2025北京初三一模数学汇编：相似形章节综合（京改版）

2025北京初三一模数学汇编

相似形章节综合（京改版）

一、单选题

1.（2025北京四中初三一模）如图，在AABC中，AB>BC,。是AB边的中点.按下列要求作图:

（1）以点3为圆心，小于8。长度为半径画弧，分别交

BA,于点O,E；

（2）以点。为圆心，8。长为半径画弧，交。4于点尸；以点尸为圆心，DE长为半径

画弧，两弧交于点G,点G与点C在直线A3同侧；

（3）作直线OG,交AC于点

根据上面作图，下列结论母牛的是（）

A.ZAOM=ZBB.ABDEWAOFG

C.AB=2OMD.AM^CM

2.（2025北京东城初三一模）如图，在AABC中，P是边AC的中点.按下列步骤作图:

①以点8为圆心，适当长为半径画弧，交线段小?于点O,交线段BC于点E；

②以点尸为圆心，8。长为半径画弧，交线段"于点P；

③以点尸为圆心，OE长为半径画弧，交前一条弧于点G；

④作直线尸G,交线段于点Q.

以下结论不：牢成立的是（）

A.ZAPQ=ZBB.ZB2P+ZC=180°

C.△AP。与AABC的相似比为1：2D.AABC^AAPQ

3.（2025北京门头沟初三一模）如图，点E是正方形ABCD内一点，EBC是等边三角形，连接AC交

BE于点F,连接AE和OE,下列结论中正确的是（）

@AE=DE;®ZEFC=2ZEDC；®ZAED=2ZAEB；®AB=^^BF.

2

C.①③④D.②③④

4.（2025北京石景山初三一模）如图，矩形ABC。中，^BC<AB<BC.点E在2C边上，以AE为边作

正方形A£FG,点尸恰好落在边CD上，FG与AD交于点、H.设BE=a,CE=b,AE=c,给出下面三个

结论：①CD=b；②a+b〈拒c;③HF=：（一）.上述结论中，所有正确结论的序号是（）

b

5.（2025北京房山初三一模）如图，在AABC中，AB>BC,。是48边的中点.按下列要求作图:

A.ZAOM=ZBB.ABDE^AOFG

C.OM=-ABD.AM^CM

2

6.（2025北京大兴初三一模）已知边长为。的正方形。1BC,过点8的直线分别交OAOC的延长线于点

D,E,设AD=b,CE=c,△ABD,BCE,正方形6MBe的面积分别为H,S2,S3.给出下面三个结

论：

①a1=be;②b+d2a；③H+S2Vs3.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

7.（2025北京燕山初三一模）如图，在AABC中，于点。，只需添加下面三个条件中的一个即

AnCD

可证明AABC是直角三角形.@ZA=ABCD-②ZA+ZBCD=ZADC；®—=—.所有正确条件的

序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

8.（2025北京房山初三一模）如图，在等边aABC中，点、D,E分别是边AB、BC上的动点，且

BD=2CE.以。E为边作等边,DE户.使点A与点F在直线DE同侧.DF交AC于点、G.交AC于点

H.给出下面四个结论：

①NBED=ZAHF；

②ADDF=BEDG；

③若ED工AB,则1AC；

④若CE:BE=1:2,则四边形是菱形.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.③④C.①②③D.①②③④

二、填空题

9.（2025北京密云初三一模）如图，矩形ABCD中，DE2AC垂足为£,延长DE交于EAE=2,

DE=4,则CO的长为.

DC

10.（2025北京东城初三一模）如图，在uABCD中，点E在A3上，CE,BD交于点、F,若

AE\BE=2A,且3尸=2,贝!

H

11.（2025北京顺义初三一模）如图，在正方形ABCD中，点£在BC上，连接AE交对角线于点

12.（2025北京朝阳初三一模）如图，在矩形ABCD中，CE1BD,垂足为点若AB=5,CE=3,则

13.（2025北京西城初二一模）如图，在矩形"8中，点E,P分别在边8C,DC上，且若

AB=2,AD=4,BE=1,则EF的长为.

14.（2025北京平谷初三一模）在菱形A5CD中，4£>=5,/归，8。于点区EC=2,连接交AE于点

F,则AF的长为.

AD

15.（2025北京二中初三一模）如图，在Rtz^ABC中，ZC=90°,AC=6,8c=8,点。在边A3上，过

点。作DE〃台。交AC于点E,作小〃AC交2c于点R若CE=DE,则CF的长为.

16.（2025北京海淀初三一模）如图，点P是正方形ABCD对角线上的一点，PEJ_AB于点E.连接

AP并延长交3C于点尸，连接PC.若PC=碗，PE=1,则所的长为.

三、解答题

17.（2025北京门头沟初三一模）如图，在四边形ABCZ）中，ZABD=ZADB,CB_LBD于B,AF±BD

于尸，CB=AF,AF的延长线交CD于E.

（1）求证：EF=；AF；

（2）过点A作G4_LAZ）,交BD于G,以G为圆心，BG长为半径作弧，交AB于H,连接

①依题意补全图形；

②用等式表示所与之间的数量关系，并证明.

参考答案

1.C

【分析】本题考查作一个角等于已知角、全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握基本作图以

及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

由作图过程可知，ZAOM=ZB,ABDE必OFG,可判断选项A和选项B；证明可判

断选项C；由平行线分线段成比例定理可判断选项D.

【详解】解：由作图过程可知，ZAOM=ZB,故A选项正确，不符合题意；

由作图过程可知，BD=BE=OF=OG,DE=FG,

；..BDE-OFG（SSS）,故B选项正确，不符合题意;

ZAOM=ZB,

：.OM//BC,

：.AAOMs△至c,

.OMAO

：0是AB边的中点，

AO=BO=-AB,

2

.OMAO1口门―

・・■=-=—,即BC=2OM

BCAB2

■:AB>BC,

：.AB>2OM,故C选项不正确，符合题意，

•/OM//BC,

.AMAOx

CM~BO~，

：.AMCM,D选项正确，不符合题意.

故选：C.

2.C

【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

由作图过程可得=选项A正确；得到△ABCs△4尸。，选项D正确；得到NC=NAQP,推

ApAp1

出NBQP+NC=180。，选项B正确；得至尸。与AABC的相似比为受，不能确定?=选项C

ABAB2

错误.

【详解】解：由作图过程可得4短。=/8,

故选项A正确；

ZA=ZA

AABCSAAPQ,

故选项D正确；

/.ZC=ZAQPf

/BQP+ZAQP=180。

，ZBQP+ZC=180°f

故选项B正确；

Ap

AAPQ与NABC的相似比为——，

AB

Ap1

不能确定其=彳，

故选项c错误；

故选：c.

3.C

【分析】根据正方形的性质，等边三角形三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和

性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，逐项判断即可.

【详解】解：-正方形ABCD,

：.AB=BC=CD,ZABC=NBCD=NCDA=ZADC=90°,

E8C是等边三角形，

:.BE=CE=BC,ZEBC=ZECB=ZBEC=60°,

ZABE=ZDCE=30°,AB=BE=CD=CE,

ABEWOCE(SAS),

/.AE=DE,

故结论①正确；

ZBAF=45°,

,\ZAFB=1800-ZBAF-ZABF=105°,

ZEFC=ZAFB=105°,

CD=CE,

:./EDC=/DEC,

2ZEDC=180。—NDCE=150。，

:./EFC丰2/EDC,

故结论②错误；

:./EDC=75。,

ZADE=90°-NEDC=15°,

AE=DE,

.\ZDAE=ZADE=15°,

ZAED=180。—ZDAE-ZADE=150°,

AE=BE

:.ZAEB=ZEAB,

2ZAEB=180°-ZABE=150°,

:.ZAED^2ZAEB,

故结论③正确；

在RtA4BG中，BG1AB-+AG2,

3AG2=AB2,

AG=—AB,

3

BG=—AB,

3

AD\BC,

:./\AFG^^\CFB

BF_BC

,FG-AG）

BFAB

"BG-BF-AG'

BF48

-AB-BF—AB'

33

ABBF,

2

故结论④正确；

综上所述，结论正确的是①③④，

故答案为：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的

判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关

键.

4.D

【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，证明

EFC-AEB（AAS）可判断①，连接AF,可得4尸=缶，根据垂线段最短即可判断②，证明

VDHFsvCEE可判断③，熟练运用上述性质是解题的关键.

【详解】解：•四边形ABCD为矩形，

ZC=ZB=ZD=90°,AB=DC.AD=BCf

四边形AEFG为正方形，

:.FE=EA,ZFEA=90o,

ZCFE+ZCEF=ZBEA+ZCEF=90°,

:.ZCFE=ZBEAf

CFE^BEA（AAS）,

:.CD=AB=CE=b,故①正确；

如图，连接AF,

根据垂线段最短，可得AFNAD,即缶2Q+b，当点尸与点。重合时，取等号，

-BC<AB<BC,

2

•・•点/不可能与点。重合，（否则可知。=5245=3。）

:.a+b<^/2c9故②正确；

QCF=EB=a,

:.DF=DC-CF=b-a,

由题意可知：/D=/EFG=90。,

/DHF+ZDFH=/EFC+ZDFH=90。,

QZDHF=ZEFC,

,NO=NC=90。，

:NDHF^NCFE,

DFFHb-aFH

二.——=——，即an----=——,

CEFEbc

;.HF=^b-a）,故③正确，

b

综上所述，正确的为①②③，

故选：D.

5.C

【分析】由作图过程可知，ZAOM=ZB,ABDE必OFG,可判断选项A和选项8；证明

△AOM^AABC可判断选项C；由平行线分线段成比例定理可判断选项D.

【详解】解：由作图过程可知，AAOM=AB,故A选项正确，不符合题意；

由作图过程可知，BD=BE=OF=OG,DE=FG,

；..BDE经。FG(SSS),故B选项正确，不符合题意；

*.•ZAOM=NB,

：.OM//BC,

/\AOMsAABC,

,OMAO

-AB

是AB边的中点，

AO^BO^-BC,

2

,/AB>BC,

OMAB,故C选项不正确，符合题意，

2

,/OM//BC,

,AMAOx

"CM~BO~，

：.AM=CM,D选项正确，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查作图一复杂作图、全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题.

6.A

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，完全平方公式变形公式，先证明可得

a2^bc,再用完全平方公式变形公式构建不等式判断剩下两个选项，熟练运用完全平方公式变形公式构建

不等式是解题的关键.

【详解】解：四边形Q4BC为正方形，

ZDAB=ZBCE=ZO=90°,

NODE+ZOED=NODE+/DBA,即ZDBA=Z.BEC,

:.ADBAsABEC,

DAABba

/.—=——,即an一一，

BCCEac

:上=bc,故①正确；

{b+cf-4Z?c=(Z?-c)2>0,当且仅当〃=c时，取等号，

/.(Z?+c)2-W>0,

/.(Z?+c)2>4片,

a,b,c>0,

:.b+c>2a,故②正确;

S]+S,=—ab+—cic=5。(6+<7),

b+c>2a,

2

S,+S2>a,即A+S22s3,

故③错误；

则正确结论为①②，

故选：A.

7.B

【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，相似三角形的判定和性质，等量代换，互为余角等知识点,

解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用.

利用直角三角形的判定方法，相似三角形的判定和性质，等量代换，互为余角等知识逐项判断即可.

【详解】解：：A3

ZADC=ZBDC=90°,ZA+ZACD=90°,NB+NBCD=90°,

①当NA=N3C£>时，ZBCD+ZACD=90°,

即ZACB=90°,

：.AABC是直角三角形，故①正确，符合题意；

②当4+NBCD=NADC时，无法证明VA3C是直角三角形，故②错误，不符合题意;

③当42=02时，且NADC=N3£>C=90。，

CDBD

ADCs&NCDB,

.•.NA=N3CD,同①可得AABC是直角三角形,

故③正确，符合题意；

综上，所有正确条件的序号是①③，

故选：B.

8.D

【分析】本题考查了等边三角形的判定性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质等知识；由三角形内

角和及等边三角形的性质得/班D=/EHC,由对顶角相等即可得=故①正确；证明

BDEsAGD,再利用=即可得到AD-DFuBEDG,故②正确；利用BDE^AGD,即可得

DF1AC,故③正确；当庭：8石=1：2时，由BD=2CE得BD=BE,从而得aBDE是等边三角形，贝U

BD=DE=BE,仄而BD=DF=EF=BE,即四边形砂是菱形，故④正确，最后确定答案.

【详解】解：：ABC,D£尸都是等边三角形，

ZA=ZB=ZC=ZDEF=ZEDF=60°,

：.ABED+ZHEC=ZHEC+ZEHC=120°,

ZBED=ZEHC,

,:ZAHF=NEHC,

AZBED=ZAHF,故①正确；

•・•ZA=ZB=ZEDF=60°,

・•・ABED=180°-ZB-ZBDE=120°-ZBDE=ZADG,

BDEsjGD,

---=----,即AD-DE=BE-DG；

ADDG

,/DE厂是等边三角形，

DF=DE,

，ADDF=BEDG,故②正确；

,:ED工AB,

：.ZEDB=90°；

■:BDEs八AGD,

：.ZDGA=ZEDB=90°,

即。尸1AC,故③正确；

当CE:8石=1:2时，即6£=2CE；

•;BD=2CE,

BD=BE,

I4=60。,

AABDE是等边三角形，

BD=DE=BE,

,:DE=DF=EF,

:.BD=DF=EF=BE,

・•・四边形。时是菱形，故④正确；

综上，全部正确；

故选：D.

9.4A/5

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质.利用勾股定理求得=2店,

证明△ZMES^CA。，利用相似三角形的性质求解即可.

u

【详解】解：：DEJ.AC,：.ZDEA=9Q°f

VAE=2,DE=4,

•*-AD=dAE2+DE2=也+42=26，

•・•矩形ABC。，

ZADC=90°,

VZAED=ZADC=90°,ZDAE=ZCAD,

/.ADAE^ACAD，

.CD_ADCD2A/5

••=，BJ=--------，

DEAE42

解得CD=4也,

故答案为：475.

10.6

【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，能求出43跖和求出

CD=3°是解此题的关键.设AE=2a,BE=a,则筋=3a,根据平行四边形的性质得出AB=CD=3a,

AB//CD,证出ABEFSADCF,得出比例式，代入求出即可.

【详解】解：AE:BE=2:1,

.,.设AE=2a,BE=a,贝l]AB=3a,

四边形ABCD是平行四边形，

，AB=CD=3a,AB//CD,

ZXBEFsgCF,

.BFBE

"~DF~~DC'

BE=a,CD=3a,BF=2,

.2_a

一~DF~3a"

解得：DF=6,

故答案为：6.

11.述乃加

44

【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形和相似三角形的性质是解

题的关键.根据正方形的性质得到4>〃3C,推出一/，得出8=33尸，再代入数据即可求

解.

【详解】解：正方形ABC。，

AD//BC,AD=AB=3,BD=^AB=3五,

.」ADFsEBF,

DFAD3

'BF~BE~X~，

:.DF=3BF,

DF+BF=BD,

3BF+BF=3。

解得：8/=里.

4

故答案为：巫.

4

12.生

8

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识.根

据矩形的性质可得CD=AB=5,/BCD=90。,根据勾股定理求出DE=4,证明ABEC-ACED,根据相似

9

三角形的性质求出8E=：，即可求解.

【详解】解：在矩形ABCD中，AB=5,

CD=AB=5,ZBCD=90°,即ZBCE+ZDCE=90°,

CE1BD,CE=3,

DE=y/CD2-CE2=V52-32=4，4DC+NDCE=90°，

.乙BCE=Z.EDC,

ZBEC=ZCED=90°,

，△BECdCED,

CEBEnn3BE

DECE43

9

BE=-,

4

iiQ?7

•二SvBCE=TCEgPE=5仓方,

ZZ4o

27

故答案为：—.

o

133A/5

2

【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的

关键.

根据矩形的性质以及勾股定理可得EC=3、AE=y[5,再证明△ABEsaECF,然后根据相似三角形的性

质列比例式求解即可.

【详解】解：•••四边形AB8是矩形，

ZB=ZC=90°,BC=AD=4,

：.EC=BC-BE=4-1=3,AE："+BE?=5

*：ZB=ZC=90°,

・•・ZBAE+ZAEB=90°f

AE上EF,

・•・ZAEB+/CEF=90。,

:.ZBAE=/CEF,

Z\ABEs△石CF，

AEAB即立=2解得：EC*

EFECEF3

故答案为：?.

5_

14.

2

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，关键是由平行线得出相似三角

形，由菱形的性质得出线段的长度关系.

根据菱形的性质和勾股定理可得出AE=4,根据菱形的对边平行且相等的性质，可证得△跳厂,

可得H噌,再根据g3,加5,据此即可求得.

【详解】解：•・,在菱ABCD中，AD//BC,且AP=5C=AB=5,EC=2,AELBC,

:NBEFWDAF,BE=5-2=3,AE=1AB2-BE2=4,

EFBE_3

AF~DA~5

AF=-EF=-AE=-x4=-,

3882

故答案为：—.

2

24

15.—

7

【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，正方形的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，熟练掌

握各知识点是解题的关键.先证明四边形CEDF是平行四边形，进而得出四边形CED厂是正方形；设正方

形的边长为工,利用。b〃AC,得到-CABS的，得出比例式，列出方程即可求解.

【详解】解：DE//BC,DF//AC,

••・四边形CEC于是平行四边形，

ZC=90°,

.•・四边形CEDE是矩形，

CE=DE,

.•・四边形C瓦甲是正方形,

设这个正方形的边长为工,

贝UCE=DE=DF=FC=x,

BC=8,

:.BF=BC-CF=8-x,

DF//AC,

/.CAB^FDB,

.DFBF

,AC-BC*

AC=6,BC=8,

.x_8-x

,•一.

68

24

解得：X=

・二正方形的边长为2日4.

24

，CF=——，

7

24

故答案为：—.

16.-

3

【分析】根据正方形的性质得出AB=3C,ZABP=NCBP=45。,/ABC=90。，根据全等三角形的判定和

性质得出AP=PC=M，根据等腰直角三角形的判定和性质求出BE=EP=1,根据勾股定理求出

AE=3,则AB=4,根据平行线的判定定理得出PE〃M，根据相似三角形的判定和性质即可求解.

【详解】解：：四边形ABC。是正方形，8。是四边