数学根的判别式与韦达定理习题

数学根的判别式与韦达定理习题一、引言根的判别式（\(\Delta=b^2-4ac\)）与韦达定理是二次方程的核心工具，前者判断根的存在性与性质，后者揭示根与系数的内在联系。两者结合可解决二次方程的各类问题，是中考、高考的高频考点。本文通过基础题→进阶题→综合题的梯度设计，覆盖常见题型，附详细解析与易错提醒，助力夯实基础、提升能力。二、根的判别式习题解析根的判别式的核心逻辑：\(\Delta>0\)→两个不相等实根；\(\Delta=0\)→两个相等实根；\(\Delta<0\)→无实根。注意：应用于二次方程时，需保证二次项系数≠0。（一）基础题：判断根的情况与求参数范围例1判断方程\(x^2-2x+1=0\)的根的情况。解析计算判别式：\(\Delta=(-2)^2-4\times1\times1=0\)，故方程有两个相等实根（根为\(x_1=x_2=1\)）。例2若方程\(kx^2+2x-1=0\)有两个不相等实根，求\(k\)的取值范围。解析二次方程有两个不相等实根的条件：1.二次项系数≠0：\(k\neq0\)；2.判别式>0：\(\Delta=2^2-4\timesk\times(-1)=4+4k>0\)→\(k>-1\)。结论：\(k>-1\)且\(k\neq0\)。易错提醒：忽略\(k\neq0\)会导致范围扩大（\(k=0\)时方程退化为一次方程，只有1个根）。（二）进阶题：结合函数与绝对值的应用例3已知二次函数\(y=x^2+bx+c\)的图像与\(x\)轴有两个交点，求\(b^2-4c\)的取值范围。解析二次函数与\(x\)轴有两个交点→对应方程\(x^2+bx+c=0\)有两个不相等实根→\(\Delta>0\)，即\(b^2-4c>0\)。例4若方程\(|x^2-1|=a\)有两个不相等实根，求\(a\)的取值范围。解析令\(t=x^2-1\)，方程变为\(|t|=a\)，分情况讨论：\(a<0\)：无解；\(a=0\)：\(t=0\)→\(x^2=1\)→\(x=±1\)，两个不相等实根；\(0<a<1\)：\(t=a\)（\(x=±\sqrt{1+a}\)）、\(t=-a\)（\(x=±\sqrt{1-a}\)），四个不相等实根；\(a=1\)：\(t=1\)（\(x=±\sqrt{2}\)）、\(t=-1\)（\(x=0\)），三个实根；\(a>1\)：\(t=a\)（\(x=±\sqrt{1+a}\)）、\(t=-a\)（无解），两个不相等实根。结论：\(a=0\)或\(a>1\)。易错提醒：忽略\(a=0\)的情况（此时\(x=±1\)，确实两个根）。（三）综合题：含参数的分类讨论例5关于\(x\)的方程\((m-1)x^2+2mx+m+3=0\)有实根，求\(m\)的取值范围。解析“有实根”包括两种情况：1.一次方程（\(m=1\)）：方程退化为\(2x+4=0\)，解得\(x=-2\)，有实根；2.二次方程（\(m≠1\)）：需\(\Delta≥0\)，计算得\(\Delta=-8m+12≥0\)→\(m≤\frac{3}{2}\)。结论：\(m≤\frac{3}{2}\)。易错提醒：未分类讨论一次方程（会漏掉\(m=1\)的情况）。三、韦达定理习题解析韦达定理（对于\(ax^2+bx+c=0\)，\(a≠0\)，根为\(x_1,x_2\)）：\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)。注意：应用前提是方程有实根（\(\Delta≥0\)）。（一）基础题：直接应用定理例6方程\(2x^2-3x+1=0\)的根为\(x_1,x_2\)，求\(x_1+x_2\)和\(x_1x_2\)。解析代入韦达定理：\(x_1+x_2=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}\)，\(x_1x_2=\frac{1}{2}\)。验证：根为\(1\)和\(\frac{1}{2}\)，和为\(\frac{3}{2}\)，积为\(\frac{1}{2}\)，正确。例7若\(x_1,x_2\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的根，求\(x_1^2+x_2^2\)。解析变形：\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)，代入得\(5^2-2×6=13\)。验证：根为\(2\)和\(3\)，平方和为\(4+9=13\)，正确。（二）进阶题：结合判别式的应用例8已知方程\(x^2+px+q=0\)的两个根为\(-1\)和\(2\)，求\(p\)和\(q\)。解析由韦达定理：\(-1+2=-p\)→\(p=-1\)；\((-1)×2=q\)→\(q=-2\)。验证：方程为\(x^2-x-2=0\)，根为\(-1\)和\(2\)，正确。例9若方程\(x^2-2x+k=0\)有两个实根，求\(k\)的范围，并求\(x_1^3+x_2^3\)（用\(k\)表示）。解析1.\(k\)的范围：\(\Delta=4-4k≥0\)→\(k≤1\)；2.变形：\(x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=2[(2)^2-3k]=8-6k\)。验证：\(k=1\)时，根为\(1\)，立方和为\(2\)，代入得\(8-6×1=2\)，正确。（三）综合题：构造新方程与几何应用例10已知\(α,β\)是方程\(x^2-3x+1=0\)的根，求以\(α+1,β+1\)为根的新方程。解析1.原根和与积：\(α+β=3\)，\(αβ=1\)；2.新根和：\((α+1)+(β+1)=5\)；3.新根积：\((α+1)(β+1)=αβ+α+β+1=5\)；4.新方程：\(x^2-5x+5=0\)。验证：新根为\(\frac{5±\sqrt{5}}{2}\)，代入方程成立。四、总结与解题技巧（一）根的判别式1.先定类型：判断是否为二次方程（二次项系数≠0）；2.分类讨论：含参数时，讨论一次方程与二次方程；3.结合函数：二次函数图像与\(x\)轴交点数对应Δ符号。（二）韦达定理1.前提条件：验证Δ≥0；2.变形技巧：\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)，\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)；3.构造新方程：求新根的和与积，代入\(x^2-(和)x+(积)=0\)。（三）易错点1.根的判别式：忽略二次项系数≠0；2.韦达定理：忘记验证Δ≥0，符号错误；3.综合问题：未分情况讨论（如绝对值、函数）。五、拓展练习（答案提示）1.方程\(x^2+2x+k=0\)有两个相等实根，求\(k\)。（\(k=1\)）2.已知\(x_1,x_2\)是\