高三数学大一轮复习讲义第一章

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算集合是高中数学的基础语言，也是高考的必考内容（多为选择题第1题）。核心是元素与集合的关系、集合间的关系及集合运算。1.1.1集合的基本概念1.定义：集合是由确定的、互异的、无序的对象（称为元素）组成的整体。确定性：元素是否属于集合必须明确（如“优秀学生”不是集合，“身高170cm以上的学生”是集合）。互异性：集合中元素不能重复（如{1,1,2}应表示为{1,2}）。无序性：集合中元素顺序无关（如{1,2}={2,1}）。2.表示方法：列举法：逐一列出元素（如{1,2,3}，适用于有限集或规律明显的无限集）。描述法：用“代表元素|元素满足的条件”表示（如{x|x²-2x=0}，注意代表元素的类型：{y|y=x²}是数集（函数值域），{(x,y)|y=x²}是点集（抛物线））。Venn图：用圆形或矩形表示集合（直观展示集合关系）。3.元素与集合的关系：属于（∈）：如1∈{1,2}；不属于（∉）：如3∉{1,2}。1.1.2集合的基本关系1.子集：若集合A的所有元素都在集合B中，则A是B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。性质：①∅⊆A（空集是任何集合的子集）；②A⊆A（自身是自身的子集）；③若A⊆B且B⊆C，则A⊆C（传递性）。2.真子集：若A⊆B且A≠B，则A是B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A）。性质：①∅⊂A（A≠∅时，空集是任何非空集合的真子集）；②若A⊂B且B⊂C，则A⊂C。3.集合相等：若A⊆B且B⊆A，则A=B（如{1,2}={2,1}）。1.1.3集合的基本运算设全集为U（包含所有研究对象的集合），A、B为U的子集：1.交集（A∩B）：所有同时属于A和B的元素组成的集合，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。性质：①A∩A=A；②A∩∅=∅；③A∩B=B∩A。2.并集（A∪B）：所有属于A或属于B的元素组成的集合，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。性质：①A∪A=A；②A∪∅=A；③A∪B=B∪A。3.补集（∁ᵤA）：全集U中不属于A的元素组成的集合，即∁ᵤA={x|x∈U且x∉A}。性质：①∁ᵤ(∁ᵤA)=A；②∁ᵤU=∅；③∁ᵤ∅=U；④A∪∁ᵤA=U；⑤A∩∁ᵤA=∅。解题技巧：数集运算用数轴法（如求A={x|1<x<3}与B={x|2<x<4}的交集，数轴上重叠部分为(2,3)）；有限集运算用Venn图（如求A∪B、A∩B时，用图形表示集合边界）。1.2常用逻辑用语常用逻辑用语是研究命题关系、推理的工具，高考重点考查充分必要条件判断、命题的否定。1.2.1命题与四种命题1.命题：可以判断真假的陈述句（如“2是偶数”是真命题，“3<2”是假命题）。2.四种命题：原命题：若p，则q（p→q）；逆命题：若q，则p（q→p）；否命题：若¬p，则¬q（¬p→¬q）；逆否命题：若¬q，则¬p（¬q→¬p）。3.等价关系：原命题与逆否命题同真同假（如“若x>2，则x>1”的逆否命题是“若x≤1，则x≤2”，均为真）；逆命题与否命题同真同假（如“若x>1，则x>2”的逆命题是“若x>2，则x>1”，逆命题为真，否命题“若x≤1，则x≤2”也为真）。应用：判断命题真假时，若原命题难以判断，可转化为逆否命题（如“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”，逆否命题是“若a=2且b=3，则a+b=5”，为真，故原命题为真）。1.2.2充分条件与必要条件1.定义：若p→q（p成立则q一定成立），则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p→q且q→p（p⇨q），则p是q的充要条件（充分必要条件）；若p→q且q→/p，则p是q的充分不必要条件；若p→/q且q→p，则p是q的必要不充分条件；若p→/q且q→/p，则p是q的既不充分也不必要条件。2.判断方法：定义法：直接验证p→q和q→p是否成立；集合法：设P={x|p(x)}，Q={x|q(x)}，则：p是q的充分条件⇨P⊆Q；p是q的必要条件⇨Q⊆P；p是q的充要条件⇨P=Q；等价法：利用逆否命题转化（如“p→q”等价于“¬q→¬p”）。示例：判断“x>2”是“x>1”的什么条件？集合法：P={x|x>2}，Q={x|x>1}，P⊂Q，故“x>2”是“x>1”的充分不必要条件。1.2.3逻辑联结词与复合命题1.逻辑联结词：“且（∧）”、“或（∨）”、“非（¬）”。2.复合命题真值表：p∧q（p且q）：只有p、q都真时，才真；p∨q（p或q）：只要p、q有一个真，就真；¬p（非p）：p真则¬p假，p假则¬p真。注意：“或”在数学中是可兼或（如“x>2或x<1”包含x>2、x<1两种情况），与日常语言中的“或”（不可兼或）不同。1.2.4全称量词与存在量词1.量词：全称量词（∀）：表示“所有”“任意”（如“∀x∈R，x²≥0”，所有实数的平方非负）；存在量词（∃）：表示“存在”“至少有一个”（如“∃x∈R，x²=2”，存在实数x使x²=2）。2.命题的否定：全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定是特称命题：“∃x∈M，¬p(x)”（如“所有正方形都是矩形”的否定是“存在一个正方形不是矩形”）；特称命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称命题：“∀x∈M，¬p(x)”（如“存在x∈R，x²≤0”的否定是“∀x∈R，x²>0”）。易错点：命题否定时，量词与结论都要否定（如“∃x∈R，x²+2x+3≤0”的否定是“∀x∈R，x²+2x+3>0”，而非“∃x∈R，x²+2x+3>0”）。1.3易错点辨析与高频考点突破1.3.1易错点1：空集的忽略问题：若A⊆B，A={x|x²-2x+a=0}，B={1,2}，求a的取值范围。错解：直接代入1或2得a=1或a=0，忽略A=∅的情况。正解：当A=∅时，Δ=4-4a<0⇒a>1；当A≠∅时，若1∈A，则a=1（此时A={1}⊆B）；若2∈A，则a=0（此时A={0,2}⊈B，舍去）。结论：a≥1。1.3.2易错点2：命题否定与否命题混淆命题：“若x>2，则x>1”（真）；否命题：“若x≤2，则x≤1”（假，如x=1.5≤2但x>1）；命题否定：“存在x>2，使得x≤1”（假）。总结：否命题是“条件+结论都否定”，命题否定是“只否定结论，量词反转”。1.3.3高频考点：充分必要条件判断示例（2023年全国甲卷）：设p：x>1，q：x²>1，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：q：x²>1⇒x>1或x<-1。P={x|x>1}，Q={x|x>1或x<-1}，P⊂Q，故p是q的充分不必要条件，选A。1.4高考题例析1.4.1集合运算（2023年全国乙卷）设集合A={x|x²-3x+2<0}，B={x|2x-3>0}，则A∩B=（）A.(1,3/2)B.(3/2,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)解析：解A：x²-3x+2<0⇒(x-1)(x-2)<0⇒1<x<2；解B：2x-3>0⇒x>3/2。交集为(3/2,2)，选B。1.4.2命题否定（2022年全国乙卷）设命题p：∃x∈R，x²+2x+3≤0，则¬p是（）A.∀x∈R，x²+2x+3≤0B.∀x∈R，x²+2x+3>0C.∃x∈R，x²+2x+3>0D.∃x∈R，x²+2x+3≥0解析：特称命题的否定是全称命题，结论否定，故¬p：∀x∈R，x²+2x+3>0，选B。1.5本章总结1.核心考点：集合运算（交集、并集、补集）、充分必要条件判断、命题否定。2.解题技巧：集合运算用数轴（数集）或Venn图（有限集）；充分必要条件用集合法（小推大）；命题否定用“量词反转+结论否定”。3.易错提醒：