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文档简介
(完整版)苏教七年级下册期末解答题压轴数学重点中学题目经典一、解答题1.(1)如图1所示,△ABC中,∠ACB的角平分线CF与∠EAC的角平分线AD的反向延长线交于点F;①若∠B=90°则∠F=;②若∠B=a,求∠F的度数(用a表示);(2)如图2所示,若点G是CB延长线上任意一动点,连接AG,∠AGB与∠GAB的角平分线交于点H,随着点G的运动,∠F+∠H的值是否变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出其值.2.模型与应用.(模型)(1)如图①,已知AB∥CD,求证∠1+∠MEN+∠2=360°.(应用)(2)如图②,已知AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为.如图③,已知AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为.(3)如图④,已知AB∥CD,∠AM1M2的角平分线M1O与∠CMnMn-1的角平分线MnO交于点O,若∠M1OMn=m°.在(2)的基础上,求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n-1的度数.(用含m、n的代数式表示)3.如图1,已知AB∥CD,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC.(1)求证:∠BED=90°;(2)如图2,延长BE交CD于点H,点F为线段EH上一动点,∠EDF=α,∠ABF的角平分线与∠CDF的角平分线DG交于点G,试用含α的式子表示∠BGD的大小;(3)如图3,延长BE交CD于点H,点F为线段EH上一动点,∠EBM的角平分线与∠FDN的角平分线交于点G,探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系,请直接写出结论:.4.已知,,点为射线上一点.(1)如图1,写出、、之间的数量关系并证明;(2)如图2,当点在延长线上时,求证:;(3)如图3,平分,交于点,交于点,且:,,,求的度数.5.已知在中,,点在上,边在上,在中,边在直线上,;(1)如图1,求的度数;(2)如图2,将沿射线的方向平移,当点在上时,求度数;(3)将在直线上平移,当以为顶点的三角形是直角三角形时,直接写出度数.6.已知,如图1,射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点,∠PFD的平分线与直线AB相交于点M,射线PM交CD于点N,设∠PFM=,∠EMF=,且.(1)=____°,=______°;直线AB与CD的位置关系是_______;(2)如图2,若点G是射线MA上任意一点,且∠MGH=∠PNF,试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系,并证明你的结论:(3)若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转(如图3),分别与AB、CD相交于点M和点N,时,作∠PMB的角平分线MQ与射线FM相交于点Q,问在旋转的过程中的值变不变?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.7.已知,点、分别是、上的点,点在、之间,连接、.(1)如图1,若,求的度数.(2)在(1)的条件下,分别作和的平分线交于点,求的度数.(3)如图2,若点是下方一点,平分,平分,已知.则判断以下两个结论是否正确,并证明你认为正确的结论.①为定值;②为定值.8.如图1,直线m与直线n相交于O,点A在直线m上运动,点B在直线n上运动,AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线.(1)若∠BAO=50º,∠ABO=40º,求∠ACB的度数;(2)如图2,若∠AOB=α,BD是△AOB的外角∠OBE的角平分线,BD与AC相交于点D,点A、B在运动的过程中,∠ADB的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,试求出其度数(用含α的代数式表示);(3)如图3,若直线m与直线n相互垂直,延长AB至E,已知∠ABO、∠OBE的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线分别相交于D、F,在△BDF中,如果有一个角是另一个角的3倍,请直接写出∠BAO的度数.9.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C>∠B,AE平分∠BAC,交BC边于点E.(1)如图1,过点A作AD⊥BC于D,若已知∠C=50°,则∠EAD的度数为;(2)如图2,过点A作AD⊥BC于D,若AD恰好又平分∠EAC,求∠C的度数;(3)如图3,CF平分△ABC的外角∠BCG,交AE的延长线于点F,作FD⊥BC于D,设∠ACB=n°,试求∠DFE﹣∠AFC的值;(用含有n的代数式表示)(4)如图4,在图3的基础上分别作∠BAE和∠BCF的角平分线,交于点F1,作F1D1⊥BC于D1,设∠ACB=n°,试直接写出∠D1F1A﹣∠AF1C的值.(用含有n的代数式表示)10.如图1,在中,平分,平分.(1)若,则的度数为______;(2)若,直线经过点.①如图2,若,求的度数(用含的代数式表示);②如图3,若绕点旋转,分别交线段于点,试问在旋转过程中的度数是否会发生改变?若不变,求出的度数(用含的代数式表示),若改变,请说明理由:③如图4,继续旋转直线,与线段交于点,与的延长线交于点,请直接写出与的关系(用含的代数式表示).【参考答案】一、解答题1.(1)①45°;②∠F=a;(2)∠F+∠H的值不变,是定值180°.【分析】(1)①②依据AD平分∠CAE,CF平分∠ACB,可得∠CAD=∠CAE,∠ACF=∠ACB,依据∠CAE是△ABC解析:(1)①45°;②∠F=a;(2)∠F+∠H的值不变,是定值180°.【分析】(1)①②依据AD平分∠CAE,CF平分∠ACB,可得∠CAD=∠CAE,∠ACF=∠ACB,依据∠CAE是△ABC的外角,可得∠B=∠CAE-∠ACB,再根据∠CAD是△ACF的外角,即可得到∠F=∠CAD-∠ACF=∠CAE-∠ACB=(∠CAE-∠ACB)=∠B;(2)由(1)可得,∠F=∠ABC,根据角平分线的定义以及三角形内角和定理,即可得到∠H=90°+∠ABG,进而得到∠F+∠H=90°+∠CBG=180°.【详解】解:(1)①∵AD平分∠CAE,CF平分∠ACB,∴∠CAD=∠CAE,∠ACF=∠ACB,∵∠CAE是△ABC的外角,∴∠B=∠CAE﹣∠ACB,∵∠CAD是△ACF的外角,∴∠F=∠CAD﹣∠ACF=∠CAE﹣∠ACB=(∠CAE﹣∠ACB)=∠B=45°,故答案为45°;②∵AD平分∠CAE,CF平分∠ACB,∴∠CAD=∠CAE,∠ACF=∠ACB,∵∠CAE是△ABC的外角,∴∠B=∠CAE﹣∠ACB,∵∠CAD是△ACF的外角,∴∠F=∠CAD﹣∠ACF=∠CAE﹣∠ACB=(∠CAE﹣∠ACB)=∠B=a;(2)由(1)可得,∠F=∠ABC,∵∠AGB与∠GAB的角平分线交于点H,∴∠AGH=∠AGB,∠GAH=∠GAB,∴∠H=180°﹣(∠AGH+∠GAH)=180°﹣(∠AGB+∠GAB)=180°﹣(180°﹣∠ABG)=90°+∠ABG,∴∠F+∠H=∠ABC+90°+∠ABG=90°+∠CBG=180°,∴∠F+∠H的值不变,是定值180°.【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角性质的综合运用,熟练运用定理是解题的关键.2.(1)证明见解析;(2)900°,180°(n-1);(3)(180n-180-2m)°【详解】【模型】(1)证明:过点E作EF∥CD,∵AB∥CD,∴EF∥AB,∴∠1+∠MEF解析:(1)证明见解析;(2)900°,180°(n-1);(3)(180n-180-2m)°【详解】【模型】(1)证明:过点E作EF∥CD,∵AB∥CD,∴EF∥AB,∴∠1+∠MEF=180°,同理∠2+∠NEF=180°∴∠1+∠2+∠MEN=360°【应用】(2)分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB,利用(1)的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°;由上面的解题方法可得:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n=180°(n-1),故答案是:900°,180°(n-1);(3)过点O作SR∥AB,∵AB∥CD,∴SR∥CD,∴∠AM1O=∠M1OR同理∠CMnO=∠MnOR∴∠AM1O+∠CMnO=∠M1OR+∠MnOR,∴∠AM1O+∠CMnO=∠M1OMn=m°,∵M1O平分∠AM1M2,∴∠AM1M2=2∠AM1O,同理∠CMnMn-1=2∠CMnO,∴∠AM1M2+∠CMnMn-1=2∠AM1O+2∠CMnO=2∠M1OMn=2m°,又∵∠AM1M2+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n-1+∠CMnMn-1=180°(n-1),∴∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n-1=(180n-180-2m)°点睛:本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,解决此类题目,过拐点作平行线是解题的关键,准确识图理清图中各角度之间的关系也很重要.3.(1)见解析;(2)∠BGD=;(3)2∠BGD+∠BFD=360°.【分析】(1)根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB=(∠ABD+∠BDC),根据平行线的性质∠ABD+∠BDC=180°解析:(1)见解析;(2)∠BGD=;(3)2∠BGD+∠BFD=360°.【分析】(1)根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB=(∠ABD+∠BDC),根据平行线的性质∠ABD+∠BDC=180°,从而根据∠BED=180°﹣(∠EBD+∠EDB)即可得到答案;(2)过点G作GP∥AB,根据AB∥CD,得到GP∥AB∥CD,从而得到∠BGD=∠BGP+∠PGD=∠ABG+∠CDG,然后根据∠EBD+∠EDB=90°,∠ABD+∠BDC=180°,得到∠ABE+∠EDC=90°,即∠ABE+α+∠FDC=90°,再利用角平分线的定义求出2∠ABG+2∠CDG=90°﹣α即可得到答案;(3)过点F、G分别作FM∥AB、GM∥AB,从而得到AB∥GM∥FN∥CD,得到∠BGD=∠BGM+∠DGM=∠4+∠6,根据BG平分∠FBP,DG平分∠FDQ,∠4=∠FBP=(180°﹣∠3),∠6=∠FDQ=(180°﹣∠5),即可求解.【详解】解:(1)证明:∵BE平分∠ABD,∴∠EBD=∠ABD,∵DE平分∠BDC,∴∠EDB=∠BDC,∴∠EBD+∠EDB=(∠ABD+∠BDC),∵AB∥CD,∴∠ABD+∠BDC=180°,∴∠EBD+∠EDB=90°,∴∠BED=180°﹣(∠EBD+∠EDB)=90°.(2)解:如图2,由(1)知:∠EBD+∠EDB=90°,又∵∠ABD+∠BDC=180°,∴∠ABE+∠EDC=90°,即∠ABE+α+∠FDC=90°,∵BG平分∠ABE,DG平分∠CDF,∴∠ABE=2∠ABG,∠CDF=2∠CDG,∴2∠ABG+2∠CDG=90°﹣α,过点G作GP∥AB,∵AB∥CD,∴GP∥AB∥CD∴∠ABG=∠BGP,∠PGD=∠CDG,∴∠BGD=∠BGP+∠PGD=∠ABG+∠CDG=;(3)如图,过点F、G分别作FN∥AB、GM∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥GM∥FN∥CD,∴∠3=∠BFN,∠5=∠DFN,∠4=∠BGM,∠6=∠DGM,∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠3+∠5,∠BGD=∠BGM+∠DGM=∠4+∠6,∵BG平分∠FBP,DG平分∠FDQ,∴∠4=∠FBP=(180°﹣∠3),∠6=∠FDQ=(180°﹣∠5),∴∠BFD+∠BGD=∠3+∠5+∠4+∠6,=∠3+∠5+(180°﹣∠3)+(180°﹣∠5),=180°+(∠3+∠5),=180°+∠BFD,整理得:2∠BGD+∠BFD=360°.【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定,角平分线的性质和三角形内角和定理,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4.(1),证明见解析;(2)证明见解析;(3).【分析】(1)过E作EH∥AB,根据两直线平行,内错角相等,即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG;(2)设CD与AE交于点H解析:(1),证明见解析;(2)证明见解析;(3).【分析】(1)过E作EH∥AB,根据两直线平行,内错角相等,即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG;(2)设CD与AE交于点H,根据∠EHG是△DEH的外角,即可得出∠EHG=∠AED+∠EDG,进而得到∠EAF=∠AED+∠EDG;(3)设∠EAI=∠BAI=α,则∠CHE=∠BAE=2α,进而得出∠EDI=α+10°,∠CDI=α+5°,再根据∠CHE是△DEH的外角,可得∠CHE=∠EDH+∠DEK,即2α=α+5°+α+10°+20°,求得α=70°,即可根据三角形内角和定理,得到∠EKD的度数.【详解】解:(1)∠AED=∠EAF+∠EDG.理由:如图1,过E作EH∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EH,∴∠EAF=∠AEH,∠EDG=∠DEH,∴∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG;(2)证明:如图2,设CD与AE交于点H,∵AB∥CD,∴∠EAF=∠EHG,∵∠EHG是△DEH的外角,∴∠EHG=∠AED+∠EDG,∴∠EAF=∠AED+∠EDG;(3)∵AI平分∠BAE,∴可设∠EAI=∠BAI=α,则∠BAE=2α,如图3,∵AB∥CD,∴∠CHE=∠BAE=2α,∵∠AED=20°,∠I=30°,∠DKE=∠AKI,∴∠EDI=α+30°-20°=α+10°,又∵∠EDI:∠CDI=2:1,∴∠CDI=∠EDK=α+5°,∵∠CHE是△DEH的外角,∴∠CHE=∠EDH+∠DEK,即2α=α+5°+α+10°+20°,解得α=70°,∴∠EDK=70°+10°=80°,∴△DEK中,∠EKD=180°-80°-20°=80°.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造内错角,运用三角形外角性质进行计算求解.解题时注意:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.5.(1)60°;(2)15°;(3)30°或15°【分析】(1)利用两直线平行,同旁内角互补,得出,即可得出结论;(2)先利用三角形的内角和定理求出,即可得出结论;(3)分和两种情况求解即可得解析:(1)60°;(2)15°;(3)30°或15°【分析】(1)利用两直线平行,同旁内角互补,得出,即可得出结论;(2)先利用三角形的内角和定理求出,即可得出结论;(3)分和两种情况求解即可得出结论.【详解】解:(1),,,,,;(2)由(1)知,,,,,;(3)当时,如图3,由(1)知,,;当时,如图4,,点,重合,,,由(1)知,,,即当以、、为顶点的三角形是直角三角形时,度数为或.【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了平行线的性质,三角形的内角和定理,角的和差的计算,求出是解本题的关键.6.(1)35;35;AB∥CD;(2)∠FMN+∠GHF=180°.证明见解析;(3)的值不变,=2.【分析】(1)利用非负数的性质可知:==35,推出即可解决问题;(2)结论,只要证明即可解决解析:(1)35;35;AB∥CD;(2)∠FMN+∠GHF=180°.证明见解析;(3)的值不变,=2.【分析】(1)利用非负数的性质可知:==35,推出即可解决问题;(2)结论,只要证明即可解决问题;(3)结论:的值不变,=2.如图3中,作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R,只要证明∠R=∠,∠=2∠R即可;【详解】(1)证明:∵,∴==35,∴∠PFM=∠MFN=35°,∠EMF=35°,∴∠EMF=∠MFN,∴AB∥CD;故答案为:35;35;AB∥CD;(2)解:∠FMN+∠GHF=180°.理由:∵AB∥CD,∴∠MNF=∠PME,∵∠MGH=∠MNF,∴∠PME=∠MGH,∴GH∥PN,∴∠GHM=∠FMN,∵∠GHF+∠GHM=180°,∴∠FMN+∠GHF=180°.(3)解:的值不变,=2.理由:如图3中,作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R.∵AB∥CD,∴∠PEM1=∠PFN,∵∠PER=∠PEM1,∠PFQ=∠PFN,∴∠PER=∠PFQ,∴ER∥FQ,∴∠=∠R,设∠PER=∠REB=,,则有:,可得∠=2∠R,∴∠=2∠∴=2.【点睛】本题考查几何变换综合题、平行线的判定和性质、角平分线的定义、非负数的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造平行线解决问题,属于中考压轴题.7.(1)(2)(3)②是正确的,证明见解析【分析】(1)过点G作GE∥AB,然后利用平行线性质即可得到结果;(2)分别过G和H作GE∥AB,FH∥AB,然后利用平行线的性质得到对应的边角解析:(1)(2)(3)②是正确的,证明见解析【分析】(1)过点G作GE∥AB,然后利用平行线性质即可得到结果;(2)分别过G和H作GE∥AB,FH∥AB,然后利用平行线的性质得到对应的边角关系,进而∠MHN的具体值;(3)根据角平分线性质,设,然后利用平行线的基本性质,分别推导出和的值即可判断.【详解】(1)如图所示,过点作,∵,,∴,∴,,∴,∵,∴,∴.(2)如图所示,过点作,过点作,∵,∴,∴,,∴,∵,∴,∵平分,平分,∴,,∴,∵,∴,,∴.(3)如图所示,∵,∴,∵平分,∴,∴,∴,∵平分,∴,设,则,∴,∴,,∴②中的值为定值.故②是正确的.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,做题的关键是能够找到辅助线,构造辅助线.8.(1)135°;(2)不变,;(3)或【分析】(1)由角平分线的性质分别求解∠CAB与∠CBA的大小,再通过三角形内角和定理求值.(2)由三角形的外角定理及角平分线的性质求出∠3+∠4=∠1+解析:(1)135°;(2)不变,;(3)或【分析】(1)由角平分线的性质分别求解∠CAB与∠CBA的大小,再通过三角形内角和定理求值.(2)由三角形的外角定理及角平分线的性质求出∠3+∠4=∠1+∠2+α,∠4=∠2+∠D,再通过加减消元求出α与∠D的等量关系.(3)先通过角平分线的性质求出∠FBD为90°,再分类讨论有一个角是另一个角的3倍的情况求解.【详解】解:(1)、分别是和的角平分线,,,.(2)的大小不发生变化,理由如下:如图,平分,平分,平分,,,,是的外角,,即①,是的外角,,即②,由①②得,解得.(3)如图,平分,平分,平分,,,,,是的外角,,.①当时,,,,.②当时,,.,不符合题意.③当时,,解得,,.④当时,,,解得,,,不符合题意.综上所述,或.【点睛】本题考查三角形的内角和定理与外角定理以及角平分线的性质,解题关键是熟练掌握三角形内角和与外角定理,通过分类讨论求解.9.(1)10°;(2)∠C的度数为70°;(3)∠DFE﹣∠AFC的值为;(4)∠D1F1A﹣∠AF1C的值为.【分析】(1)根据∠EAD=∠EAC-∠DAC,求出∠EAC,∠DAC即可解决问题.解析:(1)10°;(2)∠C的度数为70°;(3)∠DFE﹣∠AFC的值为;(4)∠D1F1A﹣∠AF1C的值为.【分析】(1)根据∠EAD=∠EAC-∠DAC,求出∠EAC,∠DAC即可解决问题.(2)设∠CAD=x,则∠EAD=∠CAD=x,∠EAB=∠EAC=2x,利用三角形内角和定理构建方程求出x即可解决问题.(3)设∠CAD=x,则∠EAD=∠CAD=x,∠EAB=∠EAC=2x,用n,x表示出∠DFE,∠AFC,再结合三角形内角和定理解决问题即可.(4)设∠FAC=∠FAB=y.用n,x表示出∠D1F1A,∠AF1C,再结合三角形内角和定理解决问题即可.【详解】解:(1)∵∠B=30°,∠C=50°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°,∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠BAC=50°,∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-50°=40°,∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=50°-40°=10°.(2)设∠CAD=x,则∠EAD=∠CAD=x,∠EAB=∠EAC=2x,∵AD⊥EC,∴∠ADE=∠ADC=90°,∴∠AED+∠EAD=90°,∠C+∠DAC=90°,∴∠AED=∠C=∠B+∠EAB=30°+2x,在△ABC中,由三角形内角和定理可得:30°+30°+2x+4x=180°,解得x=20°,∴∠C=30°+40°=70°.(3)设∠FAC=∠FAB=x.则有∠AEC=∠DEF=180°-n-x,∵FD⊥BC,∴∠FDE=90°,∴∠DFA=90°-(180°-n-x)=n+x-90°,∵CF平分∠BCG,∴∠FCG=(180°-n),∵∠AFC=∠FCG-∠FAC=(180°-n)-x=90°-n-x=15°,∴∠DFE-∠AFC=n+x-105°,∵2x+30°+n=180°,∴x=75°-n,∴∠DFE-∠AFC=n-30°.(4)设∠FAC=∠FAB=y.由题意同法可得:∠D1F1A=90°-(180°-n-y)=n+y-90°,∠AF1C=180°-y-n-(180°-n)=135°-y-n,∴∠D1F1A-∠AF1C=n+y-90°-(135°-y-n)=n+3y-225°,∵2y+30°+n=180°,∴y=75°-n,∴∠D1F1A-∠AF1C=n+y-90°-(135°-x-n)=n+225°-n-225°=n.【点睛】本题考查了三角形内角和定理,角平分线的定义,三角形的外角
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