《自动控制原理与应用》课件第2章2

第2章控制系统的数学模型2.1控制系统的时域数学模型——微分方程2.2拉普拉斯变换基础2.3控制系统的复数域数学模型——传递函数2.4控制系统的动态结构图2.5控制系统的重要传递函数2.6解题示范小结习题

2.1控制系统的时域数学

模型——微分方程

微分方程是在时域中描述系统(或元件)动态特性的数学模型。利用微分方程可以得到其它形式(例如传递函数、结构图等)的数学模型，因此它是数学模型的最基本形式。

下面通过几个典型的例子来学习系统微分方程的建立方法。

【例题2-1】

R-L-C电路系统如图2-1所示，ur(t)为输入电压，uc(t)为输出电压，试列出ur(t)和uc(t)之间的微分方程。图2-1

R-L-C电路系统

解

(1)该系统为电学系统，遵循电学系统的相关规律。

(2)确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。

(3)电路按集中参数考虑，且忽略输出端负载效应。根据基尔霍夫定律，可得

(4)列出中间变量的表达式:

(5)消去中间变量i，可得

(6)整理成标准型，令T1=，T2=RC，则方程化为

(2-1)

【例题2-2】弹簧-质量-阻尼机械系统如图2-2所示。

试求该系统在外力F(t)作用下，m的位移y(t)与外力F(t)的微

分方程。图2-2弹簧-质量-阻尼机械系统

解

(1)确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。

(2)设系统按线性集中参数考虑，且当无外力作用时，系统处于平衡状态。

(3)按牛顿第二定律写原始方程，即

(4)写中间变量与输出变量的关系式：

其中k为弹簧的弹性系数，f为阻尼系统的阻尼系数。

(5)将中间变量的方程式代入原始方程，消去中间变量，得，

(6)整理方程，得标准型:

令，，则方程化为

(2-2)对于一般物理系统的微分方程的建立过程，无论系统结构多么简单或多么复杂，以下步骤总是存在的。建立系统微分方程的一般步骤如下：

(1)确定系统的输入量和输出量。系统的输入量包括给定输入和扰动输入两类信号，而输出量是指被控制量。对于一个元件或一个环节而言，可以根据信号传递的先后顺序来确定输入量和输出量。

(2)按照信号传递的顺序，根据各变量所遵循的运动规律写出各环节的动态方程。即从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，写出各环节的微分方程。

(3)消去中间变量，推导出只含有输入变量和输出变量的系统微分方程。

(4)规范化、整理微分方程，将输出项归放到方程左侧，输入项归放到方程右侧，各阶导数项按阶次从高到低的顺序排列。

2.2拉普拉斯变换基础

线性连续系统的动态数学模型通常是由微分方程描述的，为了分析系统的控制过程性能，最直接的方法就是求出微分方程的解。用拉普拉斯(Laplace)变换(简称为拉氏变换)求解微分方程，可以将微积分运算转化为易于处理的代数运算，借助于拉氏变换表可以简化微分方程的求解过程；另外，利用这一数学工具可以引出自动控制理论极为重要的概念——传递函数。经典控制理论广泛应用的频率法和根轨迹法就是在传递函数的基础上建立起来的。因此，拉氏变换成为了自动控制理论的重要数学基础。2.2.1拉氏变换的概念

设函数f(t)，t为实变量，若满足：

①当t<0时，f(t)=0；

②当t≥0时，如果线性积分(s为复变量)，在s的某一域内收敛，则称其为f(t)的拉氏变换，变换后的新函数是复变量s的函数，记为F(s)或L［f(t)］，即

(2-3)

拉氏变换是一种单值变换，F(s)和f(t)之间具有一一对应的关系，通常称F(s)为f(t)的象函数，而f(t)为F(s)的原函数。2.2.2几个常用函数的拉氏变换

1.阶跃函数

阶跃函数如图2-3所示，其表达式为

则其拉氏变换为

(2-4)图2-3阶跃函数当A=1时，即为单位阶跃函数，记为u(t)，有

则

(2-5)

2.斜坡函数

斜坡函数如图2-4所示，其表达式为图2-4斜坡函数则其拉氏变换为

(2-6)

若A=1，则单位斜坡函数的拉氏变换为

(2-7)

3.抛物线函数

抛物线函数也称加速度函数，如图2-5所示，其表达式为图2-5抛物线函数则其拉氏变换为

(2-8)

当A=1/2时，为单位加速度函数。其拉氏变换为

(2-9)

4.指数函数e-at

指数函数e-at的拉氏变换为

(2-10)

5.正弦函数、余弦函数

正弦函数sinωt和余弦函数cosωt的拉氏变换分别为：

(2-11)

(2-12)

6.脉冲函数

脉冲函数又称冲击信号，其数学表达式为

式中A为常数，为冲击作用的强度。脉冲函数如图2-6所示，图中矩形的面积为A。当A=1时，即为单位脉冲函数，其数学表达式为

且。

单位脉冲函数如图2-7所示，其拉氏变换为

R(s)=L［δ(t)］=1图2-6脉冲函数图2-7单位脉冲函数实际上，把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式，通过查表,就能够知道原函数的象函数或象函数的原函数，十分方便。常用函数的拉氏变换对照表见表2-1。在分析系统性能时，实际应用中究竟采用哪一种典型输入信号，取决于系统的工作状态；同时，在所有影响系统工作的输入信号中，往往选取对系统最不利的信号作为典型输入信号。例如，温度控制系统，水位调节系统，以及工作状态突然改变的控制系统，都可以采用阶跃函数作为典型输入信号；跟踪通信卫星的天线控制系统，以及输入信号随时间逐渐变化的控制系统，采用斜坡函数是比较合适的；加速度函数可以用于宇宙飞船的控制系统；当控制系统的输入信号是瞬间的冲击信号时，可采用脉冲函数作为典型输入来分析系统的性能；当系统输入作用具有周期性的变化时，可选择正弦函数作为输入。2.2.3拉氏变换的几个重要运算定理

1.线性定理

设F1(s)=L［f1(t)］，F2(s)=L［f2(t)］，a、b均为常数，则有

L［af1(t)+bf2(t)］=aL［f1(t)］+bL［f2(t)］

=aF1(s)+bF2(s)

(2-13)

2.比例定理

设F(s)=L［f(t)］，则

L［Kf(t)］=KL［f(t)］=KF(s)

(2-14)

3.微分定理

设F(s)=L［f(t)］，则有

(2-15)

式中f(0)是当t=0时f(t)的值。

证明

当初始条件f(0)=0时，有

L［f′(t)］=sF(s)与此类似:

L［f″(t)］=s2F(s)-sf(0)-f′(0)

L［f(n)(t)］=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f′(0)-…-f(n)(0)

若具有零初始条件，即f(0)=f′(0)=…=f(n)(0)=0,则

L［f″(t)］=s2F(s)

L［f(n)(t)］=snF(s)上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n阶导数的拉氏变换等于其象函数乘以sn，这使函数的微分运算变得十分简单。

4.积分定理

设F(s)=L［f(t)］，则有:式中，f(-1)(0),f(-2)(0),…，f(-n)(0)为f(t)及各重积分在t=0的值。

若f(-1)(0)=f(-2)(0)=…=f(-n)(0)=0，则有

(2-16)

5.位移定理

位移定理分两个方面说明：一是在时间坐标中有一个位移；另一个是在复数s坐标中有一个位移。

(1)实位移定理。若F(s)=L［f(t)］,则

L［f(t-τ)］=e-τs·F(s)(2-17)

此式说明，如果时域函数f(t)平移τ，则相当于复域中的象函数乘以e-τs，利用变量置换法可以得到证明，该定理又称延迟定理。

(2)复位移定理。若F(s)=L［f(t)］，则

L［e-at·f(t)］=F(s+a)

(2-18)

此式说明，一个指数函数乘以原函数f(t)，其拉氏变换相当于象函数在复域中作位移a。

例如：则

6.终值定理

若L［f(t)］=F(s)，且t→∞和s→0时，各有极限存在，

则有

(2-19)

证明

由微分定理有对上式两边取极限:

由于当s→0时，e-st→1，因此上式左边为上式右边为

故有

7.初值定理

若L［f(t)］=F(s)，且当t→0和s→∞时，各有极限存在，则有

此定理可仿照终值定理得到证明。

8.卷积定理

若原函数x(t)和g(t)的卷积为,则它的拉氏变换为

(2-20)

证明

由于

令t-τ=σ，当σ<0时，x(t-τ)=x(σ)=0，则有

卷积定理表明，时域x(t)和g(t)卷积的拉氏变换等于复域X(s)和G(s)的乘积。2.2.4拉氏反变换

拉氏反变换定义为

(2-21)

即已知象函数F(s)，可以通过上式求出原函数f(t)。

这是复变函数积分，一般很难计算，故由F(s)求出f(t)时常用部分分式法。即首先将F(s)分解成一些简单的有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出所对应的反变换函数，即得所求的原函数f(t)。

F(s)通常是s的有理分式，其一般数学表达式为

式中an，an-1，…，a0与bm，bm-1，…，b0均为实数，m、n为正数，且n>m。

首先对F(s)的分母多项式作因式分解，得A(s)=(s-s1)(s-s2)

…(s-sn)，式中s1，s2，…，sn为A(s)＝0的根。分两种情况讨论：

1)A(s)=0无重根

将F(s)换写为n个部分分式之和的形式，即

式中ci是常数，为s=si极点处的留数。若确定了每个部分分式中的待定常数ci，则由拉氏变换表可查得F(s)的反变换为

ci可由下式求得:或

【例题2-3】求的反变换。

解

F(s)的部分展开式为

所以

【例题2-4】求的原函数。

解令分母多项式A(s)=0，可求得分母多项式方程的根为s1=-1+j1，s2=-1-j1，为共轭复根。此时所以原函数为

2)A(s)=0有重根

设s1为m重根，sm+1，sm+2，…，sn为单根，则F(s)可展开

如下式中cm+1，…，cn为单根部分分式的待定常数，可按下面计算公式求得:将求出的各待定常数代入式F(s)，求反变换，得

【例题2-5】求的原函数。

解将F(s)展开为部分分式，得式中：所以

（t≥0）2.2.5用拉氏变换求解微分方程

用拉氏变换求解微分方程的步骤为:

(1)对微分方程进行拉氏变换，将微分方程转换为以s为变量的代数方程，又称象方程。

(2)求解象方程，得到输出的象函数。

(3)对输出象函数求拉氏反变换，得到微分方程的解。

【例题2-6】设有微分方程,初始条件为。

解对上述方程两边求拉氏变换，得代入初始条件，求得

求反变换，得(t>0)

2.3控制系统的复数域数学

模型——传递函数

传递函数是在拉氏变换法求解线性定常微分方程中引申出来的复数域数学模型。传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且还可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响，因此它是经典控制理论中最基本最重要的数学模型。2.3.1传递函数的定义及特点

1.传递函数的定义

线性定常系统在输入信号x(t)、输出信号y(t)时的数学模型可用如下常系数线性微分方程来描述：

式中ai、bi为系统结构的常数。(n≥m)在零初始条件下，对上式进行拉氏变换，得

即(n≥m)对于线性定常系统，当初始条件为零时，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数，用G(s)表示，，或者Y(s)=G(s)·X(s)。

传递函数是描述线性系统的一种方法。它反映系统的内部结构特性，就好像X(s)经过G(s)的传递后变成了输出信号Y(s)，故称G(s)为传递函数。

2.传递函数的特点

(1)传递函数是将线性定常系统的微分方程作拉氏变换后得到的，因此传递函数只适用于线性定常系统。

(2)传递函数与系统微分方程一一对应，其形式完全取决于系统本身的结构和参数，与输入信号的形式无关，是系统的动态数学模型。

(3)传递函数是从实际物理系统出发用数学方法抽象出来的，但它不代表系统的物理结构，许多物理性质不同的系统可以具有相同的传递函数。

(4)传递函数中分子多项式的阶次m不会大于分母多项式的阶次n，即n≥m。这反映了一个物理系统的客观属性，任何系统都具有惯性，即任何系统的输出都不能立即完全复现输入信号，只有经过一段时间后，输出量才能达到输入量所希望的值。

(5)一个传递函数只能表示系统的一个输入量与一个输出量之间的关系。如果系统有多个输入量或多个输出量，则不可能用一个传递函数来表示系统各输入量与各输出量之间的关系(在这种情况下，可以使用传递函数矩阵的概念)。因为传递函数只是对系统的一种外部描述，故不能反映系统内部各中间变量之间的关系。2.3.2典型环节的传递函数

1.比例环节(放大环节)

微分方程：y(t)=k·x(t)，对应的传递函数为：

2.惯性环节

微分方程：

对应的传递函数为：

3.积分环节

微分方程：，对应的传递函数为：

，T为积分时间常数。

4.微分环节

微分方程：，对应的传递函数为：

。

5.振荡环节

微分方程:

,对应的传递函数为：，T为时间常数，ξ为阻尼系数。

6.纯滞后环节(又称时滞环节)

微分方程：y(t)=x(t-τ)，对应的传递函数为：

。2.4控制系统的动态结构图

在系统分析中，为了表示各个元(部)件所起的作用及相互关系，往往需要画出完整的系统原理图。工程上常把每个元件用一个方框表示，方框内标明元件的传递函数，元件之间的信号传递关系用方框之间的连接线表示。这种用标明传递函数的方框和连接线表示系统功能的方框图形叫结构图，它是在传递函数的基础上建立的，是描述元件动态特性的图示模型。由于控制系统是由许多元件组成的，当各个元件的结构图确定后，根据信号的传递关系和方向，用带箭头的线段将它们连接起来就可以得到整个控制系统的结构图。2.4.1结构图的组成与作用

1.结构图的组成

结构图由信号线、分支点、比较点和函数方框组成。

(1)信号线：如图2-8(a)所示，是带箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，信号线上标明被传递的信号。

(2)分支点：如图2-8(b)所示，它表示信号引出或测量的位置，同一分支点引出的信号，其信号和数值完全相同。

(3)比较点(又称相加点)：如图2-8(c)所示，用一个小圆圈表示两个以上的信号进行加减运算，“＋”号表示相加，“－”号表示相减。“＋”号可省略不写。

(4)函数方框(又称环节方框)：如图2-8(d)所示，它表示对信号进行的数学变换。方框中写入系统(或元件)的传递函数，显然方框的输出变量等于其输入变量与传递函数的乘积。图2-8结构图的结构要素

2.结构图的作用

(1)能够简单表达系统的组成和相互关系，方便评价每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格按照单向性原则，对于输出对输入的反作用，通过反馈支路来单独表示。

(2)对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求得整个系统的传递函数。

(3)当s=0时，结构图表示各变量之间的静特性关系，故称为静态结构图；当s≠0时，即为动态结构图。2.4.2建立系统的结构图

结构图的绘制有三个步骤：

(1)列出每个元件的原始方程(可以保留所有变量，这样在结构图中可以明显看出各元件的内部结构和变量，便于分析作用原理)，要考虑相互之间的负载效应。

(2)设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，并将每个变换后的方程，分别以一个方框的形式将因果关系表示出来，而且这些方框中的传递函数都具有典型环节的形式。

(3)将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成了完整的结构图。

【例题2-7】画出图2-9所示R-L-C电路系统的结构图。

解

(1)列出各元件的原始方程式：,,图2-9

R-L-C电路系统

(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式：

各元件或环节的方框图如图2-10所示。

(3)将这些方框图依次连接起来，便得到R-L-C电路系统的结构图，如图2-11所示。,,图2-10各元件或环节的方框图图2-11

R-L-C电路系统的结构图2.4.3结构图的等效变换及简化

1.结构图的等效变换

在控制工程实践中，常常会碰到一些包含许多反馈回路的控制工程，其结构图比较复杂。对于这种系统，为了便于分析计算，总要对其结构图在等效变换的原则下进行简化。下面介绍几种常用的等效变换原则。

1)串联环节的合并

在控制系统中，串联环节是最常见的一种结构形式，其特点是前一环节的输出量即为后一环节的输入量，如图2-12(a)所示。图2-12串联环节的合并由图2-12(a)可得:

所以，合并后的结构图如图2-12(b)所示。由此可知，两个或两个以上环节串联(相互之间无负载效应的影响)，其等效传递函数等于各个环节的传递函数之积。

2)并联环节的合并

并联环节的结构图如图2-13(a)所示。

由图2-13(a)知：

对于各环节有：

，

，图2-13并联环节的合并所以

即

合并后的结构图如图2-13(b)所示。由此可知，两个或两个以上环节并联，其等效传递函数等于各个环节的传递函数的代数和。

3)反馈连接

反馈连接的形式是两个方框反向并联，如图2-14(a)所示，相加点处作加法时为正反馈，作减法时为负反馈。

由图知：

所以

变换后的结构图如图2-14(b)所示。，，图2-14反馈连接

4)分支点移动规则

分支点移动通常有两种方法：

(1)分支点前移。法则：乘以分支点所经过的传递函数，如图2-15所示。

(2)分支点后移。法则：除以分支点所经过的传递函数，如图2-16所示。图2-15分支点前移图2-16分支点后移

5)相加点移动规则

相加点移动通常有两种方法:

(1)相加点前移。法则：除以相加点所经过的传递函数，如图2-17所示。

(2)相加点后移。法则：乘以相加点所经过的传递函数，如图2-18所示。图2-17相加点前移图2-18相加点后移

6)分支点之间、相加点之间的移动

分支点之间、相加点之间信号的移动，均不改变原有的数学关系，如图2-19所示。但须注意，分支点与相加点之间不能相互移动，因为它们不存在等效关系。图2-19分支点之间、相加点之间的移动

2.结构图的简化

利用结构图等效变换的原则，可以使包含许多反馈回路的复杂结构图通过整理和重新排列而得到简化。利用这种办法，可方便地确定系统的传递函数。

化简结构图求传递函数的步骤如下：

(1)确定系统的输入量和输出量。

(2)利用代数法则进行等效变换，把相互交叉的回环分开，整理成规范的串联、并联、反馈连接形式。

(3)将规范连接部分利用相应运算公式化简，然后进一步组合整理，形成新的规范连接，依次化简，最终化成一个方框，该方框所表示的即为待求的总传递函数。

【例题2-8】系统结构图如图2-20所示，求传递函数。

解

(1)将包含H1、H2的负反馈环的分支点后移，同时将包含H3的负反馈环的相加点前移，得到如图2-21(a)所示的结构图。

(2)将包含G2、G3，H2、，H1、的三条串联环节分别合并，得到如图2-21(b)所示的结构图。

图2-20系统结构图

(3)将负反馈支路H3、与G2G3进行反馈连接，得到如图2-21(c)所示的结构图。

(4)根据图2-21(c)所示的结构图，联系串联环节的合并和反馈连接，经过化简，可以得到传递函数为图2-21化简结构图的步骤

2.5控制系统的重要传递函数

控制系统一般有给定和干扰两种输入信号，在如图2-22所示的典型闭环系统框图中，分别为R(s)和N(s)。在该结构图中，从输入信号到输出信号之间的通道，称为前向通道；从输出信号到反馈信号之间的通道，称为反馈通道。图2-22典型闭环系统框图下面讨论控制系统中几种常用传递函数的定义和求法。

1.开环传递函数

闭环系统的开环传递函数定义为前向通道传递函数与反馈通道传递函数之积，即G1(s)G2(s)H(s)。显然，在图2-22中，如果将反馈信号B(s)在相加点处断开，则反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比，就是该系统的开环传递函数，即

2.闭环传递函数

(1)给定输入信号作用下系统的闭环传递函数。

令扰动量N(s)=0，由图2-22可得到图2-23，即N(s)=0时的系统框图。

其闭环传递函数为

此时的输出量为图2-23

N(s)=0时的系统框图

(2)扰动作用下系统的闭环传递函数。

为了研究扰动对系统的影响，令R(s)=0，则图2-23所示的系统框图变为图2-24。

在N(s)单独作用下，系统的闭环传递函数为

此时的输出量为图2-24

R(s)=0时的系统框图

(3)系统总的输出。

根据线性系统的叠加原理，系统总的输出为给定输入和扰动引起的输出的总和，所以系统总输出量为

2.6解题示范

【例题2-9】试建立如图2-25所示系统的微分方程。其中，电压ur为输入量，uc为输出量。

解根据基尔霍夫电压定律，可写出下列方程组:图2-25

RC系统原理图消去中间变量i1，i2后得到

令R1C1=T1，R2C2=T2，R1C2=T3，则得若进一步令，，则可将上式标准化，得

可见，该RC网络的动态数学模型是一个二阶常系数线性微分方程。

【例题2-10】求下列拉氏变换式的原函数。

(1)

(2)

解

(1)配方法。经拉氏反变换，有

又可写成

(2)此式含有重极点，需根据重极点计算系数的方法求解。所以有

经拉氏反变换可得

【例题2-11】若某一系统在阶跃输入作用r(t)＝1(t)时，零初始条件下的输出响应为c(t)=1-2e-2t+e-t，试求该系统的传递函数和脉冲响应。

解对c(t)进行拉氏变换:系统的传递函数为

根据传递函数的性质，可得系统的脉冲响应为

【例题2-12】已知系统的传递函数，且初始条件为c(0)=-1，c′(0)=0。试求阶跃输入作用r(t)=1(t)时，系统的输出响应c(t)。

解根据传递函数写出对应的微分方程:

对上式两边同时进行拉氏变换，可得输入为r(t)=1(t)，即，代入初始条件c(0)=-1，c′(0)=0，经整理得

经拉氏反变换，得系统的输出响应为

【例题2-13】求图2-26所示系统的传递函数。

解由图2-26可列写出方程组:图2-26系统结构图

可分别解出：

图2-26可简化成图2-27。图2-27图2-26的化简系统的开环传递函数为

图2-27可进一步简化为图2-28。

由此得系统的闭环传递函数为图2-28图2-27的化简

【例题2-14】已知系统的传递函数为

利用MATLAB7.0软件，求：(1)单位脉冲输入作用时，系统的输出响应c(t);(2)单位阶跃输入作用时，系统的输出响应c(t)。

解

(1)打开MATLAB7.0软件，在命令窗口中，输入如图2-29所示的命令，并得到结果。所以，由MATLAB命令得到C(s)/R(s)的部分分式展开式为

在单位脉冲输入作用时，即R(s)=1，可得到系统的输出响应为

(2)在单位阶跃输入作用时，即，

此时，在MATLAB7.0软件的命令窗口中，输入如图