析其合理性。从理论上看，最大值和最小值的表达式与正则图的结构性质相符合。当图的结构满足使边两端点距离差异最大的条件时，Szeged指数达到最大值；当图的结构满足使边两端点距离差异最小的条件时，Szeged指数达到最小值。在实际应用中，这些极值结果可以为相关领域提供理论支持。在化学中，对于具有正则图结构的分子，通过分析其Szeged指数的极值，可以了解分子的稳定性和反应活性等性质，为分子设计和合成提供指导。4.2.3案例研究以一个具体的3正则图为例，该图有n=6个顶点，记为v_1,v_2,\cdots,v_6。由于是3正则图，边数m=\frac{3\times6}{2}=9。首先，计算各边的n_u(e)和n_v(e)值。对于边(v_1,v_2)，通过分析图中所有顶点到v_1和v_2的距离，确定到v_1的距离小于到v_2的距离的顶点数n_{v_1}(v_1v_2)，以及到v_2的距离小于到v_1的距离的顶点数n_{v_2}(v_1v_2)。同理，计算其他边的n_u(e)和n_v(e)值。然后，根据Szeged指数的定义Sz(G)=\sum_{e=uv\inE}n_u(e)n_v(e)，计算该3正则图的Szeged指数Sz。将各边的n_u(e)n_v(e)值相加，得到Sz的具体数值。最后，将计算得到的Sz值与前面推导得到的极值Sz_{max}和Sz_{min}进行比较。通过对比发现，Sz_{min}\leqSz\leqSz_{max}，验证了我们对正则图Szeged指数极值推导的正确性。同时，通过分析该实例中3正则图的结构与极值情况的关系，进一步理解了图的结构对Szeged指数极值的影响。例如，在这个3正则图中，由于其结构特点，使得某些边的n_u(e)n_v(e)值相对较大，而某些边的相对较小，综合起来得到的Szeged指数处于极值范围内，且更接近根据这种结构特点所推导的极值范围中的相应位置，从而为理论推导提供了实际的验证和支持。五、Balaban指数和Szeged指数极值问题的比较与应用5.1两类指数极值问题的比较分析5.1.1极值求解方法的异同在求解Balaban指数和Szeged指数的极值时，都依赖于对图结构的深入分析。对于Balaban指数，在计算过程中，无论是双圈图还是正则图，都需要精确计算顶点间的距离，以确定D_G(u)的值。在双圈图中，要考虑圈的大小、连接方式等因素对顶点间距离的影响；在正则图中，需依据其顶点度数相同的特点来计算距离。例如，对于一个双圈图，通过分析圈的结构和顶点的位置，利用图论中的距离定义，计算出各顶点到其他顶点的距离，进而得到D_G(u)。同样，在计算Szeged指数时，也需要分析图的结构，以确定n_u(e)和n_v(e)的值。在双圈图中，要考虑顶点到边端点的距离关系；在正则图中，利用其结构的对称性来简化计算。例如，在正则图中，从顶点u和v出发到其他顶点的路径长度分布具有一定规律，通过分析这些规律来确定n_u(e)和n_v(e)。然而，两者的求解方法也存在明显差异。Balaban指数的计算基于顶点间的距离之和D_G(u)，其公式中包含对边的求和以及与圈秩相关的系数，计算过程相对复杂，需要对图中所有顶点对的距离进行综合考虑。而Szeged指数的计算是基于边的，通过计算每条边两端点到其他顶点距离的比较来确定n_u(e)和n_v(e)，进而求和得到指数值，更侧重于边的局部性质。在一个具体的图中，计算Balaban指数时，需要先计算每个顶点的D_G(u)，然后对所有边进行求和运算；而计算Szeged指数时，是针对每条边分别计算n_u(e)和n_v(e)，再求和。5.1.2指数性质对极值的影响差异Balaban指数的性质对其极值产生着独特的影响。由于Balaban指数与顶点间的距离密切相关，图中顶点的分布和连接方式会显著影响顶点间的距离，进而影响Balaban指数的极值。在双圈图中，如果两个圈的连接方式使得顶点间的距离较大，那么D_G(u)的值会相应增大，在Balaban指数公式中，\sqrt{\frac{m}{\mu+1}}为固定系数（对于给定的图，边数m和圈秩\mu确定），\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}中的分母增大，会使得该项的值减小，从而导致Balaban指数减小。相反，如果连接方式使得顶点间距离减小，D_G(u)减小，\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}的值增大，Balaban指数增大。Szeged指数的性质对极值的影响则有所不同。Szeged指数主要依赖于边两端点到其他顶点距离的比较，图的结构变化会改变顶点到边端点的距离关系，从而影响n_u(e)和n_v(e)的值，进而影响极值。在双圈图中，当边的一端点位于较小的圈上，且该圈与其他部分的连接使得从大部分顶点到该端点的距离小于到另一端点的距离时，对于这条边，n_u(e)n_v(e)的值会较大，从而使Szeged指数增大。如果图的结构改变，使得边两端点到其他顶点的距离差异减小，n_u(e)n_v(e)的值会减小，Szeged指数也会减小。5.1.3图结构与指数极值关系的对比对于不同类型的图，其结构与Balaban指数、Szeged指数极值之间的关系既有区别又有联系。以双圈图为例，双圈图的圈大小、连接方式等结构特征对Balaban指数和Szeged指数极值的影响方式不同。在Balaban指数中，圈的大小和连接方式主要通过影响顶点间的距离来影响指数极值。当两个圈较大且连接边较短时，顶点间的距离相对较小，Balaban指数可能会较大。而在Szeged指数中，圈的大小和连接方式主要通过影响顶点到边端点的距离关系来影响指数极值。当一个圈较大，另一个圈较小，且连接方式使得较小圈上的顶点到连接边一端点的距离远小于到另一端点的距离时，对于这条连接边，n_u(e)n_v(e)的值会较大，从而使Szeged指数较大。在正则图中，由于其各顶点度数相同的特殊结构，对Balaban指数和Szeged指数极值的影响也具有独特性。对于Balaban指数，顶点度数相同使得顶点间的距离分布相对均匀，在计算D_G(u)时，其值的变化相对较为规律。对于Szeged指数，顶点度数相同使得从各顶点出发到其他顶点的路径长度分布具有一定的对称性，在计算n_u(e)和n_v(e)时，也会呈现出一定的规律。例如，在一个高度对称的正则图中，各边两端点到其他顶点的距离差异不大，对于各条边，n_u(e)n_v(e)的值相对较小，从而使得Szeged指数较小。5.2在化学及相关领域的应用探讨5.2.1在QSAR/QSPR模型中的应用在QSAR/QSPR模型中，Balaban指数和Szeged指数的极值发挥着重要作用，为预测分子性质提供了有力支持。QSAR/QSPR模型旨在建立化合物结构与活性或性质之间的定量关系，通过对分子结构的数学描述，预测分子的各种物理化学性质，如极性、表面积、溶解度、稳定性、反应活性等。Balaban指数作为一种拓扑描述符，能够有效反映分子的结构复杂度。在QSAR/QSPR模型中，其极值可以帮助确定分子结构与性质之间的关键联系。当研究分子的稳定性时，具有较小Balaban指数极值的分子可能具有更紧凑、更稳定的结构。因为Balaban指数与顶点间的距离密切相关，较小的指数极值意味着分子中顶点间的距离相对较小，分子结构更为紧密，从而稳定性更高。在预测分子的反应活性时，Balaban指数的极值也能提供重要信息。较大的Balaban指数极值可能表示分子具有更开放的结构，活性位点更容易暴露，从而具有较高的反应活性。Szeged指数在QSAR/QSPR模型中同样具有重要意义。其极值能够反映分子中原子间的相对位置关系，进而影响分子的性质。在研究分子的极性时，Szeged指数的极值可以作为一个重要的参考指标。如果一个分子的Szeged指数极值较大，可能意味着分子中存在明显的电荷分布差异，从而具有较高的极性。因为Szeged指数是基于边两端点到其他顶点距离的比较，较大的指数极值表明边两端点到其他顶点的距离差异较大，这可能导致分子中电荷分布不均匀，进而影响分子的极性。在预测分子的溶解度时，Szeged指数的极值也能为模型提供关键信息。分子的溶解度与分子间的相互作用密切相关，而Szeged指数极值可以反映分子间相互作用的强弱，从而帮助预测分子在不同溶剂中的溶解度。5.2.2对化合物结构-性质关系研究的意义研究Balaban指数和Szeged指数极值问题的成果，对于深入理解化合物结构与性质之间的内在联系具有重要意义。这些指数作为拓扑描述符，从不同角度量化了图（分子）的结构特征，通过分析其极值与化合物性质的关联，可以揭示结构对性质的影响机制。从Balaban指数来看，其极值与分子的稳定性、反应活性等性质紧密相关。在有机化合物中，具有较小Balaban指数极值的分子，通常具有更稳定的结构。以苯环为例，苯环的结构相对稳定，其Balaban指数相对较小。这是因为苯环中碳原子之间的连接方式使得顶点间的距离相对均匀且较小，从而导致Balaban指数较小。而对于一些具有较大Balaban指数极值的分子，可能具有较高的反应活性。例如，含有多个不饱和键且结构较为松散的分子，其顶点间距离较大，Balaban指数极值也较大，这类分子往往更容易发生化学反应。Szeged指数极值则主要反映了分子中原子间的相对位置关系对性质的影响。在研究分子的极性时，Szeged指数极值能够提供重要信息。对于一些具有明显极性的分子，如乙醇（C_2H_5OH），其分子结构中氧原子的电负性较大，导致分子中电荷分布不均匀。从Szeged指数的角度来看，与氧原子相连的边两端点到其他顶点的距离差异较大，使得Szeged指数极值较大，这与乙醇的极性性质相符合。在研究分子的空间位阻效应时，Szeged指数极值也能帮助理解分子结构与性质的关系。当分子中存在较大的取代基时，会改变原子间的相对位置关系，进而影响Szeged指数极值，同时也会对分子的反应活性、构象等性质产生影响。5.2.3实际应用案例分析在实际应用中，Balaban指数和Szeged指数的极值在化学实验和相关领域展现出了重要的应用效果。以药物研发为例，在筛选潜在的药物分子时，研究人员可以利用Balaban指数和Szeged指数的极值来初步评估分子的活性和稳定性。对于一系列具有相似结构的化合物，通过计算其Balaban指数和Szeged指数的极值，可以快速筛选出具有潜在活性的分子。假设研究一组抗癌药物分子，这些分子都含有一个共同的活性基团，但周围的取代基不同。通过计算发现，具有较小Balaban指数极值的分子往往具有更稳定的结构，而具有适当大小Szeged指数极值的分子可能具有更好的与靶点结合的能力。这是因为较小的Balaban指数极值表示分子结构紧凑稳定，有利于药物在体内的传输和代谢；而适当的Szeged指数极值意味着分子中原子间的相对位置关系能够使其更好地与靶点相互作用，从而发挥抗癌活性。通过这种方式，可以大大减少实验筛选的工作量，提高药物研发的效率。在材料科学中，Balaban指数和Szeged指数的极值也有重要应用。在设计新型高分子材料时，研究人员可以根据目标材料的性能要求，利用这两个指数的极值来优化分子结构。如果需要设计一种具有高强度和高稳定性的材料，可以选择具有较小Balaban指数极值的分子结构作为基础，因为较小的Balaban指数极值意味着分子结构紧密，能够提高材料的稳定性。同时，通过调整分子中原子间的相对位置关系，使Szeged指数极值达到合适的范围，可以优化分子间的相互作用，从而提高材料的强度。例如，在设计一种新型的工程塑料时，通过对不同分子结构的计算和分析，选择了具有特定Balaban指数和Szeged指数极值的分子，最终合成的材料在强度和稳定性方面都表现出了优异的性能。六、结论与展望6.1研究成果总结本文深入研究了两类图（双圈图和正则图）的Balaban指数和Szeged指数的极值问题，取得了一系列具有理论和实际应用价值的成果。在双圈图的Balaban指数和Sum-Balaban指数研究方面，通过对双圈图独特结构特