高等数学第六版下册第十章课后习题答案

高等数学第六版(下册)第十章课后习题答案习题10-11设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L在点(xy)处它的线密度为(xy)用对弧长的曲线积分分别表达(1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量IxIy(2)这曲线弧的重心坐标解在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds)设(xy)为小弧段ds上任一点.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为dIxy2(xy)dsdIyx2(xy)ds曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为曲线L对于x轴和y轴的静矩元素分别为dMxy(xy)dsdMyx(xy)ds曲线L的重心坐标为2利用对弧长的曲线积分的定义证明如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1和L2则证明划分L使得L1和L2的连接点永远作为一个分点则令max{si}0上式两边同时取极限即得3计算下列对弧长的曲线积分(1)其中L为圆周xacostyasint(0t2)解(2)其中L为连接(10)及(01)两点的直线段解L的方程为y1x(0x1)(3)其中L为由直线yx及抛物线yx2所围成的区域的整个边界解L1yx2(0x1)L2yx(0x1)(4)其中L为圆周x2y2=a2直线yx及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界解LL1L2L3其中L1xxy0(0xa)L2xacostyasintL3xxyx因而(5)其中为曲线xetcostyetsintzet上相应于t从0变到2的这段弧解(6)其中为折线ABCD这里A、B、C、D依次为点(000)、(002)、(102)、(132)解ABBCCD其中ABx0y0zt(0t1)BCxty0z2(0t3)CDx1ytz2(0t3)故.(7)其中L为摆线的一拱xa(tsint)ya(1cost)(0t2)解(8)其中L为曲线xa(costtsint)ya(sinttcost)(0t2)解4求半径为a中心角为2的均匀圆弧(线密度1)的重心解建立坐标系如图104所示由对称性可知又所以圆弧的重心为5设螺旋形弹簧一圈的方程为xacostyasintzkt其中012它的线密度(xyz)x2y2z2求(1)它关于z轴的转动惯量Iz(2)它的重心解(1)(2)故重心坐标为习题10-21设L为xOy面内直线xa上的一段证明证明设L是直线xa上由(ab1)到(ab2)的一段则Lxaytt从b1变到b2于是2.设L为xOy面内x轴上从点(a0)到(b0)的一段直线证明证明Lxxy0t从a变到b所以3计算下列对坐标的曲线积分(1)其中L是抛物线yx2上从点(00)到点(24)的一段弧解Lyx2x从0变到2所以(2)其中L为圆周(xa)2y2a2(a0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)解LL1L2其中L1xaacostyasintt从0变到L2xxy0x从0变到2a因此(3)其中L为圆周xRcostyRsint上对应t从0到的一段弧解(4)其中L为圆周x2y2a2(按逆时针方向绕行)解圆周的参数方程为xacostyasintt从0变到2所以(5)其中为曲线xkyacoszasin上对应从0到的一段弧解(6)其中是从点(111)到点(234)的一段直线解的参数方程为x1ty12tz13tt从0变到1(7)其中为有向闭折线ABCA这里的ABC依次为点(100)(010)(001)解ABBCCA其中ABxxy1xz0x从1变到0BCx0y1zzzz从0变到1CAxxy0z1xx从0变到1故(8)其中L是抛物线yx2上从(11)到(11)的一段弧解Lxxyx2x从1变到1故4计算其中L是(1)抛物线yx2上从点(11)到点(42)的一段弧解Lxy2yyy从1变到2故(2)从点(11)到点(42)的直线段解Lx3y2yyy从1变到2故(3)先沿直线从点(11)到(12)然后再沿直线到点(42)的折线解LL1L2其中L1x1yyy从1变到2L2xxy2x从1变到4故(4)沿曲线x2t2t1yt21上从点(11)到(42)的一段弧解Lx2t2t1yt21t从0变到1故5一力场由沿横轴正方向的常力F所构成试求当一质量为m的质点沿圆周x2y2R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时场力所作的功解已知场力为F(|F|0)曲线L的参数方程为xRcosyRsin从0变到于是场力所作的功为6设z轴与力方向一致求质量为m的质点从位置(x1y1z1)沿直线移到(x2y2z2)时重力作的功解已知F(00mg)设为从(x1y1z1)到(x2y2z2)的直线则重力所作的功为7把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分其中L为(1)在xOy面内沿直线从点(00)到(11)解L的方向余弦故(2)沿抛物线yx2从点(00)到(11)解曲线L上点(xy)处的切向量为(12x)单位切向量为故(3)沿上半圆周x2y22x从点(00)到(11)解L的方程为其上任一点的切向量为单位切向量为故8设为曲线xtyt2zt3上相应于t从0变到1的曲线弧把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分解曲线上任一点的切向量为(12t3t2)(12x3y)单位切向量为习题10-31计算下列曲线积分并验证格林公式的正确性(1)其中L是由抛物线yx2及y2x所围成的区域的正向边界曲线解LL1L2故而所以(2)其中L是四个顶点分别为(00)、(20)、(22)、和(02)的正方形区域的正向边界解LL1L2L3L4故而所以2利用曲线积分求下列曲线所围成的图形的面积(1)星形线xacos3tyasin3t解(2)椭圆9x216y2144解椭圆9x216y2144的参数方程为x4cosy3sin02故(3)圆x2y22ax解圆x2y22ax的参数方程为xaacosyasin02故3.计算曲线积分其中L为圆周(x1)2y22L的方向为逆时针方向解当x2+y20时在L内作逆时针方向的小圆周lxcosysin(02)在以L和l为边界的闭区域D上利用格林公式得即因此4证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关并计算积分值(1)解PxyQxy显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数而且故在整个xOy面内积分与路径无关取L为点(11)到(23)的直线y2x1x从1变到2则(2)解P6xy2y3Q6x2y3xy2显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数并且故积分与路径无关取路径(12)(14)(34)的折线则(3)解P2xyy43Qx24xy3显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数并且所以在整个xOy面内积分与路径无关选取路径为从(10)(12)(21)的折线则5.利用格林公式计算下列曲线积分:(1)其中L为三顶点分别为(00)、(30)和(32)的三角形正向边界解L所围区域D如图所示P2xy4Q5y3x6故由格林公式得(2)其中L为正向星形线(a0)解由格林公式(3)其中L为在抛物线2xy2上由点(00)到的一段弧解所以由格林公式其中L、OA、OB、及D如图所示故(4)其中L是在圆周上由点(00)到点(11)的一段弧解Px2yQxsin2y由格林公式有其中L、AB、BO及D如图所示故6验证下列P(xy)dxQ(xy)dy在整个xOy平面内是某一函数u(xy)的全微分并求这样的一个u(xy):(1)(x2y)dx(2xy)dy证明因为所以P(xy)dxQ(xy)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(xy)的全微分(2)2xydxx2dy解因为所以P(xy)dxQ(xy)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(xy)的全微分(3)4sinxsin3ycosxdx–3cos3ycos2xdy解因为所以P(xy)dxQ(xy)dy是某个定义在整个xOy平面内的函数u(xy)的全微分(4)解因为所以P(xy)dxQ(xy)dy是某个定义在整个xOy平面内的函数u(xy)的全微分(5)解因为所以P(xy)dxQ(xy)dy是某个函数u(xy)的全微分7设有一变力在坐标轴上的投影为Xxy2Y2xy8这变力确定了一个力场证明质点在此场内移动时场力所做的功与路径无关解场力所作的功为由于故以上曲线积分与路径无关即场力所作的功与路径无关习题1041设有一分布着质量的曲面在点(xyz)处它的面密度为(xyz)用对面积的曲面积分表达这曲面对于x轴的转动惯量解假设(xyz)在曲面上连续应用元素法在曲面上任意一点(xyz)处取包含该点的一直径很小的曲面块dS(它的面积也记做dS)则对于x轴的转动惯量元素为dIx(y2z2)(xyz)dS对于x轴的转动惯量为2按对面积的曲面积分的定义证明公式其中是由1和2组成的证明划分1为m部分S1S2Sm划分2为n部分Sm1Sm2Smn则S1SmSm1Smn为的一个划分并且令则当0时有3当是xOy面内的一个闭区域时曲面积分与二重积分有什么关系？解的方程为z0(xy)D故4计算曲面积分其中为抛物面z2(x2y2)在xOy面上方的部分f(xyz)分别如下(1)f(xyz)1解z2(x2y2)Dxyx2y22因此(2)f(xyz)x2y2解z2(x2y2)Dxyx2y22因此(3)f(xyz)3z解z2(x2y2)Dxyx2y22因此5计算其中是(1)锥面及平面z1所围成的区域的整个边界曲面解将分解为12其中1z1D1x2y21dSdxdy1D2x2y21提示(2)锥面z23(x2y2)被平面z0及z3所截得的部分解Dxyx2y23因而提示6计算下面对面积的曲面积分(1)其中为平面在第一象限中的部分解(2)其中为平面2x2yz6在第一象限中的部分解z62x2yDxy0y3x0x3(3)其中为球面x2y2z2a2上zh(0ha)的部分解Dxyx2y2a2h2(根据区域的对称性及函数的奇偶性)提示(4)其中为锥面被x2y22ax所截得的有限部分解Dxyx2y22ax提示7求抛物面壳的质量此壳的面密度为z.解Dxyx2y22故8求面密度为0的均匀半球壳x2y2z2a2(z0)对于z轴的转动惯量解Dxyx2y2a2提示习题1051按对坐标的曲面积分的定义证明公式解证明把分成n块小曲面Si(Si同时又表示第i块小曲面的面积)Si在yOz面上的投影为(Si)yz(iii)是Si上任意取定的一点是各小块曲面的直径的最大值则2当为xOy面内的一个闭区域时曲面积分与二重积分有什么关系？解因为z0(xy)Dxy故当取的是上侧时为正号取的是下侧时为负号3计算下列对坐标的曲面积分(1)其中是球面x2y2z2R2的下半部分的下侧解的方程为Dxyx2y2R于是(2)其中z是柱面x2y21被平面z0及z3所截得的第一卦限内的部分的前侧解在xOy面的投影为零故可表示为(yz)Dyz{(yz)|0y10z3}故可表示为(zx)Dzx{(zx)|0z30x1}故因此解法二前侧的法向量为n(2x2y0)单位法向量为由两种曲面积分之间的关系提示表示曲面的面积(3)其中f(xyz)为连续函数是平面xyz1在第四卦限部分的上侧解曲面可表示为z1xy(xy)Dxy{(xy)|0x10yx1}上侧的法向量为n(111)单位法向量为由两类曲面积分之间的联系可得(4)其中是平面x0y0z0xyz1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧解1234其中1x0Dyz0y10z1y2y0Dzx0z10x1z3z0Dxy0x10y1x4z1xyDxy0x10y1x于是由积分变元的轮换对称性可知因此解1234其中1、2、3是位于坐标面上的三块4z1xyDxy0x10y1x显然在1、2、3上的曲面积分均为零于是4把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分(1)为平面在第一卦限的部分的上侧解令上侧的法向量为单位法向量为于是(2)是抛物面z8(x2y2)在xOy面上方的部分的上侧解令F(xyz)zx2y28上侧的法向量n(FxFyFz)(2x2y1)单位法向量为于是习题1061利用高斯公式计算曲面积分(1)其中为平面x0y0z0xayaza所围成的立体的表面的外侧解由高斯公式原式(这里用了对称性)(2)其中为球面x2y2z2a2的外侧解由高斯公式原式(3)其中为上半球体x2y2a2的表面外侧解由高斯公式原式(4)其中界于z0和z3之间的圆柱体x2+y29的整个表面的外侧解由高斯公式原式(5)其中为平面x0y0z0x1y1z1所围成的立体的全表面的外侧解由高斯公式原式2求下列向量A穿过曲面流向指定侧的通量(1)Ayzi+xzj+xyk为圆柱xy2a2(0zh)的全表面流向外侧解PyzQxzRxy(2)A(2xz)ix2yjxz2k为立方体0xa0ya0za的全表面流向外侧解P2xzQx2yRxz2(3)A(2x3z)i(xzy)j(y22z)k是以点(312)为球心半径R3的球面流向外侧解P2x3zQ(xzy)Ry22z3求下列向量A的散度(1)A(x2yz)i(y2xz)j(z2xy)k解Px2+yzQy2xzRz2xy(2)Aexyicos(xy)jcos(xz2)k解PexyQcos(xy)Rcos(xz2)(3)Ay2zixyjxzk解Py2QxyRxz4设u(xyz)、v(xyz)是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数依次表示u(xyz)、v(xyz)沿的外法线方向的方向导数证明其中是空间闭区间的整个边界曲面这个公式叫作林第二公式证明由第一格林公式(见书中例3)知将上面两个式子相减即得5利用高斯公式推证阿基米德原理浸没在液体中所受液体的压力的合力(即浮力)的方向铅直向上大小等于这物体所排开的液体的重力证明取液面为xOy面z轴沿铅直向下设液体的密度为在物体表面上取元素dS上一点并设在点(xyz)处的外法线的方向余弦为coscoscos则dS所受液体的压力在坐标轴xyz上的分量分别为zcosdSzcosdSzcosdS所受的压力利用高斯公式进行计算得其中||为物体的体积因此在液体中的物体所受液体的压力的合力其方向铅直向上大小等于这物体所排开的液体所受的重力即阿基米德原理得证习题1071利用斯托克斯公式计算下列曲线积分(1)其中为圆周x2y2z2a2若从z轴的正向看去这圆周取逆时针方向解设为平面xyz0上所围成的部分则上侧的单位法向量为于是提示表示的面积是半径为a的圆(2)其中为椭圆x2y2a2(a>0b>0)若从x轴正向看去这椭圆取逆时针方向解设为平面上所围成的部分则上侧的单位法向量为于是提示(即)的面积元素为(3)其中为圆周x2y22zz2若从z轴的正向看去这圆周是取逆时针方向解设为平面z2上所围成的部分的上侧则(4)其中为圆周x2y2z29z0若从z轴的正向看去这圆周是取逆时针方向解设为xOy面上的圆x2y29的上侧则2求下列向量场A的旋度(1)A(2z3y)i(3xz)j+(2x)k解(2)A(siny)i(zxcosy)k解(3)Ax2sinyiy2sin(xz)jxysin(cosz)k解[xsin(cosz)xy2cos(xz)]iysin(cosz)j[y2zcos(xz)x2cosy]k3利用斯托克斯公式把曲面积分化为曲线积分并计算积分值其中A、及n分别如下(1)Ay2ixyjxzk为上半球面的上侧n是的单位法向量解设的边界x2y21z0取逆时针方向其参数方程为xcosysinz0(02由托斯公式(2)A(yz)iyzjxzk为立方体0x20y20z2的表面外侧去掉xOy面上的那个底面n是的单位法向量解4求下列向量场A沿闭曲线(从z轴正向看依逆时针方向)的环流量(1)Ayixjck(c为常量)为圆周x2y21z0解(2)A(xz)i(x3+yz)j3xy2k其中为圆周z0解有向闭曲线的参数方程为x2cosy2sinz0(02)向量场A沿闭曲线的环流量为5证明rot(ab)rotarotb解令aP1(xyz)iQ1(xyz)j+R1(xyz)kbP2(xyz)iQ2(xyz)j+R2(xyz)k由行列式的性质有6设uu(xyz)具有二阶连续偏导数求rot(gradu)解因为graduuxiuyjuzk故(uzyuyz)i(uzxuxz)j(uyxuxy)k0*7证明(1)(uv)uvvu解uvvu(2)解uvvu2uu(3)(AB)B(A)A(B)解BP2iQ2jR2k而所以(AB)B(A)A(B)(4)(A)(A)2a解令APiQjRk则从而命题地证总习题十1填空(1)第二类曲线积分化成第一类曲线积分是____________其中、、为有向曲线弧上点(xyz)处的_____________的方向角解切向量(2)第二类曲面积分化成第一类曲面积分是_______其中、、为有向曲面上点(xyz)处的________的方向角解法向量2选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论设曲面是上半球面x2y2z2R2(z0)曲面1是曲面在第一卦限中的部分则有________(A)(B)(C)(D)解(C)3计算下列曲线积分(1)其中L为圆周x2y2ax解L的参数方程为(02)故()(2)其中为曲线xtcostytsintzt(0tt0)解(3)其中L为摆线xa(tsint)ya(1cost)上对应t从0到2的一段弧解(4)其中是曲线xtyt2zt3上由听t1=0到t21的一段弧解(5)其中L为上半圆周(xa)2y2a2y0沿逆时针方向解这里Pexsiny2yQexcosy2令L1为x轴上由原点到(2a0)点的有向直线段D为L和L1所围成的区域则由格林公式(6)其中是用平面yz截球面x2y2z21所得的截痕从z轴的正向看去沿逆时针方向解曲线的一般方程为其参数方程为t从0变到2于是4计算下列曲面积分(1)其中是界于平面z0及zH之间的圆柱面x2y2R2解12其中DxyRyR0zHDxyRyR0zH于是