三角形边角关系练习题及解答

三角形边角关系练习题及解答引言三角形是几何体系中最基本的图形之一，其边角关系（线段长度与角度大小的对应规律）是连接代数与几何的桥梁，也是学习三角函数、相似三角形、圆等高级内容的基础。掌握三角形边角关系的核心定理（如内角和、三边关系、正弦定理、余弦定理），不仅能解决各类几何问题，还能提升逻辑推理与运算能力。本文通过分类题型练习+详细解答+思路分析的结构，帮助读者巩固核心知识点，突破易错点，提高解题效率。内容覆盖基础概念、角度计算、边长取值范围、正弦/余弦定理应用及综合问题，适合初中高年级及高中学生复习使用。一、核心定理回顾在开始练习前，先回顾三角形边角关系的核心定理，确保基础扎实：1.三角形内角和定理三角形三个内角之和为180°，即：$$\angleA+\angleB+\angleC=180^\circ$$2.三角形外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角大于任何一个与它不相邻的内角。3.三角形三边关系定理任意两边之和大于第三边（$a+b>c$，$a+c>b$，$b+c>a$）；任意两边之差小于第三边（$|a-b|<c$，$|a-c|<b$，$|b-c|<a$）。4.正弦定理在$\triangleABC$中，各边与对应角的正弦值之比相等，等于外接圆直径（$2R$）：$$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$$5.余弦定理在$\triangleABC$中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与夹角余弦值的两倍：$$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$$$$b^2=a^2+c^2-2ac\cosB$$$$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$$二、分类练习题及解答**题型1：基础概念题——定理理解与简单应用**例题1：判断线段长度为2、3、5的三条线段能否组成三角形。解答：不能组成三角形。思路分析：根据三边关系定理，需满足“较短两边之和大于最长边”。排序后为2、3、5，$2+3=5$，不满足“大于”，故无法组成三角形。例题2：在$\triangleABC$中，若$\angleA:\angleB:\angleC=1:2:3$，则对应的边长比$a:b:c$为（）A.1:2:3B.1:$\sqrt{3}$:2C.$\sqrt{3}$:1:2D.2:$\sqrt{3}$:1解答：选B。思路分析：由内角和定理求各角：设$\angleA=x$，则$x+2x+3x=180^\circ$，解得$x=30^\circ$，故$\angleA=30^\circ$，$\angleB=60^\circ$，$\angleC=90^\circ$；由正弦定理得$a:b:c=\sin30^\circ:\sin60^\circ:\sin90^\circ=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}:1=1:\sqrt{3}:2$。**题型2：内角和与外角性质——角度计算**例题3：在$\triangleABC$中，$\angleA=50^\circ$，$\angleB=60^\circ$，求$\angleC$及与$\angleC$相邻的外角的度数。解答：$\angleC=180^\circ-\angleA-\angleB=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$；与$\angleC$相邻的外角=$\angleA+\angleB=50^\circ+60^\circ=110^\circ$（外角性质）。思路分析：内角和定理直接求$\angleC$，外角用“不相邻两内角之和”计算更快捷。例题4：如图，$\triangleABC$中，$\angleACB$的外角平分线交$AB$延长线于点$D$，若$\angleA=30^\circ$，$\angleB=40^\circ$，求$\angleD$的度数。解答：$\angleACB=180^\circ-30^\circ-40^\circ=110^\circ$，其外角$\angleACE=70^\circ$（$E$在$BC$延长线上）；$CD$平分$\angleACE$，故$\angleACD=35^\circ$；在$\triangleACD$中，$\angleD=180^\circ-\angleA-\angleACD=180^\circ-30^\circ-35^\circ=115^\circ$。思路分析：先求内角，再求外角及角平分线分角，最后用三角形内角和求$\angleD$。**题型3：三边关系——取值范围与周长计算**例题5：已知三角形两边长为3和7，求第三边的取值范围。解答：设第三边长为$x$，则$7-3<x<7+3$，即$4<x<10$。思路分析：直接应用“两边之差小于第三边小于两边之和”，注意不包含等号（等于时退化为线段）。例题6：一个三角形周长为12，两边长为3和5，求第三边长度。解答：设第三边长为$x$，则$3+5+x=12$，解得$x=4$。验证：$3+5>4$，$3+4>5$，$5+4>3$，满足三边关系，故第三边长为4。思路分析：先通过周长求第三边，再验证合理性，避免错误。**题型4：正弦定理——边角互求**例题7：在$\triangleABC$中，$a=5$，$\angleA=30^\circ$，$\angleB=60^\circ$，求$b$的长度。解答：由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}$，得：$$b=a\cdot\frac{\sinB}{\sinA}=5\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin30^\circ}=5\cdot\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=5\sqrt{3}$$思路分析：“已知两角及一边”，直接代入正弦定理求解。例题8：在$\triangleABC$中，$a=2\sqrt{3}$，$b=2$，$\angleA=60^\circ$，求$\angleB$的度数。解答：由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}$，得：$$\sinB=b\cdot\frac{\sinA}{a}=2\cdot\frac{\sin60^\circ}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$$分析：$b<a$，故$\angleB<\angleA$（大边对大角），因此$\angleB=30^\circ$（舍去$150^\circ$，因$150^\circ+60^\circ>180^\circ$）。思路分析：“已知两边及一边对角”，需用“大边对大角”排除增根。**题型5：余弦定理——边边求角与边角求边**例题9：在$\triangleABC$中，$a=4$，$b=5$，$c=6$，求$\angleC$的度数（保留整数）。解答：由余弦定理$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，得：$$\cosC=\frac{4^2+5^2-6^2}{2\times4\times5}=\frac{16+25-36}{40}=\frac{5}{40}=0.125$$故$\angleC\approx\arccos(0.125)\approx83^\circ$。思路分析：“已知三边求角”，代入余弦定理计算余弦值，再用反余弦函数求角度。例题10：在$\triangleABC$中，$\angleA=120^\circ$，$AB=3$，$AC=4$，求$BC$的长度。解答：由余弦定理$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdotAB\cdotAC\cdot\cosA$，得：$$BC^2=3^2+4^2-2\times3\times4\times\cos120^\circ=9+16-24\times(-\frac{1}{2})=25+12=37$$故$BC=\sqrt{37}$。思路分析：“已知两边及夹角求第三边”，直接应用余弦定理，注意$\cos120^\circ=-\frac{1}{2}$，符号不能错。**题型6：综合应用——多定理结合**例题11：在$\triangleABC$中，$\angleB=45^\circ$，$AB=\sqrt{2}$，$BC=2$，求$AC$的长度及$\angleA$的度数。解答：求$AC$：由余弦定理$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdotAB\cdotBC\cdot\cosB$，得：$$AC^2=(\sqrt{2})^2+2^2-2\times\sqrt{2}\times2\times\cos45^\circ=2+4-4\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=6-4=2$$故$AC=\sqrt{2}$。求$\angleA$：由正弦定理$\frac{AC}{\sinB}=\frac{BC}{\sinA}$，得：$$\sinA=BC\cdot\frac{\sinB}{AC}=2\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sqrt{2}}=2\cdot\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}}=1$$故$\angleA=90^\circ$（验证内角和：$90^\circ+45^\circ+45^\circ=180^\circ$，符合）。思路分析：先通过余弦定理求第三边，再用正弦定理求角度，结合两个定理的应用。例题12：如图，$\triangleABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$AB=5$，$AC=4$，$BC=6$，求$AD$的长度。解答：设$BD=x$，则$DC=6-x$。在$\text{Rt}\triangleABD$中，$AD^2=AB^2-BD^2=25-x^2$；在$\text{Rt}\triangleADC$中，$AD^2=AC^2-DC^2=16-(6-x)^2$。联立方程：$25-x^2=16-(36-12x+x^2)$，展开得$25-x^2=-20+12x-x^2$，解得$x=\frac{15}{4}$。代入$AD^2=25-(\frac{15}{4})^2=25-\frac{225}{16}=\frac{175}{16}$，故$AD=\frac{5\sqrt{7}}{4}$。思路分析：通过设未知数，利用勾股定理建立方程，找到公共边$AD$的等量关系，属于综合应用问题。三、易错点提醒1.三边关系的简化：只需检查“较短两边之和大于最长边”，无需逐一验证所有组合；2.正弦定理的增根：“已知两边及一边对角”时，需用“大边对大角”排除超过$180^\circ$的角；3.余弦定理的符号：钝角的余弦值为负，公式中的“$-2ab\cos\theta$”会变为“$+2ab|\cos\theta|$”；4.边与角的对应：正弦/余弦定理中，边$a$对