第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式基础过关练题组一给角求值1.sin102°cos48°+cos78°·cos138°=()A.-32B.-12C.12.求值:3tan18°tan42°+tan18°-tan138°=()A.3B.-3C.33D.-3.计算:2sin14°cos31°+sin17°=()A.22B.-22C.3题组二给值求值4.已知tanα-π4=2,则tanA.3B.1C.-3D.-15.已知sinα=13,α∈π2,π,则cos6.(2024江苏南通期末)已知α∈0,π2,β∈π2,π,tan(1)求sinα-(2)求sinβ.题组三给值求角7.已知α,β∈0,π2,且tanα=3,tanβ=2,A.5π12B.2π38.若cosθcos2θ-sinθ·sin2θ=-32,θ∈-π3,0,9.已知α,β为锐角,且sinα=55,cosβ=31010题组四利用两角和与差的三角函数公式进行化简10.函数f(x)=sinx-π6+cosA.32B.1C.311.(多选题)在△ABC中,下列结论正确的为()A.cosAcosBcosC>0B.sinA+B2C.sinC=sinAcosB+cosAsinBD.cosC=cosAcosB-sinAsinB12.(2023重庆十八中期末)化简:tan12°+tan18°+tan150°tan12°tan18°=能力提升练题组一利用两角和与差的三角函数公式解决求值和求角问题1.已知2tanθ-tanθ-π4=-7,则tanθ=()A.-2B.-1C.1D.22.已知0<α<π2,0<β<π2,cos(α+β)=35,sin(α-β)=15A.310B.35C.53.若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈πA.5π4B.7π4C.5π44.设α,β∈R,且32+sinα+42+sin2A.-1B.1C.3D.-35.若角α,β满足2(cos2αcos2β-sin2αsin2β)[tan(α+β)+tan(α-β)]=1,则α的值可能为()A.-5π12B.-7π126.已知tanα=3,tanβ=1,则cos(α+β7.已知cosα+π3=3314,tan(α+β)=5311(1)求tanα+π(2)求β的值.题组二两角和与差的三角函数公式的综合应用8.已知sin(α+2β)=3sinα,则tanα的最大值是()A.22B.24C.39.在△ABC中,tanA=2tanB,AB边上的高等于13AB,则tanC=10.如图,单位圆被点A1,A2,…,A12分为12等份,其中A1(1,0).角α的始边与x轴的非负半轴重合,若α的终边经过点A5,则cosα=;若sinα=sinα+π3,则角α的终边与单位圆交于点.(从A1,A2,…,A12中选择,写出所有满足要求的点

答案与分层梯度式解析第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式基础过关练1.C2.A3.A4.C7.C10.C11.BC1.Csin102°cos48°+cos78°cos138°=sin78°cos48°-cos78°sin48°=sin(78°-48°)=sin30°=12.故选C2.A由tan60°=tan(18°+42°)=tan18°+tan42°1−tan18°tan42°=3,得tan18°+tan42°=3(1-tan18°tan42°则tan18°+tan42°+3tan18°tan42°=3.所以3tan18°tan42°+tan18°-tan138°=3tan18°tan42°+tan18°+tan42°=3.故选A.3.A2sin14°cos31°+sin17°=2sin14°cos31°+sin(31°-14°)=2sin14°cos31°+sin31°cos14°-cos31°sin14°=sin31°cos14°+cos31°sin14°=sin(31°+14°)=sin45°=22.故选A4.C∵tanα-∴tanα=tanα-π4+π4=tan5.答案-1-2解析因为sinα=13,α∈π2,π,所以cosα=-223,则cosα+π6=cosαcosπ6-sinαsinπ66.解析(1)由tanα=34,得sin2α+cos因此sinα-π4=sinαcosπ4-sinπ4(2)因为α∈0,π2,β∈所以α-β∈(-π,0),又cos(α-β)=513所以sin(α-β)=-1−cos2则sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosα·sin(α-β)=35×513-45×-7.C因为tanα=3,tanβ=2,所以tan(α+β)=tanα+tanβ因为α,β∈0,π2,所以0<α+β<π,因此α+β=故选C.8.答案-5解析因为cosθcos2θ-sinθsin2θ=-32所以cos3θ=-32又θ∈-π3,0,所以所以3θ=-5π6,解得θ=-9.解析∵sinα=55,且α是锐角,∴cosα=1−sin2α=255,∵cos∴sinβ=1−cos2∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=255×31010-55∵0°<α<90°,0°<β<90°,∴0°<α+β<180°,∴α+β=45°.易错警示已知三角函数值求角时,角的范围是关键,一方面要利用角的范围对角进行选择,另一方面要由角的范围选择所求值的三角函数名称.10.Cf(x)=sinxcosπ6-cosxsinπ6+cosxcosπ3+sinxsinπ3=32sinx-12cosx+12cosx+3∵-1≤sinx≤1,∴-3≤f(x)≤3,∴函数f(x)的最大值是3.故选C.11.BC对于A,若△ABC为钝角三角形,不妨设C为钝角,则A,B为锐角,所以cosA>0,cosB>0,cosC<0,则cosAcosBcosC<0,因此A错误;对于B,sinA+B2=sinπ-C2=sinπ2-C2=cosC2,因此B正确;对于C,sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,因此C正确;对于D,cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=sinAsinB-cos12.答案-3解析原式=tan(12°+18°)(1−tan12°tan18°)−tan30°=tan30°−tan30°tan12°tan18°−tan30°=-tan30°=-33能力提升练1.A2.C3.B4.A5.B8.B1.A∵2tanθ-tanθ-π4=-7,∴2tan整理得tan2θ+4tanθ+4=0,即(tanθ+2)2=0,∴tanθ=-2.故选A.2.C∵0<α<π2,0<β<π2,∴α+β∈(0,π),又cos(α+β)=∴sin(α+β)=1−cos2∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=45又sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=15∴sinαcosβ=12,cosαsinβ=3则tanαtanβ=sinαcosβcosα3.B由α∈π4,π,得2α∈π2,2π,所以2α∈π2,π,所以cos2α=-1−sin22α=-255,α∈π4,π2又sin(β-α)=1010,所以β-α∈π2,π,则cos(β-α)=-所以cos(α+β)=cos(2α+β-α)=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-255×-31010-5又α+β∈5π4,2π,所以α+β=74.A因为1≤2+sinα≤3,所以1≤32+sinα因为1≤2+sin2β≤3,所以43≤42+sin2由于32+sinα+42+sin2β=7,所以sin所以α=2k1π-π2(k1∈Z),2β=2k2π-π2(k2∈Z),故β=k2π-π4(k2因此tan(α-β)=tan2=tan(2k1-k2)π-π45.B由2(cos2αcos2β-sin2αsin2β)[tan(α+β)+tan(α-β)]=1,得2(cosαcosβ+sinαsinβ)(cosαcosβ-sinαsinβ)sin(=2cos(α-β)cos(α+β)×sin(=2[sin(α+β)cos(α-β)+sin(α-β)cos(α+β)]=2sin[(α+β)+(α-β)]=2sin2α=1,所以sin2α=12,因此2α=π6+2kπ或2α=5π6即α=π12+kπ或α=5π12+kπ(k逐项检验可得α的值可能为-7π12,故选6.答案-1解析∵tanα=3,tanβ=1,∴cos(α+β)=1−33−17.解析(1)因为0<α<π2,所以π3<α+π3又cosα+π3=3314,所以故tanα+π3(2)因为cosα=cosα+π3-π3=cosα+π3·cosπ3+sinα+π3sin所以sinα=1−cos2α=所以tanα=sinαcosα=1又tan(α+β)=53所以tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)-tanα又β∈0,π2,所以β=8.B∵sin(α+2β)=3sinα,∴sin(α+β+β)=3sin(α+β-β),∴sin(α+β)cosβ+sinβcos(α+β)=3sin(α+β)cosβ-3sinβcos(α+β),化简得sin(α+β)cosβ=2sinβcos(α+β),即tan(α+β)=2tanβ,因此tanα=tan(α+β-β)=tan(α+β若tanα取得最大值,则tanβ>0,此时tanβ1+2tan2β=12tanβ+1tanβ≤129.答案-3解析在△ABC中,由tanA=2tanB,得tanA=2tanB>0,即A,B均为锐角,过点C作CD⊥AB交AB于点D,如图,则tanA=CDAD,tanB=CDBD,由tanA=2tanB得BD=2AD,又AB边上的高等于13AB,所以则tanA=1,tanB=12因此tanC