2025年广东省陆丰市中考数学真题分类（勾股定理）汇编专题练习试卷（含答案详解）

广东省陆丰市中考数学真题分类（勾股定理）汇编专题练习考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（

）A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米2、在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（

）A．10 B．8 C．6或10 D．8或103、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（

）A．6 B．8 C．9 D．154、如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤125、在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（）A．4 B．5 C．6 D．76、《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（）A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）27、下列各组数：①3、4、5

②4、5、6

③2.5、6、6.5

④8、15、17，其中是勾股数的有(

)A．4组 B．3组 C．2组 D．1组第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为__________cm（容器壁厚度忽略不计）．2、如图，已知中，，，动点M满足，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为_________．3、在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_______米.4、设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为________．5、在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）到原点的距离是_____．6、如图，在中，，于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点落在CD的延长线上．若，，则的面积为__________．7、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，则点C到AB的距离是_______．8、我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处，问水的深度是多少？则水深DE为_____尺．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C会受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？2、有一只喜鹊在一棵高3米的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24米，高为14米的一棵大树上，且巢离大树顶部为1米，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，立刻赶过去，如果它的飞行速度为每秒5米，那么它至少几秒能赶回巢中？3、已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．4、如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？5、点P到y轴的距离与它到点A(-8,2)的距离都等于13,求点P的坐标。6、如图，烟台市正政府决定在相距50km的A、B两村之间的公路旁E点，修建一个大樱桃批发市场，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么大樱桃批发市场E应建什么位置才能符合要求？7、勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中，点在线段上，点在边两侧，试证明：．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【考点】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.2、C【解析】【详解】分两种情况：在图①中，由勾股定理，得;;∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得;;∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故选C.3、D【解析】【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：如图，将台阶展开，因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15．故选：D．【考点】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键．4、B【解析】【分析】根据题意画出图形，先找出h的值为最大和最小时筷子的位置，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝＝＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：B．【考点】本题考查了勾股定理的实际应用问题，解答此题的关键是根据题意画出图形找出何时h有最大及最小值，同时注意勾股定理的灵活运用，有一定难度．5、A【解析】【详解】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=4，故选A．【考点】勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．6、C【解析】【分析】首先设芦苇长x尺，则水深为（x−1）尺，根据勾股定理可得方程（x−1）2＋52＝x2．【详解】解：设芦苇长x尺，由题意得：（x−1）2＋52＝x2，即x2﹣52＝（x﹣1）2故选：C．【考点】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，从题中抽象出勾股定理这一数学模型．7、C【解析】【详解】解：∵32+42=52，①符合勾股数的定义；∵42+52≠62，②不符合勾股数的定义；∵2.5和6.5不是正整数，③不符合勾股数的定义；∵82+152=172，④符合勾股数的定义，是勾股数的有：①④，共2组，故选：C．二、填空题1、34【解析】【分析】首先展开圆柱的侧面，即是矩形，接下来根据两点之间线段最短，可知CF的长即为所求；然后结合已知条件求出DF与CD的长，再利用勾股定理进行计算即可.【详解】如图为圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段CF是蜘蛛由C到F的最短路程.根据题意，可知DF=18-1-1=16（cm），CD（cm），∴（cm），即蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm.故答案为34.【考点】此题是有关最短路径的问题，关键在于把立体图形展开成平面图形，找出最短路径；2、##【解析】【分析】证明△AMC≌△BNC，可得，再根据三角形三边关系得出当点N落在线段AB上时，最小，求出最小值即可．【详解】解：∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，∴，，∵，，∴，∴△AMC≌△BNC，∴，∵∴的最小值为；故答案为：．【考点】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是证明三角形全等，得出，根据三角形三边关系取得最小值．3、【解析】【分析】由题意知AD＋DB＝BC＋CA，设BD＝x，则AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝(5＋x)米即可．【详解】解：由题意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米，设BD＝x，则AD＝15－x，∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2，即，解得x＝2.5米，故树高为CD＝5＋x＝7.5（米），答：树高为7.5米．故答案为：7.5．【考点】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量关系，并根据勾股定理列方程求解是解题的关键．4、48【解析】【分析】由该三角形的周长为24，斜边长为10可知a＋b＋10＝24，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．【详解】解：∵三角形的周长为24，斜边长为10，∴a＋b＋10＝24，∴a＋b＝14，∵a、b是直角三角形的两条直角边，∴a2＋b2＝102，则a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝102，即142−2ab＝102，∴ab＝48．故答案为：48．【考点】本题主要考查了勾股定理，掌握利用勾股定理证明线段的平方关系及完全平方公式的变形求值是解题的关键．5、【解析】【分析】根据两点的距离公式计算求解即可．【详解】解：由题意知点（3，﹣2）到原点的距离为故答案为：．【考点】本题考查了用勾股定理求解两点的距离公式．解题的关键在于熟练掌握距离公式：、两点间的距离公式为．6、【解析】【分析】在△ABC中由等面积求出，进而得到，设BE=x，进而DE=DB-BE=，最后在中使用勾股定理求出x即可求解．【详解】解：在中由勾股定理可知：，∵，∴，∴，在中由勾股定理可知：，∴，设BE=x，由折叠可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=，在中由勾股定理可知：，代入数据：∴，解得，∴，∴，故答案为：．【考点】本题考查了勾股定理求线段长、折叠的性质等，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练使用勾股定理求线段长．7、【解析】【分析】首先根据勾股定理求出直角边BC的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2=AB2∵AC=9，BC=12，∴AB=在Rt△ABC中,∠C=90°，则有AC2+BC2=AB2，∵AC=9，AB=15，∴BC==12，∵S△ABC=AC⋅BC=AB⋅h，∴h==故答案为【考点】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键8、12【解析】【分析】设水深为h尺，则芦苇长为(h+1)尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．【详解】设水深为h尺，则芦苇长为(h+1)尺，根据勾股定理，得(h+1)2-h2=52解得h=12，∴水深为12尺，故答案是：12．【考点】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．三、解答题1、（1）会，理由见解析；（2）7h【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，从而判断出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【详解】解：（1）如图所示，过点C作CD⊥AB于D点，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴，∴△ABC为直角三角形，∴，∴，∴，∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C会受到台风影响；（2）由（1）得CD=240km，如图所示，当EC=FC=250km时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C，此时△ECF为等腰三角形，∵，∴EF=140km，∵台风的速度为20km/h，∴140÷20=7h，∴台风影响该海港持续的时间有7h．【考点】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．2、它至少5.2秒能赶回巢中.【解析】【分析】过点作于点.求出AF,EF,再根据勾股定理求出AE，从而求出时间.【详解】解：如图所示，米，米，米，米.过点作于点.在中，米，米，所以.所以喜鹊离巢的距离米.喜鹊赶回巢所需的时间为（秒）.即它至少5.2秒能赶回巢中.【考点】考核知识点：勾股定理和逆定理运用.构造直角三角形是解题关键.3、△ABC为直角三角形或等腰三角形【解析】【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．【详解】解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴a4－b4－a2c2+b2c2=0，∴（a4－b4）－（a2c2－b2c2）=0，∴（a2+b2）（a2－b2）－c2（a2－b2）=0，∴（a2+b2－c2）（a2－b2）=0得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形．4、北偏西45°（或西北）【解析】【分析】直接得出RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海

天”号航行方向．【详解】解：由题意可得：RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，∵182+242=302，∴△RPQ是直角三角形，∴∠RPQ=90°，∵“远航”号