《智能传感器系统》课件第2章

第2章智能传感器系统中的经典

传感技术基础

2.1传感器系统的基本特性与技术指标2.2几种变换器工作原理2.3集成化压力传感器与加速度传感器2.4提高传感器性能的技术途径

2.1传感器系统的基本特性与技术指标

传感器系统的示意图如图2-1所示。传感器系统的基本特性是指系统输入（被测物理量）信号x(t)与其输出信号y(t)之间的关系。对传感器系统基本特性的研究主要应用于两个方面：图2-1传感器系统示意图（1）用于建立一个测量系统。这时必须已知传感器系统的基本特性并测量输出信号y(t)，通过基本特性和输出来推断导致该输出的系统的输入。这就是未知被测物理量的测量过程。

（2）用于传感器系统本身的研究、设计与建立。这时必须观测系统的输入x(t)及与其相应的输出y(t)，才能推断建立系统的特性。如果系统特性不满足要求，则应修改相应的内部参数，直到合格为止。根据输入信号x(t)是随时间变化的还是不随时间变化的，基本特性分为静态特性和动态特性。它们是系统对外呈现出的外部特性，这类特性由其自身的内部参数决定。传感器的基本特性由传感器的数学模型来表征。静态、动态模型分别表征静态、动态特性。通过基本物理定律建立的输入x与输出y的关系称为理论建模，由标定实验建立输入与输出的关系称为实验建模。2.1.1静态特性与静态技术指标

描述静态特性的静态模型表示了当输入系统的被测物理量x(t)为不随时间变化的恒定信号，即x(t)=常量时，系统的输入与输出之间呈现的关系。通常，静态特性可由如下的多项式表征的静态模型来表示：

y=s0+s1x+s2x2+…+snxn

(2-1)

式中：s0,s1,s2,…,sn为常量；y为输出量；x为输入量

静态特性还可以由对应的x与y的若干有限数值的列表和x－y坐标平面上的曲线来表示。

1.静态特性的基本参数

1)零位（零点）

当输入量为零即x=0时，传感器系统（以下简称系统）输出量y不为零，由式（2-1）可得零位值为

y0=s0 (2-2)

如图2-2所示。零位值应从测量结果中设法消除。图2-2静态特性

2）量程Y（FS）

量程又称“满度值”，它表征系统能够承受最大输入量xFS的能力。其数值是系统示值范围上、下限之差的模。

当输入量在量程范围以内时，系统正常工作并保证预定的性能。

注意，对于输出标准化的传感器系统，我们把它称为“变送器”，它有如下严格的规范值：

零位值x=0时，y0=s0=4mA；

上限值x=xFS时，yFS=20mA；

量程Y(FS)=16mA。

3）灵敏度

灵敏度表征系统对输入量变化反应的能力。其数值由系统输出量的变化量Δy与引起该变化的输入量的变化量Δx的比值S来表示： (2-3a)输入量与输出量也可以采用相对变化量形式，如

Δy／y、Δx／x，与之相对应的灵敏度也可有多种表达形式，如或 (2-3b)当静态特性为一理想直线时，直线的斜率即为灵敏度且为一常数，即S=s1。灵敏度S的数值越大，表示相同的输入变化量引起的输出变化量越大，则系统的灵敏度越高。当静态特性是一非线性特性时，灵敏度不为常数，但s1仍表示输出y随输入x变化的速度；s2表示y随x变化的加速度。实际的系统都不可能是单一输入的系统，而是多输入单输出系统，如图2-3所示。如果采用一个压力传感器系统测量气缸内工作气体的压力，但是实际工作气体压力变化ΔxP的过程必然伴随着温度的变化ΔxT，传感器系统的供电电压在测量期间也可能有变化ΔxV，这时的传感器系统至少是一个三输入（ΔxP、ΔxV、ΔxT）单输出（Δy）系统。如果每个输入量的变化都能引起输出量的变化，则该系统存在“交叉灵敏度”：(2-3c)一个存在交叉灵敏度的传感器系统，一定是一个低精度、性能不稳定的系统。经典的传感器系统没有能力从输出改变量Δy来精确推断某一个输入量的变化值，如ΔxP，因为这时可能ΔxP=0，根本没有改变，输出改变量Δy的产生可能是温度变化ΔxT或电压变化ΔxV引起的。图2-3实际的多输入单输出系统对于经典传感器系统，通常都存在着对工作环境温度、供电电压的交叉灵敏度。人们一直都在为减小交叉灵敏度而努力，如采用稳压源、恒流源供电，采用各种温度补偿措施降低温度的交叉灵敏度。智能传感器系统依靠强大的软件功能在降低交叉灵敏度方面有重大突破。智能传感器系统对经典传感器系统稳定性性能的改善应能由式（2-3c）或其相对变化量形式反映出来。

4）分辨力

分辨力又称“灵敏度阈”，它表征系统有效辨别输入量最小变化量的能力。具有A/D转换器的传感器系统，其分辨力为一个量化单位q对应的输入变化量。这就要求传感器系统设置合理的放大倍数；采取有效消除干扰、抑制噪声的措施，把噪声电平压制在半个量化单位（q/2）以下。信号电平大于q/2，即具有足够的信噪比。智能传感器系统与经典传感器相比，不仅可以通过硬件而且还可以通过强大的软件抵抗干扰、抑制噪声，因而可以获得更高的分辨力。２.静态特性的性能指标

通常，传感器的静态性能技术指标包括迟滞、重复性与线性度。

1）迟滞

迟滞亦称“滞后量”或“滞环”，它表征系统在全量程范围内，输入量由小到大（正行程）或由大到小（反行程）两个静态特性一致的程度，如图2-4所示。其值用引用误差δH形式表示：图2-4迟滞 (2-4)式中：ΔHm表示同一输入量对应正、反行程输出量的最大差值。

2)重复性

重复性表示系统输入量按同一方向作全量程、连续多次变动时，静态特性之间一致的程度，如图2-5所示。其数值用引用误差δR形式表示： (2-5)式中：ΔR表示同一输入量对应多次循环的同向行程输出量的分散程度。这种输出量之值的相互偏离反映了传感器的随机误差,故可按随机误差处理法则来确定ΔR。图2-5重复性

3)线性度

线性度又称“直线性”，它表示系统静态特性与某一规定直线（y=b+kx）一致的程度，在数值上用非线性引用误差δL形式来表示：(2-6)式中：ΔLm表示静态特性与规定拟合直线的最大拟合偏差。

(1）最小二乘法线性度拟合直线的确定。设拟合直线方程通式为

y=b+kx

（2-7）

则第j个标定点的标定值yj与拟合直线上相应值的偏差（图

2-6）为

ΔLj=(b+kxj)－yj

（2-8）

最小二乘法拟合直线的确定原则是均方差图2-6线性度为最小值。令其一阶偏导为零，即，可得两个方程，并解得两个未知量b、k的表达式如下：（2-9）

（2）理论线性度拟合直线的确定。拟合直线的起始点

为坐标原点（x=0,y=0），终止点为输入与输出的上限值（xFS,yFS）。

最小二乘法及理论线性度的拟合直线与拟合偏差如图

2-7所示。图2-7最小二乘法、理论线性度的拟合直线与拟合偏差

4）准确度的简化表示

准确度由不确定度来表示，不确定度要经过对多个分项不确定度的严密分析、评定，最后进行综合得出。国家标准未规定准确度等级指数的一些产品，常用“精度”作为一项技术指标来表征该产品的准确程度。通常精度A由线性度δL、迟滞δH与重复性δR之绝对值求和或方和根得出：或（2-10）用式（2-10）来表征准确度是不完备的，这只是一种粗略的工程简化表示，常用于传感器或含有传感器的测量系统。

要注意，当前传感器市场对传感器技术指标的称谓与标示还不规范。如将“重复性”称为“不重复性”，“线性度”称为“非线性”等。尤其是对国外产品术语的翻译很不一致。本书着重点是介绍改善传感器性能的智能化方法。改善程度用具体的指标，如线性度、温度（影响）系数的变化来说明。传感器总体性能的提高采用提高精度的说法。传感器技术始终致力于改善静态特性的非线性（减小线性度δL的数值）、减小迟滞δH、提高重复性（减小重复性δR的数值），以期获得较高的精度。

静态特性是在标准实验条件下获得的（如规定的温度范围、大气压力和温度等），如果实际测试时的现场工作条件偏离了标准实验条件，那么除了基本误差之外还将产生附加误差。温度附加误差是最主要的附加误差。

5）温度系数与温度附加误差

（1）零位温度系数α0。它表示零位值y0随温度漂移的速度，在数值上等于温度改变1℃，零位值的最大改变量Δy0m与量程Y(FS)之比的百分数（2-11）式中：Δy0m为在温度变化ΔT℃范围内，零位值的最大改变量；ΔT为传感器系统工作温度的变化范围。目前未经补偿的压阻式压力传感器的α0一般为10－3

/℃，如果量程Y(FS)=100mV，当工作温度变化ΔT=60℃时，则零位值改变Δy0m=α0·ΔT·

Y(FS)=6mV。这便是温度附加误差的绝对值。当在满量程下使用该传感器时，温度附加误差的相对值为Δy0m/Y(FS)=α0·ΔT=6%；在三分之一量程下使用时，温度附加误差的相对值将达18%。因此，为提高零位值随温度变化的稳定性，减小α0的数值是非常必要的。

（2）灵敏度温度系数αS及温度附加误差。αS表示灵敏度随温度漂移的速度，在数值上等于温度改变1℃时，灵敏度的相对改变量的百分数，即（2-12a）式中：S(T2)、S(T1)、y(T2)、y(T1)分别表示在相同输入量作用下系统在温度T2、T1之灵敏度及其相应的输出值。目前，未经补偿的压阻式压力传感器的αS一般为－（1×10－3~5×10－4/℃）。因此温度变化ΔT=T2－T1=60℃时，引起的温度附加误差的相对值为(6~3)%。可见，提高灵敏度相对温度的稳定性，即减小αS的数值也是非常必要的。在实际中，一个传感器的灵敏度温度系数通常也采用下式来决定：（2-12b）式中：ΔT=T2－T1为温度变化范围；Y(FS)为量程；Δym为当温度变化ΔT时，在全量程范围中某一输入量对应输出值随温度漂移的最大值，这个最大温度漂移值可能发生在满量程，也可能发生在其他输入时的工作点。传统的传感器技术为改善传感器的温度稳定性进行了

大量的工作，采用了多种补偿措施，经过补偿后，α0、αS均可减小一个数量级，但比较费时费力。智能传感器系统采用软件补偿技术及数据融合技术，其提高温度稳定性的效果显著。2.1.2动态特性与动态技术指标

大量被测物理量是随时间变化的动态信号，即x(t)是时间t的函数，不是常量。系统的动态特性反映测量动态信号的能力。理想的传感器系统，其输出量y(t)与输入量x(t)的时间函数表达式应该相同。但实际上，二者只能在一定频率范围内、在允许的动态误差条件下保持所谓的一致。本节将讨论系统动态特性、信号频率范围与动态误差的相互关系。动态特性用动态模型来描述，对于连续时间系统主要有三种形式：时域中的微分方程、复频域中的传递函数H(s)、频率域中的频率特性H(jω)。系统的动态特性由系统本身的固有属性决定。通常传感器产品给出的动态技术指标有时间常数τ（一阶系统）、无阻尼固有角频率ω0（二阶系统）以表征传感器的动态性能。

1.微分方程

常见传感器系统是一阶或二阶系统，任何高阶系统也都可以看做一、二阶系统的合成。

1）一阶系统

以热电偶测温元件为例，如图2-8所示，当热电偶结点温度To低于被测介质温度Ti时，Ti<To，则有热流q流入热电偶结点。它与Ti和To的关系可表示如下：式中：R为介质的热阻；C为热偶的比热。图2-8热电偶测温元件若令τ=RC，上式可写为（2-13）式中：τ=RC为时间常数，具有时间量纲；K为放大倍数，本式中K=1。上式为一阶微分方程，Ti、To分别是系统的输入、输出量。不仅是热电偶，其它类型的传感器系统也可能具有一阶微分方程形式所表征的动态特性。广义一阶微分方

程为（2-14）式中：y为系统的输出量；

x为系统的输入量；K为放大倍数；τ为时间常数。时间常数是一阶系统动态特性的特征参数，由系统的固有属性决定。

2）二阶系统

以质量-弹簧-阻尼力学系统为例，如图2-9所示。这种系统可以是压力传感器的弹性敏感元件的等效结构。等效质量块m在受到作用力F后产生位移y和运动速度dy/dt，在运动过程中，质量块m所受的力有：

作用力 F

弹性反作用力F(弹)=－ky

阻尼力

图2-9质量-弹簧-阻尼力学系统直到位移量y足够大，大到使弹性反作用力与作用力相等，即F(弹)=F时，达到平衡，质量块不再运动，F(阻)=0。在未达到平衡状态的运动过程中，运动规律服从牛顿运动定律，其运动加速度由所受的合力决定:即整理后得（2-15）式中：m为运动部分的等效质量；k为弹簧刚度系数；b为阻尼系数。式（2-15）为二阶微分方程。可见，质量-弹簧-阻尼力学结构的动态特性由二阶微分方程描述。二阶微分方程可写成如下的标准形式：（2-16）式中：ωn为系统无阻尼固有角频率（弧度/秒）；ζ为阻尼比；K为直流放大倍数。

ωn、ζ、K均是由系统本身固有属性决定的常数，分别表示如下：，，ωn、ζ是二阶系统动态特性的特征参数。

2.传递函数

系统的输入与输出关系如图2-10所示。图2-10系统的输入与输出(a)时域；(b)复频域；(c)频域在初始值为零即t≤0时，x(t)=0，y(t)=0，输出信号y(t)的拉普拉斯（拉氏）变换Y(s)与输入信号x(t)的拉氏变换X(s)之比为系统的传递函数，记为H(s)，（2-17）其中：

s=jω+σ是复数。

1)一阶系统的传递函数

仍以热电偶为例。对式（2-14）两边求拉氏变换，根据x(t)、y(t)以及它们各阶时间导数在t=0时的初始值均为零，可得

τsY(s)+Y(s)=KX(s)

于是一阶系统的传递函数为（2-18）

2)二阶系统的传递函数

对式（2-16）两边取拉氏变换，在零初始条件下可得于是二阶系统的传递函数为（当K=1时）（2-19）

3.频率特性

在初始条件为零的情况下，输出信号y(t)的傅里叶（傅氏）变换Y(jω)与输入信号x(t)的傅氏变换X(jω)之比为系统的频率特性，记为H(jω)或H(ω)，（2-20）下面比较拉普拉斯变换与傅里叶变换的形式。拉普拉斯变换：傅里叶变换：可见，频率特性是实部σ=0时的传递函数。我们可以令s=jω，直接由传递函数写出频率特性：

一阶系统的频率特性：（2-21）二阶系统的频率特性：（2-22）输出和输入的傅里叶变换Y(ω)、X(ω)以及频率特性H(ω)都是频率ω的函数，一般都是复数，故可用指数来

表示：

H(ω)=A(ω)ejj(ω)

（2-23）（2-24）

j(ω)=arctanH(ω) （2-25）式中：A(ω)为频率特性H(ω)的模|H(ω)|；j(ω)为频率特性H(ω)的幅角。以ω为横轴，A(ω)为纵轴的A(ω)-ω曲线称为幅频特性曲线；若以模的分贝数L=20lgA(ω)为纵轴，则L-ω曲线称为对数幅频特性曲线，或叫波德图。以ω为横轴，j(ω)为纵轴的j(ω)-ω曲线称为相频特性曲线。

1)一阶系统的幅频与相频特性表达式

一阶系统幅频特性：（2-26）一阶系统对数幅频特性：（2-27）一阶系统相频特性：

j(ω)=－arctanwt

（2-28）

2)二阶系统的幅频与相频特性表达式

二阶系统幅频特性：（2-29）二阶系统对数幅频特性：（2-30）二阶系统相频特性：（2-31）图2-11(a)、(b)、(c)和图2-12(a)、(b)、(c)分别表示一阶和二阶系统的幅频特性、对数幅频和相频特性。我们可以清楚看到:一阶系统的特征参数是时间常数τ，二阶系统的特征参数是固有角频率ωn与阻尼比ζ。直流放大倍数K不影响频率特性的形状。图2-11一阶系统（K=1）(a)A(ω)-ω;(b)L(ω)-ω;(c)j(ω)-ω图2-12二阶系统（K=1）(a)A(ω)-ω;(b)L(ω)-ω;(c)j(ω)-ω

4.动态误差

在直流放大倍数K=1的情况下，系统进行信号的测量和传递时，其输出正弦信号y(t)=y0sin(ωt+j)的幅值y0，与输入正弦信号x(t)=x0sin(ωt)的幅值x0之比值y0/x0应该不随频率变化，保持恒定，否则就存在动态幅值误差γ。其定义式为（2-32）式中：|H(0)|表示ω=0时幅频特性的模，也即直流放大倍数。将式（2-26）、式（2-29）分别代入式（2-32），可得一阶、二阶系统动态幅值误差表达式为

一阶系统：（2-33）二阶系统：（2-34）式（2-33）和式（2-34）建立了特征参数τ或ωn、ζ表征的系统动态特性与信号频率w以及动态幅值误差γ的关系。由式（2-33）知，信号频率ω越高，其动态幅值误差越大，当w=wt=1/t（转折频率）时，γ=－29.3%。为了保证一定幅值误差γ及相位差j的要求，一阶系统的转折

频率wt=1/t要足够大，时间常数τ要足够小。由热偶时间常数τ=RC可知,热电偶结点体积减小则比热C的数值可以减小，从而可使时间常数τ的值减小。同样道理，二阶系统的固有角频率ωn要足够大。由

可知，当等效质量块的质量m减小时，该质量-弹簧-阻尼机械系统的固有角频率ωn将会提高。采用微机械加工技术实现微米级尺寸后，将大幅度改善系统的动态性能，使ωn大大增加。例如，传统的应变计式压力传感器的固有频率fn(ωn/2π)只有几十kHz，而集成化的压阻式压力传感器的固有频率可达1MHz以上。2.2几种变换器工作原理

经典结构型传感器由两部分构成：第一部分是可以等效为质量-弹簧-阻尼机械系统的弹性敏感元件，它的作用是将被测信号Δx(t)转换为中间变量，如应力σ、应变ε；第二部分是变换器，它的作用是将中间变量转换为有用输出信号Δy(t)，如电参量的变化。结构型传感器的组成如图2-13所示。这样，把输出为ΔR——电阻变化的变换器称为电阻型变换器；把输出为ΔC——电容变化的变换器称为电容变换器；把输出为Δf——固有振动频率变化的变换器称为谐振式变换器。配以不同的质量-弹簧-阻尼机械力学系统就可构成对压力、力、振动等不同参量测量的传感器。图2-13结构型传感器的组成本节将介绍几种易于采用集成电路工艺、硅微机械工艺制作的变换器，包括由基于半导体压阻效应的电阻式变换器构成的压阻式压力（差）及加速度传感器、由基于电容效应的电容变换器构成的电容式压力（差）及加速度传感器、由基于固有频率变换效应的谐振式变换器构成的谐振式压力（差）传感器。2.2.1基于压阻效应的电阻变换器

1.压阻效应

压阻效应是指半导体材料受到应力σ作用时，其电阻率发生明显变化的现象。电阻率的相对变化dρ/ρ与应力σ成正比：

（2-35）式中：πE表示材料的压阻系数(硅约为(40~80)×10－11m2/N)。一根圆柱形电阻丝，若长为l、半径为r、截面积S=πr2、电阻率为ρ，则其电阻值R为（2-36）当该电阻丝受到拉力F作用时，长度增加dl、半径缩小dr、电阻率增大dρ，引起的电阻值变化dR可对式(2-36)进行全微分求得用相对变化量表示（2-37）因为

dS=2πrdr

由材料力学知识可知，对特定的材料，在纵向伸长的同时，横截面积缩小、横向线度的相对缩小(－dr/r)与纵向线度的相对伸长(Δl/l)之间具有固定的比，即（2-39）式中：γ表示泊松比，也称泊松系数。又，根据虎克定律，应力σ、应变ε=Δl/l和弹性模量E之间的关系为将上式代入式（2-35）则有（2-40）将式（2-40）、式（2-39）、式（2-38）代入式（2-37）得式中：G=1+2γ+πEE表示应变因子，或材料的灵敏度系数。对金属材料，因无压阻效应Δρ=0，γ=0.5，故G=1+2γ=2。电阻的变化主要由电阻丝几何尺寸的变化产生。半导体材料的压阻系数很大，故G主要由πEE决定。

G=1+2γ+πEE≈πEE=66~133

(πE=(40~80)×10－11m2/N;E=1.67×1011N/m2)

半导体电阻条电阻的改变主要决定于压阻效应引起的电阻率的变化。

2.基于压阻效应的变换器

半导体硅材料优良的压阻特性和优良的弹性性能相结合，是构成半导体压阻式传感器的基础。在集成传感器中，电阻变换器与硅弹性敏感元件是一体化的，它就是采用半导体扩散工艺或者是离子注入工艺在硅弹性敏感元件（如硅膜片）上制作出的P型硅电阻条。当被测物理量作用到硅弹性敏感元件上时，将在敏感元件上建立相应的应力分布以及产生相应的应变ε=Δl/l，在应力σ及相对应的应变ε所在处的P型电阻条上将产生相应的电阻变化。于是该电阻条就是变换器，它可以实现将应力及对应的应变转换为电阻的改变量。电阻在应力作用下的相对变化量为（2-41）式中：σ1、σi分别为沿电阻纵向、横向的应力；π1、πi分别为纵向、横向压阻系数。压阻效应具有明显的各向异性特点。在不同晶面、晶向上其压阻系数不同。2.2.2基于电容效应的电容变换器

1.平板电容器

众所周知，如图2-14所示平板电容器当忽略边界效应时，两个金属平板间的电容为（2-42）式中：ε为两极板间介质的介电常数；S为两极板的相对有效面积；δ为两极板的间隙；C为两极板所具有的电容。图2-14平板电容器由式（2-42）可知，改变电容C的方法有三种：其一是改变两极板间的间隙；其二为改变形成电容的有效面积；其三是改变两极板间介质的介电常数。这三种方法中的任何一种变化都将产生电容值的变化ΔC而构成电容变换器。在集成传感器中制作电容变换器主要采用前两种方法。

2.电容变换器

采用微机械加工工艺制作硅弹性敏感元件，再溅射或喷镀一层金属铝构成电容器的一个可动极板；在固定部分的硅材料上溅射或喷镀金属铝后成为电容器的另一个不动极板。当有被测物理量如压力或加速度作用时，将引起作为可动极板的弹性敏感元件的变形或位移。这种变形或位移将使得与固定极板间的间隙改变Δδ，或使有效面积变化ΔS，从而构成变间隙式电容变换器或变面积式电容变换器。

1）变间隙式电容变换器

（1）输入输出特性：即Δδ－ΔC或Δδ/δ－ΔC/C关系。当动极板在被测参量作用下发生位移变形使初始间隙δ0减小了Δδ（但必须保持有效面积S=恒量）时，电容变换器将有一增量ΔC。由式（2-42）有（2-43）则电容的变化量为电容的相对改变量为当Δδ/δ0<<1时，上式括号内按幂级数展开得（2-44）式中：δ0、C0分别为电容变换器的初始间隙、初始电容。由式（2-44）可见，输入输出关系有着严重的非线性。（2）灵敏度KC：按照灵敏度的定义有灵敏度不是常数，其近似值为（2-45）可见，灵敏度KC与初始间隙的平方δ2<<0成反比，初始间隙δ0越小传感器越灵敏。（3）理论线性度：根据输入输出特性，可确定其理想拟合直线方程为满量程输出值Y(FS)为式中：Δδm表示满量程时最大输入量（间隙的最大改变量）。拟合偏差Δ为最大拟合偏差Δm的近似值为于是理论线性度δL为

2）变面积式电容变换器

（1）输入输出特性：即ΔS-ΔC或ΔS/S-ΔC/C关系。当动极板在被测参量作用下发生位移时，使两极板相对有效面积改变ΔS，但两极板间隙保持不变（Δδ=0），引起电容变换器的电容改变量ΔC为（2-47）式中：δ0表示两极板的间隙，应保持为一恒定常数。（2）灵敏度KC：（2-48）（3）理论线性度δL： δL=0变面积式电容式变换器的输入输出特性在理论上有理想的线性，故其灵敏度为常数，非线性误差（理论线性度）为零。2.2.3基于固有频率变化效应的谐振式变换器

1.谐振子的机械振动固有频率fn

最简单的谐振子的动态模型可由如图2-15所示的单自由度质量-弹簧-阻尼机械力学系统来描述。具有一定几何尺寸和质量m的谐振子，在受到作用力F后产生形变或位移y和运动速度dy/dt，同时又受弹性力F(弹)=－ky与阻尼力F(阻)=－bdy/dt的作用，其运动规律服从牛顿运动律。图2-15单自由度运动谐振子(a)等效模型；(b)振弦谐振子或已分析过，它是一个二阶系统，运动规律由二阶微分方程描述，无阻尼固有振动频率fn=ωn/2π为（2-49）式中：k为谐振子的刚度系数；m为谐振子的等效质量。若谐振子为一根张紧的弦（丝），如图2-15(b)所示，其横向刚度系数k与有效质量m可进一步表示为，m=lρL（2-50）式中：F0为预紧力；l为弦的有效长度；ρL为单位长度弦的质量，又称线密度。将式（2-50）代入式（2-49）中，可得下述关系（2-51）当振弦确定后，l与ρL均为确定的常数，振弦的固有振动频率fn则由张力F0决定。

2.谐振子变换器

谐振子变换器有振弦、振膜、振梁及振筒等多种形式。谐振式传感器是通过适当设计的弹性敏感元件（质量-弹簧-阻尼机械力学系统）与谐振子结合而成的。当有被测量作用时，以振弦谐振子为例，首先引起弹性敏感元件的应力、应变发生变化，进而使得振弦谐振子所受张力F0发生变化ΔF，从而使振弦谐振子固有振动频率发生相应变化Δf。由此谐振子变换器实现将质量-弹簧-阻尼机械力学系统输出的中间变量（结构型）转换为自身固有频率作为输出变量。振弦谐振子变换器的输入输出特性可由式（2-51）导出，当振弦受到预紧力F0与被测力ΔF作用时，其输出信号——固有振动频率f

n′

为（2-52）将上式展开成幂级数由上式可见，当输入ΔF=0时，f=fn，即以预紧力F0对应固有频率输出;当ΔF≠0时，则输入ΔF与固有振动频率的改变量Δf的关系式为（2-53）由上式可见，振弦式谐振子变换器有较大的非线性。它的理论线性度δL为（2-54）由式（2-53）我们可得其灵敏度S为（2-55）

2.3集成化压力传感器与加速度传感器

2.3.1压阻式压力传感器

压阻式压力传感器的组成框图如图2-16所示。图2-16压阻式压力传感器组成框图图中第一部分为可等效为质量-弹簧-阻尼机械力学系统的弹性敏感元件，它将输入的被测压力P转换为中间变量（应力σ及其对应的应变ε）。常用的弹性敏感元件有周边固支的圆形、方形和矩形膜片，近年来又发展了E形、双岛形膜片。硅膜片的结构不同，在压力P作用下膜片上的应力分布也不同，但在确定位置处的应力与压力成正比。

图中第二部分是在膜片相应部位采用半导体工艺制作的电阻条——电阻式变换器，由于压阻效应则有相应的电阻变化量ΔR输出。电阻变化量与相应部位膜片的应力σ成正比。

1.周边固支圆形膜片（弹性敏感元件）应力分布特点与电阻变换器的布置

根据弹性力学可知，压力P在半径为a、膜的厚度为h的周边固支圆形硅膜片上引起的径向应力σr和切向应力σt分别为（2-56）（2-5７）式中：γ为泊松比；r为计算点的半径；a为膜片有效半径（单位为m）。

由上述二式可计算硅膜片受到均匀载荷时的应力分布如图2-17所示。

在膜片中心处，r=0，σr和σt具有正最大值：（2-58）图2-17圆膜片上应力分布随着r增大，σr和σt逐渐下降，在r=0.635a和0.812a

处分别为零。在膜片边缘处r=a，σr和σt均为负值，其绝对值达到最大：（2-59）（2-60）由此可见，硅膜上存在着正、负两个应力区，因此电阻变换器布置的方案有多种。

1）压敏电阻位于同一应力区

（1）方案一：如图2-18(a)所示。在（100）晶面硅膜片上，沿〈110〉或〈110〉晶向制作P型硅电阻时，电阻的压阻系数最大，这时

纵向压阻系数： 横向压阻系数：则式（2-41）变为（2-61）式中：π44为剪切压阻系数，其数值由实验测定。由上式可见，在压力作用下电阻的相对变化与应力差(σ1－σi)成正比。若电阻布置如图2-18(a)所示，电阻R1、R3沿〈110〉晶向布置，其纵向应力σ1=σr，横向应力σi=σt。又纵向压阻系数π1=1/2π44，横向压阻系数πi=－1/2π44，所以R1、R3的相对变化量为（2-62）将式（2-56）、式（2-57）代入上式得负号表示ΔR1、ΔR3为减量。图2-18压敏电阻位于同一应力区(a)方案一；(b)方案二电阻R2、

R4也沿〈110〉晶向布置，但其纵向应力σ1=σt，横向应力σi=σr，纵向压阻系数π1=1/2π44，横向压阻系数πi=－1/2π44，受力后R2、R4的改变量ΔR2、ΔR4为增量，其相对变化量为同理（2-63）（2）方案二：压敏电阻仍位于同一应力区，如图

2-18(b)所示。在（100）晶面上，两个电阻位于〈110〉晶向，另两个电阻位于〈110〉晶向，压敏电阻R2、R4沿〈110〉晶向布置，在这两个电阻上的纵向应力σ1=σr，横向应力σi=σt，又

纵向压阻系数： 横向压阻系数： 所以R2、R4的相对变化量为压敏电阻R1、R3沿〈110〉方向布置，其纵向为〈110〉晶向，电阻上的纵向应力σ1=σt，横向应力σi=σr，故纵向压阻系数： 横向压阻系数：受力后电阻R1、R3的相对变化量为（2-64）同样可得（2-65）由式（2-62）~式（2-65）可知在压力P作用下电阻的变化是随r的增大而增大的，如图2-19所示。当r=a时，即在边缘处电阻的相对变化量最大。

R1、R3与R2、R4有相同的电阻变化量，但符号相反，适于构成全桥差动电路。

当电阻置于边缘时，r=a，由式（2-62）、式（2-63）可得压阻式压力传感器的输入输出特性为压阻式压力传感器的灵敏度为（2-66）图2-19径向电阻(ΔR/R)r和切向电阻(ΔR/R)t与半径r的关系

2）压敏电阻分别位于正、负应力区

当选用N型硅（110）晶面做弹性膜片时，在沿〈110〉晶向的直径上制作四个等值P型硅电阻，如图2-20所示。此时径向应力σr即为纵向应力σ1，根据压阻系数的公式推导，有式中：当电阻沿〈110〉晶向布置时，α=90°，故有图2-20压敏电阻分别位于正、负应力区

纵向压阻系数：横向压阻系数：

πi(110)=0即该四个电阻只有纵向压阻效应,引起电阻改变量的符号取决于应力的方向。故在正应力区：在负应力区：式中：为电阻R2、R4所在半径r(2,4)处的径向平均应力；为电阻R1、R3所在半径r(1,3)处的径向平均应力。电阻的位置如图2-21所示。对于膜片中任意一点r1，长为l处的平均径向应力σr的数学表达式为将式（2-56）代入上式后可得（2-67）图2-21电阻的位置图若已知压力P=6.0×106N/m2，膜片有效半径a=0.045cm，膜片厚h=0.010cm，电阻条长l=0.006cm，r1=0.007cm，硅材料泊松比γ=0.35，代入上述已知数值可得电阻条R2及R4所在处的平均应力为N/m2cm除了圆形硅膜片外，还有周边固支的方形、矩形膜片，不管硅膜片取什么形状，都能建立式中：K为与压阻系数有关的常量；P为膜片上所受的压力。即膜片上的电阻相对变化量与被测压力P成正比。

2.动态性能

周边固支圆形弹性膜片的固有频率fn的表达式如下：

（2-68）式中：ρ=2.35g/m2为硅的密度；E=1.67×1011N/m2为硅的弹性模量；γ=0.35为硅的泊松比；m为膜片等效质量；K⊥为膜的横向刚度。若a=0.045cm，厚度h与固有频率fn的关系如表2-1所示。由表2-1可见，有效半径a一定时，厚度h值越大，固有频率fn越大，传感器的工作频带越宽，频率响应特性越好。在满足动态特性的要求的同时，膜厚h由量程来决定。根据定义，弹性膜片的横向刚度系数K⊥为（2-69）式中：F=Pπa2为膜片承受的力；W为膜片中心处的挠度。当弹性膜片的等效质量m=ξπa2hρ中系数ξ取0.618时,（2-70）

3.保证线性的基本措施

为了使传感器有良好的线性，中心挠度W不能太大，比值W/h<0.3时，有较好的线性度；W/h<0.1时压力与应力之间有好的线性，为此应使（2-71）为了保证传感器有良好的线性，还需限制膜片中实际应力σ的数值，否则应力较大时压阻效应的线性关系会受到破坏，即电阻的变化不再与应力成正比。硅的破坏应力为

σm=4.5×108N/m2，一般至少应遵循下述关系：

σ<0.2σm

（2-72）

对于式（2-62）和式（2-63），

σr－σt=σ<0.2σm

可得被测压力P应受限于2.3.2电容式压力传感器

电容式压力传感器的组成框图如图2-22所示。它的第一部分为可等效为质量-弹簧-阻尼机械力学系统的弹性敏感元件，它将输入的被测压力P转换为中间变量——膜片的形变Ｗ；第二部分为电容变换器，电容变换器再将中间变量（形变Ｗ）转换为电容的变化ΔC输出。与压阻式压力传感器相比，它具有灵敏度高、温度稳定性好、压力量程低等优点，从而弥补了硅压阻式压力传感器的不足。电容式压力传感器的工程精度可达0.075%FS。图2-22硅电容式压力传感器(a)组成框图；(b)结构简图；(c)芯体结构示意图与结构图

1.压力敏感电容变换器与弹性敏感元件

利用微机械加工工艺制作的圆形硅膜片，既是弹性敏感元件，又是电容变换器的可动极板。以图2-23为例，设圆形硅膜片的半径为a，铝电极半径为b，膜厚为h，无压力作用，即表压或压差P=0时，两电极间的间隙为δ0，则初始电容量C0为（2-74）式中：ε0=8.87×10－14F/cm为真空介电常数。图2-23电容式压力传感器当膜片两侧压力差P≠0时，膜片距中心为r处的挠度为（2-75）膜片中心处的挠度，即最大位移量W0为（2-76）所以（2-77）在形变情况下，电容变换器的总电容为在W0<<δ0的情况下，上式积分结果为（2-78）式中：g=b/a。我们可以计算一个实际压敏电容变换器的电容值。如δ0=2μm，a=500μm，b=350μm，h=20μm，E=1.67×1011N/m2，在P=9.8×104N/m2作用下，（2-79）pF则C=1.225C0=2.08pF

W0=0.77μm

由此可见，由微机械加工工艺制作的微米尺寸的电容变换器，其电容数值很小，在压力作用下的变化量更小。这样小的电容量作为分立元件的压力敏感电容变换器是没有实际意义的。采用集成电路工艺技术与微机械加工工艺技术可以把信号调理电路与压敏电容变换器做在同一芯片上，连接导线极短，从而可使与电容变换器相连接的杂散电容小而稳定。由式（2-78）可得电容式压力传感器（也就是电容变换器）的输入输出特性：（2-80）电容式压力传感器的灵敏度SC为（2-81）与式（2-66）给出的压阻式压力传感器的灵敏度之比为若采用上例中的数据：a=500μm，b=350μm，δ0=2μm，h=20μm，g=b/a=0.7，又已知硅材料的有关参数E=1.67×1011N/m2，π44=50×10－11m2/N，则2.3.3谐振式压力传感器

谐振式压力传感器的组成框图如图2-24所示。图2-24谐振式压力传感器组成框图图中第一部分为可等效为质量-弹簧-阻尼机械力学系统的弹性敏感元件，它将输入的被测压力P转换为中间变量（应力σ及其对应的应变ε）。常用的弹性敏感元件有

周边固支的圆形、方形和矩形膜片。硅膜片的结构不同，在压力P作用下膜片上的应力分布也不同，但在确定位置处的应力与压力成正比。图中第二部分是在膜片相应部位采用半导体微机械加工工艺制作的谐振子变换器，由于固有频率效应，则有相应的谐振子固有频率变化量Δfn输出。谐振子固有频率改变量与相应部位膜片的应力σ成正比。

硅谐振梁压力/压差传感器由硅弹性元件、差动结构H形谐振子及电路系统三大部分组成，其结构示意图与组成框图如图2-25所示。图2-25硅谐振梁压力/压差传感器(a)硅弹性元件与谐振子结构示意图；(b)组成框图

1.硅弹性敏感元件

硅弹性敏感元件可等效为质量-弹簧-阻尼机械力学系统，是由半导体微加工技术制作的硅杯。硅杯具有周边固支的圆形或方形膜片，称为硅弹性膜片（4mm×4mm）。硅弹性膜片感受其两侧压力之差ΔP=(P2－P1)，若其中一侧为大气压则感受表压ΔP=p；当两侧压力由相等ΔP=p=0

到ΔP=p≠0时，在硅膜片同一部位处的应力σ将发生变化，具体的圆形硅膜片的应力分布与被测压力/压差P的关系式相同，详见压阻式压力传感器中的硅膜片分析。

2.H形谐振子

H形谐振子是传感器中的变换器，在硅膜片表层制作了两个两端固定的H形谐振梁（1200μm×12μm×5μm）。其中一个H形梁硅谐振子制作在硅膜片的中央，另一个则制作在硅膜边缘部位，如图2-26所示。这两个H形谐振梁采用半导体微机械加工技术制作，尺寸、形状完全相同。两个硅梁被封闭在真空腔内，既可确保梁振动时不受空气阻尼的影响，以提高其Q值，又不与被测介质接触。图2-26硅谐振式压力传感器结构原理当硅膜片两侧压力相同，即ΔP=0时，在硅膜片应力作用下，两个H形谐振子上所受张紧力F0数值相同，故二者的固有振动频率相同，fr=fc=fn。当被测压力施加后，即ΔP≠0时，两个H形谐振子所在处硅膜片的应力发生数值相等、符号相反的变化±Δσ，使得作用于两个H形谐振子上的张紧力也发生数值相等、符号相反的变化±ΔF，即一个谐振子张紧力增加为F0+ΔF，另一个谐振子张紧力减小为F0－ΔF，进而两个谐振子固有振动频率也发生差动变化，一个增大为fr=fn+Δf，一个减小为fc=fn－Δf，如图

2-27所示。图2-27压力-频率特性

3.电路系统

两个硅梁谐振子各自都有一套电路系统。该电路系统是正反馈闭环自激振荡电路，其功能是将硅谐振子机械振动固有频率转换为电信号的频率输出。

正反馈闭环自激振荡电路系统由处在磁场中的H形硅梁谐振子、耦合变压器与放大器组成，如图2-28所示。图2-28正反馈闭环自激振荡电路系统原理图

H形硅梁谐振子处于由永久磁铁提供的均匀场中。放大器的输入与输出都经耦合变压器T1、T2隔离耦合。当放大器输出的交变电压经变压器T1耦合产生交变激振电流i再经

A、B电极流入H形谐振梁时，处于磁场中的谐振梁AB遵循楞次定律受磁场作用力偏离平衡位置而振动，由梁AB带动作同样振动的谐振梁CD则切割磁力线产生感应电动势由检测电极C、D输出，经变压器T2耦合反馈进入放大器。感生电动势的频率与谐振梁的振动频率相同，只有等于H形谐振梁固有频率的电信号才能满足正反馈的振荡条件，H形谐振子才得以起振并加强，最终谐振在固有频率上。

振荡器输出的电信号U(t)=Umsin2πfnt

的频率fn等于谐振子的机械振动固有频率。两个H形谐振子都有各自的振荡器输出等于各自固有振动频率fr、fc的谐振频率fr=frn，fc=fcn的电信号Ur(t)与Uc(t)：

Ur(t)=Umrsin2πfrnt

Uc(t)=Umcsin2πfcnt

4.稳定性改善

稳定性改善表现在以下两个方面。

（1）弦（梁）紧固状态稳定性极大改善。

传统的振弦依靠夹紧装置使其一端固定，而另一端与弹性元件相连处于拉紧工作状态。夹紧装置材料的韧性要适当，太软可能产生滑脱现象，太硬可能损伤弦。采用微机械加工工艺时，谐振梁与弹性元件是一体化的，故得以保证紧固状态稳定，固有频率具有很好的稳定性。（2）差动结构有效地克服了环境温度的影响。

温度的改变对两个谐振子的影响是相同的，当温度升高时引起振弦伸长，固有频率减小，位于中心处的谐振子固有频率变为fc－Δfc，位于边缘的谐振子固有频率也减小为fr－Δfr，因为它们的尺寸、形状、材料完全相同，故Δfc=Δfr，频率之差Δf=fc－fr保持不变。2.3.4加速度传感器

加速度是描述物体振动状态的物理量。振动是指一个物理系统重复、周期地或随机地运动。在时间域内，振动规律可用振动位移、速度、加速度的时间函数来描述；在频率域内，用振动的频谱来描述。振动的三个基本参量（振动位移、速度、加速度）之间保持简单的微分与积

分关系。因此，测出其中任一个参量就可获得另两个参量。加速度传感器（简称为加速度计）又称为加速度拾振器，可获得振动物体的加速度信息，然后经过积分可得振动速度，再积分一次可得振动位移。按坐标系选择方法不同，拾振器可采用相对测振法与绝对测振法。一般的位移传感器，如电容式位移传感器、电涡流位移传感器、光纤式位移传感器等，都可作为相对振动的振幅位移的拾振器，经微分后得相对振动速度，再微分一次可得相对振动加速度。拾振器所获得的振动参量是相对于某一取作参考或静止坐标的运动量的，它不能准确地反映被测体相对地球惯

性空间的绝对振动量。用绝对法测振，如用绝对法测加速度，测量的是一个振动体的绝对振动加速度，是该振动体相对地球惯性空间的振动加速度。能够测量绝对振动加速度的传感器/拾振器，又称为惯性式加速度拾振器。惯性式加速度拾振器由两部分组成：第一部分是可等效为质量-弹簧-阻尼机械力学系统的弹性敏感元件，它的作用是将输入的被测加速度a=转换为中间变量（应

力σ及其相应形变y），其转换原理决定于质量-弹簧-阻尼机械力学系统的力学模型；第二部分是变换器，常见的有压阻式、电容式变换器，它再将弹性敏感元件输出的中间变量转换为电阻或电容变量输出，如图2-29所示。图2-29加速度拾振器组成框图

1.弹性敏感元件及其等效力学模型

加速度计的弹性敏感元件有多种形式，如悬臂梁、周边固支弹性膜片或两端固支的桥等，它们的固支端是加速度计的外壳。上述弹性敏感元件都可以用简化的单自由度力学模型来表示，如图2-30所示。通过力学模型的建立可以进一步了解绝对法测振原理。图2-30加速度计中弹性敏感元件单自由度力学模型的图示（a）、（b）分别为悬壁梁、周边固支膜片；(c）惯性式传感器/拾振器等效力学模型

1）质量块m的受力

（1）静止时，若质量块m（相对外壳运动部分的等效质量）受到重力G、初始弹性力fk0作用，两个力方向相反数值相等，则m处于静止平衡状态，如图2-31所示。此时

G=fk0=ky0

式中：k为弹簧刚度；y0为弹簧的初始变形。图2-31质量块m受力(a)静止时；(b)运动时（2）质量块m运动时，受重力G、弹性力fk和阻尼力fb三个力作用（图2-31(b)）。根据牛顿运动定律，质量块的运动状态

由它所受的合力决定，即其中：fk=－k(y0+y)；

。代入上式得微分方程如下：即（2-82）式中：b为阻尼器的阻尼系数；m为质量块的等效质量；y为质量块相对外壳的位移；z为质量块相对地球惯性空间的绝对位移；x为外壳/被测振动体A相对地球惯性空间的绝对位移。

y、z、x三者之间的关系是：,代入式（2-82）中，有（2-83）

2)质量-弹簧-阻尼力学系统的过渡模型

设被测振动为简谐运动，即x=xmsinωt，则式（2-83）变为（2-84）式中：称为惯性力；fm=mxmω2。

于是可得质量-弹簧-阻尼系统运动过程的力学模型：以惯性力f(t)为输入，m相对外壳的位移y为输出的运动微分方程的标准形式（2-85）式中：为系统的固有振荡角频率（敏感元件在无阻尼振荡时的角频率）；为阻尼比；K=1/k为直流放大倍数/静态灵敏度。式（2-85）是一个二阶常系数线性非齐次微分方程。它的解含通解和特解两部分。通解表示由系统初始条件和强迫振动所引起的自由振动，在有阻尼情况下很快衰减；特解为强迫振动，由被测振动决定，即表示稳态时系统对被测振动的响应。

我们以f(t)=fmsinωt为质量-弹簧-阻尼系统的输入，质量块相对外壳的运动即振动位移y(t)为输出，可由微分方程式（2-85）写出过渡模型的传递函数H(s)与频率特性H(jω)。传递函数：（2-86）幅频特性：（2-87）相频特性：

3)弹性敏感元件的等效力学模型

以外壳/被测物体A相对地球惯性空间的绝对振动加速度为输入，以质量块相对外壳振动位移y(t)为输出，可以写出弹性敏感元件的频率特性Ha(jω)和传递函数Ha(s)如下。

传递函数：（2-88）频率特性：幅频特性：（2-89）式（2-89）为一典型二阶系统的幅频特性，如图2-32(a)所示，也即图2-12(a)。其工作频段在0<ω<ωn，这就要求,系统无阻尼固有角频率要高，因此弹性敏感元件的刚度k越大（硬弹簧）和质量块越轻（m值小），则ωn值越大，工作频段越宽，动态特性越好,响

应速度越快。其静态灵敏度，又称直流放大倍数|Ha(0)|为图2-32惯性式加速度传感器（a）幅频特性；（b）压阻式及电容式加速度传感器实现框图

2.惯性式加速度传感器

惯性式加速度传感器又称惯性式加速度计，由弹性

敏感元件与变换器两大部分组成。传感器的动态模型由敏感元件的力学模型质量-弹簧-阻尼机械系统决定，故式

（2-88）、式（2-89）也即传感器的传递函数与幅频特性。

被测体A相对地球惯性空间的加速度，即待测加速度a，在信号频率ω<<ωn时，经质量-弹簧-阻尼机械力学系统按一定比值关系转换为质量块相对外壳的位移y(t)。

这个比值近似等于直流放大倍数|Ha(0)|=1/ωn2，信号频率ω数值不同对应有不同的误差（见式（2-34））。而位移y(t)就是弹性敏感元件（悬壁梁、周边固支膜片等）的变形位移量，其值与该处的应力σ成正比。也就是说，上述质量-弹簧-阻尼机械力学系统完成了将被测加速度

转换为中间变量（应力σ及其相应变形位移（y(t)））的任务，配以不同形式检测σ或y的变换器则构成不同形式的加速度传感器。

1）压阻式加速度传感器

压阻式加速度传感器的组成框图如图2-32(b)所示。作为它的质量-弹簧-阻尼机械力学系统，常用的弹性敏感元件有周边固支的圆形、方形、矩形膜片，以及悬臂梁、双端固支的二梁、四梁等多种结构形式（将在图2-36中描述）。硅膜片的结构不同，在加速度a作用下膜片上某一瞬时的应力分布也不同，但在确定位置处随时间变化的应力σ(t)与加速度成正比。它的第二部分是在膜片相应部位（灵敏度最大的部位）采用半导体工艺制作电阻变换器。这部分的工作原理与压阻式压力传感器中的电阻变换器相同。由于压阻效应，电阻变换器则有相应的电阻变化量ΔR输出，ΔR随时间变化的规律ΔR(t)与相应所在处膜片应力的变化规律σ(t)成正比。

2）电容式加速度传感器

电容式加速度传感器的组成框图如图2-32(b)所示。它所配的电容变换器检测的中间变量是弹性敏感元件的变形位移y(t)，从而有在一定频带0≤ω<<ωn范围内，将被测加速度成比例地转换为电容的相对改变量ΔC/C。其结构示意图如图2-33所示。图2-33加速度传感器的结构示意图

3）伺服式加速度计

伺服式加速度计又称为力平衡式加速度计。它是一个具有负反馈环节的闭环系统，将具有式（2-85）和式（2-86）所表征的质量-弹簧-阻尼机械力学模型的惯性式加速度计放入一个闭环系统中，采用负反馈技术可以大大改善加速度计的动态性能与静态精度。闭环系统框图如图2-34所示。图2-34静电伺服加速度计(a)示意图；(b)闭环系统框图图2-34(a)为静电式伺服加速度计的示意图。其中质量-弹簧-阻尼机械力学系统由式（2-85）和式（2-86）给出的力学模型表征。它与电容变换器C1、C2构成一个惯性式加速度计，经电容/电压(ΔC/Δu)转换器输出的电容改变量ΔC按比例地转换为输出电压u。上述环节组成图2-34(b)中闭环系统的前向通道。其传递函数H(s)的表达式如下：（2-90）式中设电容/电压(ΔC/Δu)转换系数为1，式（2-90）就是式（2-86）。这里需要特别指出的是，电容器两极板间施加电压时，两极板上将充有数量相等符号相反的电荷量，极板将受到静电作用力。外加激励源所施加的电压若保持不变，则该静电力的数值也将为一常数。作为图2-34(a)中的质量块m，它是电容变换器C1、C2的可动极板，在静止与运动过程中始终受到一个恒定的静电作用力。但是这个静电力与质量块所受重力G一样在运动微分方程式（2-83）

式（2-85）中不出现。总之，对于前向通道来说，当被测加速度a=0时，质量块居中，电容C1、C2间隙相等，C1=C2=C0，电容改变量ΔC=0，输出电压u=0；当a≠0时，如果不存在反

馈回路的话，输出u在一定频带范围内（0≤ω<<ωn）与惯性力f及被测加速度a成正比，动态性能由传递函数H(s)决定。在图2-34(b)中加了反馈环节I(s)，构成反馈回路。I(s)是一个反向传感器，它的输入量是前向通道的输出电压u，在电压u的作用下它将输出一个力fI。这个力fI的大小与u成正比，但力fI的方向与惯性力f方向相反，前向通道H(s)的输入量则是该二力之差(Δf=f－fI)，在一定频率(0≤ω<<ωn)范围内，输出电压u将与差值Δf成正比，动态性能决定于H(s)，不断地反馈过程一直进行到闭环系统处于一动态平衡状态，这时输出电压u达到某一动态平衡数值，反向力fI足够大到接近惯性力f，所以这种传感器也称为力平衡式加速度计。差值Δf≈0，质量块m的位移量极小，也接近零但不为零。在频带(0≤ω<<ωn)范围内反向传感器的传递函数为（2-91）式中：U(s)和fI(s)分别为反向传感器输入u和输出fI的拉普拉斯变换。输出的反向力fI是电容两极板A1、A2之间施加电压（u的倒相）时可动极板m所受的静电力。下面我们进一步讨论图2-34(b)闭环系统的传递函数

W（s)。因为有又ΔF(s)=F(s)－FI(s)其中ΔF(s)、FI(s)、F(s)、U(s)分别为Δf、fI、f、u时域输入输出量的拉普拉斯变换。整理上述关系可得闭环传递函数为(2-92)若以加速度a为输入，u为输出，系统总传递函数Ha(s)则为(2-93)式中：A(s)为被测加速度a的拉普拉斯变换。将式(2-90)、式（2-91）代入式（2-93）中，可得整理后得（2-94）式中：（1）对式（2-94）我们可以进行如下讨论：系统总传递函数Ha(s)仍是个二阶系统，这个系统的动态性能比开环H(s)的动态性能有了较大的改善。它表现在：

①固有角频率扩大了倍。

②阻尼比