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文档简介
山西省侯马市中考数学真题分类(勾股定理)汇编章节测试考试时间:90分钟;命题人:教研组考生注意:1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。第I卷(选择题14分)一、单选题(7小题,每小题2分,共计14分)1、在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是(
)A.如果∠A-∠B=∠C,那么△ABC是直角三角形B.如果a2=b2-c2,那么△ABC是直角三角形,且∠C=90°C.如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2,那么△ABC是直角三角形D.如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25,那么△ABC是直角三角形2、有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在他的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了上图,如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是(
)A.1 B.2021 C.2020 D.20193、如图,在△ABC中,AD,BE分别是BC,AC边上的中线,且AD⊥BE,垂足为点F,设BC=a,AC=b,AB=c,则下列关系式中成立的是(
)A.a2+b2=5c2 B.a2+b2=4c2 C.a2+b2=3c2 D.a2+b2=2c24、在自习课上,小芳同学将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠起来,她发现D、B两点均落在了对角线AC的中点O处,且四边形AECF是菱形.若AB=3cm,则阴影部分的面积为()A.1cm2 B.2cm2 C.cm2 D.cm25、如图,中,,一同学利用直尺和圆规完成如下操作:①以点C为圆心,以CB为半径画弧,交AB于点G;分别以点G、B为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧交点K,作射线CK;②以点B为圆心,以适当的长为半径画弧,交BC于点M,交AB的延长线于N,分别以M、N为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧交于点P,作直线BP交AC的延长线于点D,交射线CK于点E.请你观察图形,根据操作结果解答下列问题;过点D作交AB的延长线于点F,若,,则CE的长为(
)A.13 B. C. D.6、△ABC的三边长a,b,c满足+(b﹣12)2+|c﹣13|=0,则△ABC的面积是(
)A.65 B.60 C.30 D.267、如图,长方形纸片ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形纸片折叠,使点D与点B重合,点C落在点H的位置,折痕为EF,则△ABE的面积为(
)A.6cm2 B.8cm2 C.10cm2 D.12cm2第Ⅱ卷(非选择题86分)二、填空题(8小题,每小题2分,共计16分)1、勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据如图(单位:km).笔直铁路经过A,B两地.(1)A,B间的距离为______km;(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A,C的距离相等,则C,D间的距离为______km.2、如图,在中,,于点D.E为线段BD上一点,连结CE,将边BC沿CE折叠,使点B的对称点落在CD的延长线上.若,,则的面积为__________.3、如图,在一次综合实践活动中,小明将一张边长为的正方形纸片,沿着边上一点与点的连线折叠,点是点的对应点,延长交于点,经测量,,则的面积为______.4、某小区两面直立的墙壁之间为安全通道,一架梯子斜靠在左墙DE时,梯子A到左墙的距离AE为0.7m,梯子顶端D到地面的是样子离DE为2.4m,若梯子底端A保持不动,将梯子斜塞在右墙BC上,梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m,则这两面直立墙壁之间的安全道的宽BE为__________m.5、学习完《勾股定理》后,尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度.同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段,但这条绳子的长度未知.如图,经测量,绳子多出的部分长度为1米,将绳子沿地面拉直,绳子底端距离旗杆底端4米,则旗杆的高度为______米.6、如图,一个高,底面周长的圆柱形水塔,现制造一个螺旋形登梯,为了减小坡度,要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端,问登梯至少为___________长.7、如图1,邻边长为2和6的矩形分割成①,②,③,④四块后,拼接成如图2不重叠、无缝隙的正方形,则图2中的值为___________,图1中的长为_______.8、如图,矩形ABCD中,AD=6,AB=8.点E为边DC上的一个动点,△AD'E与△ADE关于直线AE对称,当△CD'E为直角三角形时,DE的长为__.三、解答题(7小题,每小题10分,共计70分)1、小明爸爸给小明出了一道题:如图,修公路遇到一座山,于是要修一条隧道.已知A,B,C在同一条直线上,为了在小山的两侧B,C同时施工,过点B作一直线m(在山的旁边经过),过点C作一直线l与m相交于D点,经测量,,米,米.若施工队每天挖100米,求施工队几天能挖完?2、如图,某商家想在商场大楼上悬挂一块广告牌,广告牌高.根据商场规定广告牌最高点不得高于地面20m,经测量,测角仪支架高,在F处测得广告牌底部点B的仰角为30°,在E处测得标语牌顶部点A的仰角为45°,,请计算说明,商家这样放广告牌是否符合规定?(图中点A,B,C,D,E,F,G,H在同一平面内)3、已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,试判定△ABC的形状.4、如图,已知等腰△ABC的底边BC=10cm,D是腰AC上一点,且CD=6cm,BD=8cm.(1)判断△BCD的形状,并说明理由;(2)求△ABC的周长.5、如图,在四边形中,,,于,(1)求证:;(2)若,,求四边形的面积.6、如图,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,AB=AC.(1)求证:△ABD≌△ACE.(2)连接BC,若AD=6,CD=4,求△ABC的面积.7、已知:在中,点在直线上,点在同一条直线上,且,【问题初探】(1)如图1,若平分,求证:.请依据以下的简易思维框图,写出完整的证明过程.【变式再探】(2)如图2,若平分的外角,交的延长线于点,问:和的数量关系发生改变了吗?若改变,请写出正确的结论,并证明;若不改变,请说明理由.【拓展运用】(3)如图3,在的条件下.若,求的长度.-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形定义即可.【详解】解:A、∵∠A-∠B=∠C,∴∠A=∠B+∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=90°,∴△ABC是直角三角形,此选项正确;B、如果a2=b2-c2,∴a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形且∠B=90°,此选项不正确;C、如果∠A:∠B:∠C=1:3:2,设∠A=x,则∠B=3x,∠C=2x,则x+3x+2x=180°,解得:x=30°,则3x=90°,∴△ABC是直角三角形,此选项正确;D、如果a2:b2:c2=9:16:25,则a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,此选项正确;故选:B.【考点】本题考查了三角形内角和,勾股定理的逆定理,如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.2、B【解析】【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和,结合图形总结规律,根据规律解答即可.【详解】解:由题意得,正方形A的面积为1,由勾股定理得,正方形B的面积+正方形C的面积=1,∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,同理可得,“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,……∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021,故选:B.【考点】本题考查了勾股定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.3、A【解析】【详解】设EF=x,DF=y,根据三角形重心的性质得AF=2y,BF=2EF=2x,利用勾股定理得到4x2+4y2=c2,4x2+y2=b2,x2+4y2=a2,然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系.【解答】解:设EF=x,DF=y,∵AD,BE分别是BC,AC边上的中线,∴点F为△ABC的重心,AF=AC=b,BD=a,∴AF=2DF=2y,BF=2EF=2x,∵AD⊥BE,∴∠AFB=∠AFE=∠BFD=90°,在Rt△AFB中,4x2+4y2=c2,①在Rt△AEF中,4x2+y2=b2,②在Rt△BFD中,x2+4y2=a2,③②+③得5x2+5y2=(a2+b2),∴4x2+4y2=(a2+b2),④①﹣④得c2﹣(a2+b2)=0,即a2+b2=5c2.故选:A.【点评】本题考查了三角形的重心:重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.也考查了勾股定理.4、D【解析】【分析】由菱形的性质得到∠FCO=∠ECO,进而证明∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°,2BE=CE,利用勾股定理得出BC=,再解得菱形的面积为2,最后由阴影部分的面积=S菱形AECF解题.【详解】解:∵四边形AECF是菱形,AB=3,∴假设BE=x,则AE=3﹣x,CE=3﹣x,∵四边形AECF是菱形,∴∠FCO=∠ECO,∵∠ECO=∠ECB,∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°,2BE=CE,∴CE=2x,∴2x=3﹣x,解得:x=1,∴CE=2,利用勾股定理得出:BC2+BE2=EC2,BC=,又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2,则菱形的面积是:AE•BC=2.∴阴影部分的面积=S菱形AECF=cm2.故选:D.【考点】本题考查菱形的性质、勾股定理、含30°直角三角形的性质等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.5、D【解析】【分析】先证明CE=CD=DF,BC=BF=5,利用勾股定理求出AB,设CE=CD=DF=x,在Rt△ADF中,利用勾股定理构建方程求解即可.【详解】解:由作图知CE⊥AB,BD平分∠CBF,∴∠1=∠2=∠3,∵∠CEB+∠3=∠2+∠CDE=90°,∴∠CEB=∠CDE,∴CD=CE,在△DBC和△DBF中,,∴△BDC≌△BDF(AAS),∴CD=DF,BC=BF=5,∵∠ACB=90°,AC=12,BC=5,∴AB=,设EC=CD=DF=x,在Rt△ADF中,则有(12+x)2=x2+182,∴x=,∴CE=,故选D.【考点】本题考查作图-复杂作图,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定,以及勾股定理等知识,解题的关键是学会构建方程解决问题,属于中考常考题型.6、C【解析】【分析】首先根据非负数的性质可得a-5=0,b-12=0,c-13=0,进而可得a、b、c的值,再利用勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形,最后由直角三角形面积公式求解即可.【详解】解:∵+(b-12)2+|c-13|=0,∴a-5=0,b-12=0,c-13=0,∴a=5,b=12,c=13,∵52+122=132,∴△ABC是直角三角形,∴S△ABC==30.故选:C.【考点】此题主要考查了非负数的性质,以及勾股定理逆定理,熟练掌握如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形,利用非负数性质求出a、b、c的值是解题的关键.7、A【解析】【分析】根据折叠的条件可得:,在中,利用勾股定理就可以求解.【详解】将此长方形折叠,使点与点重合,,,根据勾股定理得:,解得:..故选:A.【考点】本题考查了利用勾股定理解直角三角形,掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键.二、填空题1、
20
13【解析】【分析】(1)由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度;(2)根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度,设CD=x,根据勾股定理即可求出x的值.【详解】(1)由A、B两点的纵坐标相同可知:AB∥x轴,∴AB=12﹣(﹣8)=20;(2)过点C作l⊥AB于点E,连接AC,作AC的垂直平分线交直线l于点D,由(1)可知:CE=1﹣(﹣17)=18,AE=12,设CD=x,∴AD=CD=x,由勾股定理可知:x2=(18﹣x)2+122,∴解得:x=13,∴CD=13.故答案为(1)20;(2)13.【考点】本题考查了勾股定理,解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度,本题属于中等题型.2、【解析】【分析】在△ABC中由等面积求出,进而得到,设BE=x,进而DE=DB-BE=,最后在中使用勾股定理求出x即可求解.【详解】解:在中由勾股定理可知:,∵,∴,∴,在中由勾股定理可知:,∴,设BE=x,由折叠可知:BE=B’E,且DE=DB-BE=,在中由勾股定理可知:,代入数据:∴,解得,∴,∴,故答案为:.【考点】本题考查了勾股定理求线段长、折叠的性质等,解题的关键是掌握折叠的性质,熟练使用勾股定理求线段长.3、##【解析】【分析】根据题意,,进而求得,勾股定理求得,即可求得的面积.【详解】解:折叠,,,,∵四边形是正方形∴中..故答案为:【考点】本题考查了折叠的性质,勾股定理,掌握勾股定理是解题的关键.4、2.7【解析】【分析】先根据勾股定理求出AD的长,同理可得出AB的长,进而可得出结论.【详解】在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,AE=0.7米,DE=2.4米,∴AD2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中,∵∠ABC=90°,BC=1.5米,AB2+BC2=AC2,∴AB2+1.52=6.25,∴AB2=4.∵AB>0,∴AB=2米.∴BE=AE+AB=0.7+2=2.7米.故答案为2.7.【考点】本题考查的是勾股定理的应用,在应用勾股定理解决实际问题时,勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法,关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.5、7.5;【解析】【分析】旗杆、拉直的绳子与地面构成直角三角形,根据题中数据,用勾股定理即可解答.【详解】解:如图,设旗杆的长度为xm,则绳子的长度为:(x+1)m,在Rt△ABC中,由勾股定理得:x2+42=(x+1)2,解得:x=7.5,∴旗杆的高度为7.5m,故答案为7.5.【考点】本题考查的是勾股定理的应用,根据题意得出直角三角形是解答此题的关键.6、20m.【解析】【分析】试题分析:要求登梯的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,借助于勾股定理.【详解】将圆柱表面按一周半开展开呈长方形,
∵圆柱高16m,底面周长8m,设螺旋形登梯长为xm,∴x2=(1×8+4)2+162=400,∴登梯至少=20m故答案为:20m【考点】本题考查圆柱形侧面展开图新问题,涉及勾股定理,掌握按要求将圆柱侧面展开图形的方法,会利用圆周,高与对角线组成直角三角形,用勾股定理解决问题是关键.7、
【解析】【分析】由等积法解得正方形的边长,再利用勾股定理解得图④的直角边FH的长,在图2中,利用正弦的定义解得,接着利用勾股定理解得,据此解得的值,最后利用解答即可.【详解】解:矩形的面积为:2×6=12正方形的边长如图1,如图2,设或(舍去)故答案为:,.【考点】本题考查正方形与矩形、图形的拼接,涉及勾股定理、正弦、余弦等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.8、3或6【解析】【分析】分两种情况分别求解,(1)当∠CED′=90°时,如图(1),根据轴对称的性质得∠AED=∠AED′=45′,得DE=AD=6;(2)当∠ED′A=90°时,如图(2),根据轴对称的性质得∠AD′E=∠D,AD′=AD,DE=D′E,得A、D′、C在同一直线上,根据勾股定理得AC=10,设DE=D′E=x,则EC=CD−DE=8−x,根据勾股定理得,D′E2+D′C2=EC2,代入相关的值,计算即可.【详解】解:当∠CED′=90°时,如图(1),∵∠CED′=90°,根据轴对称的性质得∠AED=∠AED′=×90°=45°,∵∠D=90°,∴△ADE是等腰直角三角形,∴DE=AD=6;(2)当∠ED′A=90°时,如图(2),根据轴对称的性质得∠AD′E=∠D=90°,AD′=AD,DE=D′E,△CD′E为直角三角形,即∠CD′E=90°,∴∠AD′E+∠CD′E=180°,∴A、D′、C在同一直线上,根据勾股定理得,∴CD′=10−6=4,设DE=D′E=x,则EC=CD−DE=8−x,在Rt△D′EC中,D′E2+D′C2=EC2,即x2+16=(8−x)2,解得x=3,即DE=3;综上所述:DE的长为3或6;故答案为:3或6.【考点】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质,熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用,分情况讨论,作出图形是解题关键.三、解答题1、施工队6天能挖完.【解析】【分析】根据题意可得∠BCD=90°,再利用勾股定理得出BC,继而即可求解.【详解】解:∵,∴,∵米,米,∴(米)故(天)答:施工队6天能挖完.【考点】本题考查外角的性质,勾股定理的应用,解题的关键是利用勾股定理求得∠BCD=90°.2、,不符合规定【解析】【分析】根据勾股定理即可求解.【详解】解:设且解得:商家这样放广告牌不符合规定.【考点】本题考查了勾股定理、一元一方程等内容,解决问题的关键在于理解题意,找到等量关系,列出方程.3、△ABC为直角三角形或等腰三角形【解析】【分析】首先把等式的左右两边分解因式,再考虑等式成立的条件,从而判断△ABC的形状.【详解】解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴a4-b4-a2c2+b2c2=0,∴(a4-b4)-(a2c2-b2c2)=0,∴(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0,∴(a2+b2-c2)(a2-b2)=0得:a2+b2=c2或a=b,或者a2+b2=c2且a=b,即△ABC为直角三角形或等腰三角形.4、(1)△BDC为直角三角形,理由见解析;(2)△ABC的周长为=cm.【解析】【分析】(1)由BC=10cm,CD=8cm,BD=6cm,知道BC2=BD2+CD2,所以△BDC为直角三角形;(2)由此可求出AC的长,周长即可求出.(1)解:△BDC为直角三角形,理由如下,∵BC=10cm,CD=8cm,BD=6cm,而102=62+82,∴BC2
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