浙教版八年级数学下册复习提优训练：矩形的性质与判定（解析版）

八年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（浙教版）

专题10矩形的性质与判定

【考点一】矩形的性质与判定综合考

例题：（辽宁•沈阳市第一二六中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AC、8。相交于点O,AD//BC,

ZADC^ZABC,OA=OB.

图1图2

⑴如图1,求证：四边形ABCD为矩形；

（2）如图2,P是AD边上任意一点，PE±BD,PFLAC,E、尸分别是垂足，若AD=16,AB=12,求PE+PF

的值.

【答案】⑴见解析

48

（2）PE+PF=—

【解析】

【分析】

（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由对角线相等得到四边形ABC。为矩形;

（2）由尸£、尸尸分别是AO/©和AAOP的高，利用5"如=5.8+5必8即可求解.

⑴

AD//BC

.ZAr>C+ZBCO=180°

•••ZADC^ZABC

■-ZABC+ZBCD=180°

AB//CD

四边形4BCO是平行四边形

OA=OC,OB=OD

又OA=OB

AC^BD

四边形AOCO是矩形

(2)

连接OP

:.ZBAD=90°

vAD=16,43=12

BD=ylAB2+AD2=J256+144=20

.•.BO=OD=AO=CO=IQ

SAAOD=；S矩形S=；xl2xl6=48

^AAOD=^AAOP+S^DOP

：.48=-xl0xPF+-xl0xP£

22

48

PE+PF=—

5

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

【变式训练】

1.(江西萍乡.九年级期末)如图，在口ABC"中，AELBC于点E,延长BC至点R使CF=BE,连接AP,

DE,DF.

⑴求证：四边形AMD为矩形;

⑵若AB=3,DE=4,BF=5,求DF的长.

【答案】⑴见解析

若

【解析】

【分析】

(1)根据线段的和差关系可得根据平行四边形的性质可得ADII2C,AD=BC,即可得出AD=

EF,可证明四边形AEED为平行四边形，根据AE_LBC即可得结论；

(2)根据矩形的性质可得可得△&W为直角三角形，利用“面积法〃可求出AE的长，即可得答案.

⑴

BE=CF,

BE+CE=CF+CE,BPBC=EF,

1•ABC。是平行四边形，

.〔ADIIBC,AD=BC,

：.AD=EF,

:ADWEF,

四边形AEED为平行四边形，

AE±BC,

ZAEF=90°,

四边形AEED为矩形.

(2)

四边形AEED为矩形，

AF=DE=4,DF=AE,

AB=3,DE=4,BF=5,

AB2+AF2=BFq,

△BAF为直角三角形，ZBAF=90°,

S=-ABxAF=-BFxAE,

皿22

,12

AE=f

DF=AE=—.

5

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解

题关键.

2.(广东・深圳市龙岗区百合外国语学校三模)如图，已知平行四边形ABCO中，M,N是BD上两点,且

=DN,AC=2OM.

⑴求证：四边形AMCN是矩形；

⑵若NBAO=135。，CD=2,ABrAC,求对角线MN的长.

【答案】⑴见解析

(2)MN=2

【解析】

【分析】

(1)先证四边形AMCN是平行四边形，再证MN=AC,即可得出结论;

(2)证AABC是等腰直角三角形，得AC=AB=2,即可得出结论.

⑴

证明：•.•四边形ABC。是平行四边形，

OA=OC,OB—OD,

对角线BD上的两点M、N满足BM=DN,

OB-BM=OD-DN,即OM=ON,

四边形AMCN是平行四边形，

MN=2OM,

-：AC=2OM,

MN=AC,

平行四边形AMCN是矩形；

(2)

解：由(1)得：MN=AC,

四边形ABC。是平行四边形,

：.AB=CD=2,ADWBC,

ZABC+ZBAD=180°,

•••Z540=135。，

ZABC=45。，

,/AB1.AC,

zBAC=90°,

△ABC是等腰直角三角形，

：.AC=AB=2,

MN=2

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌

握平行四边形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键.

3.(湖南•长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习)如图，在口ABCO中，对角线AC与8。相交于点O,点

E,P分别为的中点，延长AE至G,使EG=AE,连接CG.

⑴求证：AABE空△CDF；

⑵当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由.

【答案】⑴见解析

(2)AC=2AB,理由见解析

【解析】

【分析】

⑴根据SAS证明三角形全等即可；

⑵根据三角形中位线定理得EO〃GC,则四边形EGC尸是平行四边形，得再由等腰三角形的性质

得到则NOEG=90。，于是证得到结论.

⑴

证明：,•・四边形ABC。是平行四边形,

•,.AB=CD,AB//CD,OB=OD,OA=OCf

/.ZABE二NCDF,

，,点E,尸分别为。3,。。的中点，

/.BE=-OB,DF=-OD,

22

BE=DF,

在△436和aCO厂中，

AB=CD

</ABE=ZCDF

BE=DF

△ABE^△CDF(SAS).

⑵

解：当AO2A3时，可使四边形EGC尸为矩形;

理由如下：

,/△ABE*△CDF,

：.ZAEB=NCFD,

/.ZAEO=NCFO,

/.AE//CF,

/EA=EG,OA=OC,

E。是aAGC的中位线，

EO//GC,

四边形EGCT是平行四边形，

/AC=2ABfAC=2AO,

AB=AO,

.「E是08的中点，

：.AE±OBf

二ZOEG=90°,

「•平行四边形成;C厂是矩形.

【点睛】

本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知

识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质，证明AAEg△CFO是解题的关键.

4.(江苏•启东市长江中学八年级阶段练习)如图，在中，ZA5C=90°,点。是斜边AC的中点，过

点。作交于点E,过点A作AO〃BC,与20的延长线交于点。，连接。、DE.

⑴求证：四边形A3CD是矩形；

(2)若3C=3,ZSAC=30°,求QE的长.

【答案】⑴见解析

⑵⑸

【解析】

【分析】

(1)证△。4。合△OCB(AAS),得AD=BC,再证四边形ABC。是平行四边形，然后由NA2C=90。，即可得

出结论；

(2)由矩形的性质和含30。角的直角三角形的性质求出A。、AE的长，再由勾股定理即可求解.

⑴

证明：,・,点。是AC的中点，

...OA=OC，

\-ADHBC,

:.NDAO=NBCO,ZADO=NCBO,

在△Q4。与AOCS中，

ZADO=ZCBO

<ZDAO=ZBCO,

OA=OC

:.AOAD=AOCB(AAS)9

.\AD=BCf

♦：ADIIBC,

二•四边形ABC。是平行四边形，

•/ZABC=90°,

二•平行四边形A3CD是矩形；

⑵

解：••・四边形ABCD是矩形，

.\AD=BC=3f

vZABC=90°,ZBAC=30°,

:.AC=2BC=6,

/.OA=3,

\-OE.LAC,

:.ZAOE=90°,

•・・NBA。=30。，

:.OE=—OA=y/3,

3

AE=2OE=2石，

DE=y/Alf+AE2=旧+（2回=而.

【点睛】

本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、含30。角的直角三角

形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明四边形ABC。为矩形是解题的关键.

5.（广西•灵山县那隆第一中学八年级期中）如图，E,F,G,X分别是四边形ABC。各边的中点，连接EPGM

AEBAEB

⑴求证：四边形EFGH是平行四边形；

⑵请再添加一个条件，使得四边形EFG”是矩形，（写出添加的条件即可，不用写证明过程）.

【答案】⑴见解析

（2）添加条件ACLB。，能使得四边形EFG”是矩形.

【解析】

【分析】

(1)根据三角形中位线定理得到即==&),EHWBD,FG=-BD,FGWBD,进而得到EH=FG,EHWFG,

22

根据平行四边形的判定定理证明结论；

(2)由(1)知四边形EPGH是平行四边形，添加条件AC,2D,根据矩形的判定定理证明结论.

⑴

证明：如图，连接8D,

■:点E、F、G、X分别是边A3、BC、CD、ZM的中点，

EH=-BD,EHWBD,FG’BD,FGWBD,

22

EH=FG,EHWFG,

•四边形EFG"是平行四边形；

⑵

解：添加条件AC_LBD,能使得四边形EFGH是矩形,

理由如下：如图，连接AC、BD,

由(1)知四边形EFGH为平行四边形，

EFWAC,

EF工BD,

•/EHWBD,

：.EHLEF,

：.ZFEH=90°.

四边形EFG”是矩形.

D

G

【点睛】

本题考查三角形中位线定理、矩形和平行四边形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等

于第三边的一半是解题的关键.

6.(陕西•西安市曲江第一中学九年级期中)如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC、8。相交于点。，

BEWAC交DC的延长线于点E,且BD=BE.

⑴求证：四边形A3CD是矩形；

(2)若NDBC=30。，B0=6,求四边形ABED的面积.

【答案】⑴见解析

⑵四边形ABED的面积为54石.

【解析】

【分析】

(1)根据已知条件推知四边形ABEC是平行四边形，则对边相等:AC=2E,依据等量代换得到对角线AC=B£>,

则平行四边形4BCD是矩形；

(2)利用“矩形的对角线相等且相互平分"的性质、等边三角形的判定定理得到4403是等边三角形，则易

求02=42=6,所以通过勾股定理求得3c的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解.

⑴

证明：•.・四边形ABC。是平行四边形，

：.AB\\CD,

又・•・点E在。C的延长线上,

/.ABWCE,

又「BEIIAC,

.四边形ABEC是平行四边形，

AC-BE,

又BD=BE,

AC=BDf

・•・平行四边形ABC。是矩形；

(2)

解：：在矩形43CZ)中，ZDBC=30°,OA=OB,

ZABD=60°,

△AOB是等边三角形，

AB=BO=6,

30=230=2x6=12,

又「四边形A8EC是平行四边形，

CE=AB=6f

/.DE=CD+CE=12,

在RtAABC中,BC=yjBD2-CD2=寸-G=673，

，四边形ABED的面积=g(6+12)x6石=54石.

【点睛】

本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，

熟记性质是解题的关键.

7.(广东・深圳市福田区北环中学九年级阶段练习)在平行四边形ABC。中，2BAD=a,Z)E平分NADC,

交对角线AC于点G,交射线A3于点E,将线段防绕点E顺时针旋转;a得线段EP.

⑴如图1,当a=120。时，连接AP,请写出线段AP和线段AC的数量关系，并说明理由;

(2)如图2,当a=90。时，过点3作8凡LEP于点R连接AR请直接写出线段ARAB,AD之间的数量关

系;

(3)当。=120。时，连接AP,若BE=；AB,请直接写出△APE与△COG面积的比.

【答案】(1)AP=AC,理由见解析

(2)AB2+AD2=2AF--理由见解析

八、S&APE=。比S&APE—3

⑶q4取q4

UACDG"ACDG

【解析】

【分析】

(1)如图1所示，连接尸8,PC,先求出NABC=/ADC=60。，ZBEP=60°,得到NAEP=120。，然后证△BPE

是等边三角形，得到BP=BE,NEBP=ZBOE=6Q°,则NAEP=NCBP,再由OE平分NAOC,推出

NAEO=NNCDE=NAQE=30°,得至!jAE=BC,即可证明△AEP2△CBP得至UAP=CP,NAPE=NCPB,从而

证明AAPC是等边二角形，得到AP=AC；

(2)连接CP,先证四边形ABC。是矩形，得到NA£»C=NABC=NAM>=90。，AD=BC,同理证明AE=BC,

△AEF^ACBF,得至［JC尸=A/，NCFB=NAFE,然后证明NAPC=NAFE+NCPE=NCF2+NC尸E=90°,得至!J

AC=y]AF2+CF2=42AF>再由A*+BC?=AC?,则AB?+AD?=2A尸？；

(3)分点E在AB上和AB的延长线上两种情况讨论求解即可.

⑴

解：AP=AC,理由如下：

如图1所示，连接尸8,PC,

四边形ABCD是平行四边形,

..AB//CD,AD//BC,AD=BC,

,/ZBAD=a=120°9

/.NABC二NADC=60°,ZBEP=60°,

ZAEP=120°

由旋转的性质可得EAEB,

△BPE是等边三角形,

BP=BE,ZEBP=4BOE=60°,

・•.ZCBP=/EBP+NABC=120°,

zAEP=NCBP,

•/DE平分NADC,

ZADE=Z.CDE=30°,

ZAED=NZCDE=NADE=30°,

AE=AD,

AE=BC,

：.△AEP^△CBP(SAS),

/.AP=CP,ZAPE=NCPB,

ZAPC=ZAPE+ZCPE=ZCPB+NCPE=NBPE=60°,

iAPC是等边三角形，

AP=AC；

⑵

解：AB2+AD2=2AF2，理由如下：

如图2所示，连接C凡

在平行四边形ABC。中，zBAD=90°,

四边形ABCO是矩形，

/.ZADC=NABC=NBAD=90°,AD=BC,

「OF平分NADC,

：.ZADE=ZCDE=45°,

/.ZAEDF=NADE=45°,

AE=ADf

AE=BCf

•/BF±EP,

ZBFE=90°,

ZBEF=-a=45°,

2

ZBEF=ZEBF=45°,

:.BE=EF,NAEF=135。,

ZAEF=ZCBF=NEBF+Z.ABC=135°,

△AEF^△CBF(SAS),

CF=AF,ZCFB=NAFE,

：.ZAFC=NAFE+NCFE=NCFB+ZCFE=90°,

AC=\IAF2+CF2=41AF>

•••AB2+BC2=AC2,

AB1+Ab1=2AF2

图2

(3)

解：①如图3所示，当E在AB上时，过点G作GALLAD于K,作GNLCD于N,过点C作CKJ_4。于K,

过点A作AHrPE交PE延长线于H,

由(1)知，BC=AD=AE=AB-BE,当a=120。时,ZB=ZADC=60°,

ZKCD=30°f

：.CD=2KD,

CK=yjcD2-CK2=—CD

2

.BE=-AB,

2

•.AB=CD=2BE,

设BE=a。则PE二BE=AD二AE二BC=a,AB=CD=2a,CK=y/3a

DE平分NADC,GM±ADfGN工CD,

GM=GN,

q-CDGN

ZCDG=2________CD

S.=-AD-CK=—a2

LSALcLnJ22~AD

S'ADG-ADGM

2

.・S_22

••..oVC£)G——ZACD二a

由(1)可知NAEP=N840=120。,

/.ZAEW=60°,

•「ZH=90°,

ZEAH=30°f

EH=-AE=-a,

22

：AH=ylAE2-EH2=­a,

2

-S博PE=；AH.PE=*a2,

.S/XAPE_3

S^CDG4

BC

图3

②如图4,当点E在AB延长线上时，过点P作PH_LBE于

同理可证

「BE=-AB,

2

33

AD=-AB=-CD,

22

-CDGN

S'CDG2CD_2

同理可证~AD~3

S'ADG-ADGM

2

••S/^CDG~M$MCD，

3

设CD=AB4,则AE=AO=—/?,

2

同理可求出5%8=1*36.36=空从，

2228

3

・<_^3,2

,•dACDG_2Q，

•••ZBEP^-a=60°,BE=EP,

2

.・.APBE是等边三角形,

HE=BE=-BE^-b,

24

PH=yjPE2-EH2=—b,

4

SvAPE=：AE，PH=*b，

Zlo

.S”尸E_5

S^CDG4

.ALuu4%APE—3TS^APE—5

二综上所述，T--------i或^------

'△CDG,、ACDG4

图4

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，角平分线的性质与判

定，勾股定理，含30度角的额直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题

的关键.

【考点二】矩形中的折叠问题

例题：(湖北省崇阳县第一中学八年级期中)如图，在矩形ABC。中，E是3c上一动点，将及42£沿AE折

叠后得到△AFE,点尸在矩形ABC。内部，延长A尸交C。于点G,AB=3,AD=4.

图1图2图3

⑴如图1,当旦n4G=30°时,求BE的长；

(2)如图2,当点E是2C的中点时，求线段GC的长；

⑶如图3,点E在运动过程中，当AC/E的周长最小时，直接写出BE的长.

【答案】⑴石

【解析】

【分析】

(1)先确定出NBAE=30。，再利用含30。的直角三角形的性质即可得出结论；

(2)连接GE,根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC,然后利用"HL"证明AGFE和

△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证BG=CG,设GC=x,表示出AG、DG,然后在放“DG

中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；

(3)先判断出EF_LAC时，ACEF的周长最小，最后用勾股定理即可得出结论.

⑴

解：•.・四边形ABCQ是矩形，

ZBAD=90°,

ZDAG=30°,

ZBAG=60°

由折叠知，ZBA£=|zBAG=30°,

在RfABAE中，NBAE=30°,48=3,

BE=73

(2)

解：如图4,连接GE,

图4

・•.E是BC的中点，

BE=EC,

・「△A3E沿AE折叠后得到△AfK

/.BE=EF,

/.EF=EC,

在矩形A3C0中，

/.ZC=90。，

/.ZEFG=90°f

•/在Rt^GFE和RsGCE中，

[EG=EG

[EF=EC

/.RtxGFE在R於GCE(HL),

/.GF=GC；

设GC—x,则AG=3+x,0G=3-x,

在放ZkAOG中，42+(3-x)2=(3+x)2,

4

解得x=-.

⑶

解：如图1,由折叠知，ZAFE=ZB=90°,EF=BE,

：.EF+CE=BE+CE=BC=AD=4,

・・・当CB最小时，ACEP的周长最小，

CF>AC-AF,

二当点A,F,C在同一条直线上时，C尸最小，

由折叠知，AF=AB=3,

在放△ABE,AB=3,BC=AD=4,

AC=5,

CF=AC-AF=2,

在R4CE尸中，EF2+C772=C£2,

BE2+CF2=（4-BE）2,

BE^+?}=（4-BE）2,

,op3

2

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）

的关键是求出N瓦场=30。，解（2）和（3）的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题.

【变式训练】

1.（江苏•洪泽外国语中学八年级阶段练习）矩形ABCD的边长42=18的，点E在BC上，把△川£沿AE

（2）如图2,点N从点厂出发沿ED以每秒1C7”的速度向点。运动，同时点尸从点A出发沿AF以每秒2c7〃

的速度向点尸运动，运动时间为f秒（0<f<9）,过点尸作于点

①请证明在N、P运动的过程中，四边形FMWP是平行四边形；

②连接NP,当/为何值时，△MNP为直角三角形?

【答案】⑴〃尸=9。〃

⑵①见解析，②(秒或m秒

【解析】

【分析】

(1)由折叠的性质可知，ZBAE=AFAE=30",AF=AB=18cm,然后求出ND4尸=30°,贝IjOF=；

2

(2)①由题意得：FN=tcm,PA^ltcm,则PF=(18-2r)cm,由(1)得：NZM尸=30°,则

=t(cm),从而推出-V=PM,即可证明四边形FNMP是平行四边形；②分三种情况：当NMPN=90。时，

当NPMN=90。时，当NPNM=90。时，三种情况讨论求解即可得到答案.

⑴

解：由折叠的性质可知，ZBAE=AFAE^0°,AF=AB=lScm,

•••四边形ABC。是矩形，

ZD=ZBAD=90°,

ZD4尸=30°,

/.DF=—AF=9cm；

2

⑵

解：①证明：由题意得：FN=tcm,PA=2tcm,

则PF=(18-2f)cm,

■：PMA-AD,FD±AD,

：.PMWFD,ZPMA=90°,

由(1)得：ZDAF=30",

PM=^PA=t(cm),

FN=PM,

四边形FMWP是平行四边形;

cEB

图2

②分三种情况:

服当NM/W=90。时，PMLPN,如图2所示:

PM±AD,AD±CD,

：.PNWAD,PN工CD,

..NFPN=NDAF=30。,匕PNF=90°,

：.FN=；PF,

即t—g(18-2t),

Q

解得：t=—；

b、当NPMN=90。时，点N、M重合，不能构成△MA?；

c、当NPNM=90°时，如图3所示：

过P作PHLFN于H,

则四边形PHOM是矩形，NPHF=NPHD=90。,PHWADf

:.PH=DM,NHPF=NDAF=30°,

FH=^PF=(9-0cm,

・「ND=DF-FN=(9-t)cm,

「ND=ZPHF=90°,PH=MD,

「.△DMNW△HPF(SAS),

/.MN=PF=(18-20cm,NDMN=NHPF=30°,

NNMP=90°-30°=60°,

/.ZMPN=90o-60°=30°,

PM=2MN=(36-4。cm,

PM—tcm,

36-4t=t,

角星得：t=；

936

综上所述，当/为/秒或三秒时，AMN尸为直角三角形.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，全

等三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识.

2.(江苏无锡•八年级期末)如图，长方形纸片A8CD中，A8=8,BC=12,点、E、尸分别在边AO和边8C

上，连接£尸，将纸片沿E/折叠.

图⑴图(2)

⑴如图(1),若点B落在边AO的延长线上的点G处，求证：GE=GF；

⑵如图(2),若点B落在边C。的中点M处，求3厂的长.

【答案】⑴见解析

⑵也

3

【解析】

【分析】

(1)由折叠的性质及矩形的性质得出NGEP=N£FG,则可得出结论；

(2)设由勾股定理得出(12-x)2+42=N,求出x可得出答案.

⑴

证明：•••四边形ABC。是矩形,

：.AD//BC,

/.zGEF=NBFE,

.••将纸片沿跖折叠.

/.ZBFE=/EFG,

/.ZGEF=ZEFG,

GE=GF；

⑵

解：「四边形AS。。是矩形，

:.AD=BC=12,AB=CD=8,

・•.M是的中点，

CM=4,

由折叠的性质可知，BF=FM,

设BF=x,

CF2+CM2=FM1,

：.(12-x)2+42=x2,

解得x=三20，

20

..BF——.

3

【点睛】

本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质.

3.(湖南•长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末)如图，四边形ABC。中，AD//BC,

ZA=ZD=90°,点E是AD的中点，连接3E,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在四边形ABC。

内部，延长BG交DC于点R连接EF.

⑴求证：四边形ABC。是矩形；

⑵求证：GF=DF；

(3)若点AB=6,BC=8,求。尸的长.

【答案】⑴证明见解析；

(2)证明见解析；

Q

(3)DF=-

【解析】

【分析】

(1)利用平行线的性质可得NC=90。，再根据三个角是直角的四边形是矩形即可判定；

(2)根据折叠的性质和中点的定义得出EG=ED,再用乩定理证明RtAEGmR/AED尸即可;

(3)利用。歹分别表示和/C,再在MA3CF中利用勾股定理求解即可.

⑴

证明：・：AD//BC,

：.ZD+ZC=180°,

ZA=ZD=90°,

NC=ZA=NO=90。，

A四边形ABC。为矩形；

(2)

证明：二.将aABE沿BE折叠后得到△G3E,

/.△ABEM△GBE,

二NBGEZA,AE=GEf

'：ZA=Z£>=90°,

/.ZEGF=ZD=90°,

■.・点七是AD的中点，

EA=ED,

：.EG=ED,

在Rt&EGF和RtbEDF中,

jEF=EF

\EG=ED"

/.RtXEGF=RtbEDF(HL)；

..GF=DF；

（3）

解：.「四边形A3CO为矩形，AABEM△GBE,

/.ZC=90°,BG=CD=AB=6,

•/GF=DF；

..BF=BG+GF=6+DF,CF=DC—DF=6—DF,

在放△灰：尸中，根据勾股定理，

BF2=CF2+BC2,

即（6+DF）2=（6-DF）2+82,

Q

解得=（.

Q

BPDF=-.

3

【点睛】

本题考查矩形的性质和判定，全等三角形的判定定理，折叠的性质，勾股定理等.（1）掌握矩形的判定定

理是解题关键；（2）能结合重点和折叠的性质得出EG=E。是解题关键；（3）中能利用。/正确表示BCF

中，BF和CF的长度是解题关键.

4.（江苏•无锡市东林中学八年级期中）在四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=CD=10,

BC=AD=S.

Cl）尸为BC上一点，将△A2P沿直线AP翻折至△AEP的位置（点2落在点E处）.

①如图①，当点E落在边。上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即AAEP的位置，不

写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时DE=—.

②如图②，尸£与（7。相交于点RAE与CO相交于点G,且FC=FE,求BP的长.

（2）如图③，已知点。为射线BA上的一个动点，将ABC。沿CQ翻折，点8恰好落在直线。。上的点片

处，求8。的长.

E

【答案】(1)①画图见解析，6；②?；(2)4或16

【解析】

【分析】

(1)①如图1,以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CO于点E,作㈤B的角平分线交3c于点尸，则

点尸即所求，根据勾股定理求得DE的长；②由折叠的性质可知设BP=EP=x,可求得△GEa△PCF

(ASA),再勾股定理求解即可；

(2)分两种情况进行讨论，点。在线段A3上和点。在BA延长线上，分别求解即可.

【详解】

解：(1)①以点A为圆心，长为半径画弧，交CD于点E,再作NEAB的角平分线交BC于点P,连接

EP、AP,如下图：

贝ljAE=AB=10

由矩形的性质可知：ZD=90°

DE=yjAE2-AD2=6

②由折叠的性质，可设BP=EP=x,

E

D.GFC

P

AB

在△GEF和APCF中

2E=NC=90°

<EF=FC

ZGFE=ZPFC

△GEFV△PCF(ASA)

GF=FP,GE=CP=8—x

GC=EP=x

：.DG=10-x,AG=W-(8-x)=x+2

.•.在•△ADG中，82+(10-X)2=(.X+2)2

解得尤=§20，即2尸=三20

(2)①点。在线段AB上，

由翻折得ZCQB=ZCQB',BC=CB'=8

,/CDIIAB,

ZDCQ=ACQB

ZDCQ=ACQD

CD=QD=10

,/CD=10,CBf=S

/.DBr=6

QBf=QB=^

②点。在BA延长线上

由翻折得B'Q=BQ,BC=CB，=8

-：CD=10,

/.DB'=6

设==DQ=x-6,AQ=x-10

在放△AOQ中，82+(X-10)2=(X-6)2

解得x=16,即BQ=16

综上所述，3。=4或16

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，折叠变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数

构建方程求解问题，学会用分类讨论的思想思考问题.

5.(全国•八年级专题练习)在长方形纸片ABCD中，点£是边CD上的一点，将A沿AE所在的直线折

叠，使点。落在点尸处.

(1)如图1,若点月落在对角线AC上，且NBAC=54。，则ND4E的度数为°,

(2)如图2,若点P落在边BC上，且AB=Cr>=6,AD^BC=IO,求CE的长.

(3)如图3,若点£是CZ)的中点，AF的延长线交BC于点G,且A8=CD=6,AD=BC=10,求CG的长.

89

【答案】(1)18；(2)CE的长为§；(3)CG的长为伍.

【解析】

【分析】

(1)根据矩形的性质得ND4c=36。，根据折叠的性质得ND4E=18。；

(2)根据矩形性质得NB=NC=90。，BC=AD=10,CD=AB=6,根据折叠的性质得A尸=AO=10,EF

=ED,根据勾股定理得8尸=8,则CP=2,设CE=x,则所=£。=6-x,根据勾股定理得2-=(6-4，

解得：x=§，即CE的长为,

(3)连接EG,,由题意得DE=CE,由折叠的性质得：A尸=40=10,ZAFE=ZD=90°,FE=DE,则NEFG

=NC=90°,由HL得RMCEG合RtAFEG,则CG=FG,设CG=FG=y,则AG=10+»BG=10-y,在

99

及△ABG中，由勾股定理得6+(10-4=(10+4，解得y=而，即CG的长为面.

【详解】

解：(1)四边形ABCO是矩形，

ZDAB=9Q°,

zDAC=90°-z3AC=90°-54°=36°,

・J△AED沿AE所在的直线折叠，使点。落在点尸处，

ZDAE=NEAC=；NDAC=yx36°=18°,

故答案为：18；

(2)四边形ABCD是长方形,

ZB=ZC=90",BC=AD=W,CD=AB=6,

由折叠的性质得：AF=AD=10,EF=ED,

BF^ylAF2-AB2=A/102-62=8>

CF=BC-BF=10-8=2,

设CE=x,贝ij所=即=6-x,

在放ACEF中，由勾股定理得：

22+X2=(6-X)2,

4+x2=36-12x+x2

12x=32

Q

解得：X=|,

Q

即CE的长为;;

DE=CE,

由折叠的性质得：AF=AZ)=10,ZAFE=ZD=9O°,FE=DE,

/.ZEFG=ZC=9O°,

在Rt&CEG和RSFEG中，

jEG=EG

|CE=FE'

RtLCEG*Rt>FEG(HL),

CG=FG,

设CG=FG=y,则AG=AF+FG=10+y,BG=BC-CG=10-y,

在放AABG中，由勾股定理得：

36+100-201+/=100+201+V，

40y=36

9

解得：y=~，

9

即CG的长为己.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运

用这些知识点.

6.（湖南•长沙市雅礼实验中学九年级阶段练习）如图，四边形。43c为矩形，其中。为原点，A、C两点

分别在x轴和y轴上，点B的坐标是（4,6）,将矩形沿直线。E折叠，使点C落在AB边上点/处，折痕

分别交OC、BC于点E、D,且点。的坐标是4,6）.

（1）求B尸的长度；

（2）如图2,点尸在第二象限，且△PDE合&CED,求直线尸£的解析式；

（3）若点M为直线DE上一动点，在x轴上是否存在点N,使以V、N、D、尸为顶点的四边形是平行四边

4

【答案】（1）2；（2）y=--x+l;（3）存在，N（2,0）或（-3,0）

【解析】

【分析】

（1）利用折叠性质，可得=CO=g,再利用勾股定理即可求得的长度;

(2)利用折叠性质和题目条件，可得△CDE合AFDE坐PED,可以证得四边形PE阳为矩形，利用3尸长

度，可以求出产的坐标，过E作EG_LAB于G,利用勾股定理列方程，求得E点坐标，再利用中点坐标公

式求得DE的中点坐标，从而求得尸坐标，最后利用待定系数法求得直线PE解析式；

(3)利用的三边都可以为对角线，画图，分三类讨论，利用中点坐标公式，可以得到平行四边形的

对角线的两个端点横、纵坐标之和相等，来列方程组，进行求解.

【详解】

解：(1)由题可得，XCDE要△FDE,

5

贝nIJ,DF=CD=m，

B(4,6),四边形OABC为矩形，

BC=4,ZB=90°,

BD=BC~CD=一,

2

在放ZkOB/中，

BF=y/DF2-BD2=2：

(2)如图1,

由（1）得，△CDE^△FDE,

又&PDE^△CED,

：.△PDE^△CED^△FED,

.fgPFfs5

..PpDn=CE=FE,PE=CD=FE=—,

2

•四边形PEFD为平行四边形，

又NC=90°,

ZC=NP=ZF=90°,

nPEFD为矩形,

XAF=AB-BF=6-2=4,

F(4,4),

过E■作EG_LA2于G,

则四边形AOEG,EGBC为矩形，

设OE=AG=a,则，FG=4-a,EG=BC=4,CE=6-a

又EF=EC,

则42+(4-a)2=(6-a)2,

a=l,

：.E(0,1),

连接PF交OE于点M,

则M为尸死DE的中点，

D(9,6),E(0,1),

2

<5)

I-I1

，根据中点坐标公式可知，M,即加匕，J

\7

3

同理，根据中点坐标公式可得尸(-1,3)；

设直线PE的解析式为：y=kx+l,

3

代入点尸，得，--k+l=3,

4

解得，k=--,

4

二直线%的解析式为：y=--x+l；

(3)设直线OE的解析式为：y=hx+l,代入点,6),

解得，k\=2,

y=2x+\,

设M(m,2m+l),N(xN,0),

①如图2,

y

'O\NAx

1图2

当M尸为对角线，ON为另一条对角线时，

连接MB,£W交于点K,则K为朋F,DN的中点，

[无M+xF^xD+xN

1yM+力=%+班’

[,5

机+4=一+几

即2N,

2m+1+4=6+0

1

,,m——

解得，2,

、%N=2

・•.N(2,0),

②如图3,当。尸为对角线，MV为另一条对角线时,

9

m=—

解得2,

JN=2

・•.N(2,0),

③如图4,当为对角线，入犷为另一条对角线时,

3

m——

解得,2,

XN=-3

：.N(-3,0),

综上所述，N(2,0)或(-3,0).

【点睛】

本题属于一次函数与四边形的综合题目，考查了矩形的性质，一次函数的待定系数法以及平行四边形存在

性问题，解决问题的关键在于利用已知条件合理设置参数，利用平行四边形的对角线的两个端点横、纵坐

标之和相等来解决.

【考点三】矩形中的动点问题

例题：(江苏无锡■八年级期中)如图1,已知长方形ABCD,AB=CD=2,BC=AD=3,ZA—Z.B=ZC=

ZD=90°,E为CD边的中点，P为长方形ABC。边上的动点，动点P从A出发，沿着A玲8玲C玲E运动到

£点停止，设点尸经过的路程为x,及4尸£的面积为y.

(1)当x=l时，＞=；当x=5.5时，＞=；

(2)如图2,求出当点P边BC时，用x的代数式表示y；

(3)如备用图，当尸在线段BC上运动时，是否存在点P使得AAPE的周长最小？若存在，求出此时NE4D

的度数；若不存在，请说明理由.

31

【答案】(1)1.5；-；(2)当点P在BC边上时，y^--x+4(2<x<5)；(3)存在.ZB4D=45°.

【解析】

【分析】

(1)利用三角形面积求法即可得出答案；

(2)利用蜗ABCDSABPSPCESADE得出y与尤的函数关系式即可；

(3)利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置，进而利用等腰直角三角形的性质求出答案.

【详解】

解:(1)x=l时，点P在AB边上，

如图，AP=1,A£>=3,

x=5.5时，点尸在CE上

lxlx3=2

224

故答案为：15

(2)当点尸在BC边上时,

如图，BP=x-2,CP=5-x,

y=2x2-；x2x(x-2)-^-xlx(5-x)-；xlx3=-；x+4(2<x45)；

(3)存在.

作点E关于5c所在直线的对称点E,连接AE交2c于点P,此时AAPE的周长最小;

EC=CE',且

；.PE=PE,

AP+PE>AE',

AE为定值，

此时△APE的周长最小；

在汝△ADE中,:AD=DE'=3,Z0=90",

&ADE是等腰直角三角形，

ZPAD=45°.

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、三角形面积求法、等腰直角三角形的判定与性质以及最小

值等知识；本题综合性，判断出点P在那一条边上是解本题的关键.

1.(吉林・长春市第八十七中学八年级阶段练习)如图，矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,动点尸以2cm/s

的速度从点A出发沿折线A3-3C向终点C运动，动点。以2cm/s的速度从点D开始沿折线ZM-AB向终

点8运动，如果点P、。同时出发，设点P运动的时间f秒，ACPQ的面积为S.

(1)当/=秒时，点。到达点A,当1=时，点。到达点8.

(2)当/为何值时，AQAP为等腰直角三角形？

(3)表示ACPQ的面积S(可用含有/的代数式表示)，请直接写出结果.

1-----------

Cr------------/

B

3

【答案】⑴3,9；⑵当/为5s时，△。4尸为等腰直角三角形；⑶①当0给3时23-⑵+36；②当3的6

时，18；③当6〈江9时，23-36打162.

【解析】

【分析】

(1)根据时间=路程+速度即可算出点。到达点A和点B的时间；

(2)由题意得AP=2t,DQ=2t,则A2=A»Z)Q=6-2f,由等腰直角三角形的性质得出4。=4尸，得出方程，解

方程即可；

(3)①当0<?<3时，△CPQ的面积=矩形ABC。的面积-△APQ的面积-△BCP的面积-△CDQ的面积，即可

得出答案；②当3夕46时，由题意得AP=2t,AQ=2t-6,PQ=AP-AQ=6，得出△CP。的面积=：PQxBC=1x6x6=18；

③当6〈於9时，由三角形面积公式即可得出答案.

【详解】

解：(1)..・6+2=3

当f=3时，点。到达点A；

；18+2=9

・・・当仁9时，点。到达点B；

故答案为：3,9；

(2)四边形ABC。是矩形，

AD=BC=6,CD=AB=U,

由题意得：AP=2t,DQ=2t,

AQ=AD-DQ=6-2t,

■.AQAP为等腰直角三角形，

AQ=AP,

即2t=6-2t,

解得："3，

3

即当f为5s时，△Q4P为等腰直角三角形；

(3)分三种情况：

①当0</<3时，如图1所示：

由题意得：AP=2t,DQ=2t,

AQ=AD-DQ=6-2t,BP=U-2t,

CP。的面积=矩形ABC。的面积-AAP。的面积-AgCP的面积-△CO。的面积=12x6-gx2/x(6-2/)-1x

(122)x6-1xl2x2/=2r2-12f+36；

由题意得：AP=2t,AQ=2t-6,

PQ=AP-AQ=6,

...△CP。的面积=：PQ<3C=Tx6x6=18；

图3

由题意得：BP=2t-l2,AQ=2t-6,

：.CP=6-BP=18-268。=12-40=18-23

ACP。的面积=gcPxBQ=gx(18-21)2=2产-36f+162.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰直

角三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论.

2.(全国•九年级)如图，已