2025秋初中数学八年级上册人教版(2024)教案设计 14.3 角的平分线 第2课时 角的平分线的判定

第2课时角的平分线的判定教师备课素材示例●类比导入(1)角的平分线的性质定理是角的平分线上的点到角两边的距离相等.(2)我们学过很多定理，比如平行线的性质定理和判定定理，它们的题设和结论是互换的，你能说出将角的平分线的性质定理的题设和结论互换得到的命题吗？(3)你觉得这个新命题正确吗？这节课我们将学习角的平分线的判定．【教学与建议】教学：通过对已知定理转化命题的题设和结论的方式，得到新命题，是探索新知识的一种重要手段．建议：类比性质定理得到判定定理，以知识为载体感受逆向思维与类比思想的重要意义．●悬念激趣某考古队为了进行研究，寻找一座古城遗址，根据史料记载，该古城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m，如图所示（比例尺为1∶200000）．根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能在图中标出古城遗址的位置吗？【教学与建议】教学：通过探秘古城遗址的方式，激发学生兴趣，体现数学知识的实际应用．建议：根据图示抽象出简单的几何图形；要确定一个点的位置，通常利用两条线（直线或弧线）的交点来确定，由“到古塔的距离是3000m”可知这个点一定在以古塔为圆心、以3000m（图上距离是1.5cm）为半径的圆（弧）上；另这个点“到两条河岸的距离相等”如何确定呢？这就是我们本节课要学习的内容．·命题角度1利用角的平分线的判定解决有关问题题目中如果要证明一条射线是角平分线，要根据该线上任意一点到角两边的距离相等来证明，也可以利用角平分线的定义来解决．【例1】如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝150°.【例2】如图，以△ABC的两边AB，AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接BE，CD交于点O，求证：OA平分∠DOE.证明：过点A分别作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N.∵△ABD，△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴DC＝BE.又∵S△DAC＝S△BAE，即eq\f(1,2)DC·AM＝eq\f(1,2)BE·AN，∴AM＝AN.又∵AM⊥OD，AN⊥OE，∴OA平分∠DOE.·命题角度2综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题(1)在实际问题中，确定位置（如建货物中转站、建集市、建水库等）的问题，常用角的平分线的性质来解决；(2)运用角平分线的性质和判定解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形中的直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点．【例3】如图，直线l，l′，l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)A.1处B．2处C．3处D．4处高效课堂教学设计1．掌握角的平分线的判定．2．学会运用角平分线的性质和判定解决几何证明、计算与实际问题．▲重点角的平分线的判定．▲难点角的平分线的性质与判定定理的灵活运用．◆活动1新课导入1．点到直线的距离，就是这一点到直线的垂线段的长度．2．角的平分线上的点到角两边的距离相等.3．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为(B)A．1B．2C．3D．4◆活动2探究新知1．教材P50练习下面部分．提出问题：(1)角的平分线的性质是什么？(2)交换性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？(3)到角两边距离相等的点一定在角的平分线上，理论依据是什么？学生完成并交流展示．2．教材P51例．提出问题：(1)点P在∠A的平分线上吗？为什么？(2)这说明三角形的三条角平分线有什么关系？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.2．三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.◆活动4例题与练习例1如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.又∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE.又∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴AD平分∠BAC.例2如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是△ABC的外角∠CAH的平分线．证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF，∴DE＝DG，∴AD平分∠EAC，即AD是△ABC的外角∠CAH的平分线．例3如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.(1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请证明你的结论；(2)求证：CD＋AB＝AD；(3)若BC＝12，AD＝13，求S梯形ABCD.解：(1)AM平分∠BAD.证明如下：过点M作ME⊥AD于点E.又∵∠C＝90°，DM平分∠ADC，∴ME＝MC.∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴ME＝MB.又∵ME⊥AD，∠B＝90°，∴AM平分∠BAD；(2)易证Rt△MCD≌Rt△MED，Rt△MBA≌Rt△MEA，∴DE＝CD，AB＝AE.又∵AD＝AE＋DE，∴CD＋AB＝AD；(3)由(2)易得CD＋AB＝AD＝13，∴S梯形ABCD＝eq\f(1,2)(CD＋AB)·BC＝eq\f(1,2)×13×12＝78.练习1．教材P51练习第1，2题．2．如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB.若∠MON＝50°，C为OA上一点且∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为(B)A．50°B．55°C．60°D．80°eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))3．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)A．点MB．点NC．点PD．点Q4．如图，B是∠CAF内一点，点D在AC上，点E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证：AB平分∠CAF.证明：过点B作BM⊥AC于点M，BN⊥AF于点N.∵△BCD与△BEF的面积相等，∴eq