难点解析人教版8年级数学下册《平行四边形》单元测试试题(含详细解析)_第1页
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文档简介

人教版8年级数学下册《平行四边形》单元测试考试时间:90分钟;命题人:教研组考生注意:1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。第I卷(选择题20分)一、单选题(5小题,每小题4分,共计20分)1、如图所示,公路AC、BC互相垂直,点M为公路AB的中点,为测量湖泊两侧C、M两点间的距离,若测得AB的长为6km,则M、C两点间的距离为()A.2.5km B.4.5km C.5km D.3km2、在菱形ABCD中,两条对角线AC=10,BD=24,则此菱形的边长为()A.14 B.25 C.26 D.133、在Rt△ABC中,∠C=90°,若D为斜边AB上的中点,AB的长为10,则DC的长为()A.5 B.4 C.3 D.24、勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是数形结合的重要纽带.数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理:以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI,正方形ABED,正方形BCGF,连接BI,CD,过点C作CJ⊥DE于点J,交AB于点K.设正方形ACHI的面积为S1,正方形BCGF的面积为S2,长方形AKJD的面积为S3,长方形KJEB的面积为S4,下列结论:①BI=CD;②2S△ACD=S1;③S1+S4=S2+S3;④+=.其中正确的结论有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5、如图,点E是长方形ABCD的边CD上一点,将ADE沿着AE对折,点D恰好折叠到边BC上的F点,若AD=10,AB=8,那么AE长为()A.5 B.12 C.5 D.13第Ⅱ卷(非选择题80分)二、填空题(5小题,每小题6分,共计30分)1、如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点E、F,连接PB、PD,若AE=2,PF=9,则图中阴影面积为______;2、如图,在平行四边形ABCD中,,E、F分别在CD和BC的延长线上,,,则______.3、如图,菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=6,BD=8,点P是BC边上的一动点,则AP的最小值为__.4、如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为DC的中点,若,则菱形的周长为__________.5、如图,在□中,⊥于点,⊥于点.若,,且的周长为40,则的面积为________.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、如图,四边形ABCD是平行四边形,延长DA,BC,使得AE=CF,连接BE,DF.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)连接BD,若∠1=32°,∠ADB=22°,请直接写出当∠ABE=°时,四边形BFDE是菱形.2、D、分别是不等边三角形即的边、的中点.是平面上的一动点,连接、,、分别是、的中点,顺次连接点、、、.(1)如图,当点在内时,求证:四边形是平行四边形;(2)若四边形是菱形,点所在位置应满足什么条件?(直接写出答案,不需说明理由.)3、△ABC和△GEF都是等边三角形.问题背景:如图1,点E与点C重合且B、C、G三点共线.此时△BFC可以看作是△AGC经过平移、轴对称或旋转得到.请直接写出得到△BFC的过程.迁移应用:如图2,点E为AC边上一点(不与点A,C重合),点F为△ABC中线CD上一点,延长GF交BC于点H,求证:.联系拓展:如图3,AB=12,点D,E分别为AB、AC的中点,M为线段BD上靠近点B的三等分点,点F在射线DC上运动(E、F、G三点按顺时针排列).当最小时,则△MDG的面积为_______.4、如图,已知矩形中,点,分别是,上的点,,且.(1)求证:;(2)若,求:的值.5、已知:如图,,,AD是BC上的高线,CE是AB边上的中线,于G.(1)若,求线段AC的长;(2)求证:.-参考答案-一、单选题1、D【解析】【详解】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=AB,即可求出CM.【解答】解:∵公路AC,BC互相垂直,∴∠ACB=90°,∵M为AB的中点,∴CM=AB,∵AB=6km,∴CM=3km,即M,C两点间的距离为3km,故选:D.【点睛】本题考查了直角三角形的性质,解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2、D【解析】【分析】由菱形的性质和勾股定理即可求得AB的长.【详解】解:∵四边形ABCD是菱形,AC=10,BD=24,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,OB=OD=BD=12,OA=OC=AC=5,在Rt△ABO中,AB==13,故选:D.【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识,熟练掌握菱形的性质,由勾股定理求出AB=13是解题的关键.3、A【解析】【分析】利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案.【详解】解:∵∠C=90°,若D为斜边AB上的中点,∴CD=AB,∵AB的长为10,∴DC=5,故选:A.【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边的中线,关键是掌握在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.4、C【解析】【分析】根据SAS证△ABI≌△ADC即可得证①正确,过点B作BM⊥IA,交IA的延长线于点M,根据边的关系得出S△ABI=S1,即可得出②正确,过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N,证S1=S3即可得证③正确,利用勾股定理可得出S1+S2=S3+S4,即能判断④不正确.【详解】解:①∵四边形ACHI和四边形ABED都是正方形,∴AI=AC,AB=AD,∠IAC=∠BAD=90°,∴∠IAC+∠CAB=∠BAD+∠CAB,即∠IAB=∠CAD,在△ABI和△ADC中,,∴△ABI≌△ADC(SAS),∴BI=CD,故①正确;②过点B作BM⊥IA,交IA的延长线于点M,∴∠BMA=90°,∵四边形ACHI是正方形,∴AI=AC,∠IAC=90°,S1=AC2,∴∠CAM=90°,又∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠CAM=∠BMA=90°,∴四边形AMBC是矩形,∴BM=AC,∵S△ABI=AI•BM=AI•AC=AC2=S1,由①知△ABI≌△ADC,∴S△ACD=S△ABI=S1,即2S△ACD=S1,故②正确;③过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N,∴∠CNA=90°,∵四边形AKJD是矩形,∴∠KAD=∠AKJ=90°,S3=AD•AK,∴∠NAK=∠AKC=90°,∴∠CNA=∠NAK=∠AKC=90°,∴四边形AKCN是矩形,∴CN=AK,∴S△ACD=AD•CN=AD•AK=S3,即2S△ACD=S3,由②知2S△ACD=S1,∴S1=S3,在Rt△ACB中,AB2=BC2+AC2,∴S3+S4=S1+S2,又∵S1=S3,∴S1+S4=S2+S3,即③正确;④在Rt△ACB中,BC2+AC2=AB2,∴S3+S4=S1+S2,∴,故④错误;综上,共有3个正确的结论,故选:C.【点睛】本题主要考查勾股定理,正方形的性质,矩形性质,全等三角形的判定和性质等知识,熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质是解题的关键.5、C【解析】【分析】根据矩形的性质,折叠的性质,勾股定理即可得到结论.【详解】解:∵四边形ABCD是矩形,∴,,,∵将△ADE沿着AE对折,点D恰好折叠到边BC上的F点,∴,,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴,故选:C.【点睛】本题考查了翻折变换,矩形的性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.二、填空题1、【解析】【分析】作PM⊥AD于M,交BC于N,根据矩形的性质可得S△PEB=S△PFD即可求解.【详解】解:作PM⊥AD于M,交BC于N.则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,,∴,,∴S阴=9+9=18,故答案为:18.【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识,解题的关键是证明.2、8【解析】【分析】证明四边形ABDE是平行四边形,得到DE=CD=,,过点E作EH⊥BF于H,证得CH=EH,利用勾股定理求出EH,再根据30度角的性质求出EF.【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴,AB=CD,∵,∴四边形ABDE是平行四边形,∴DE=CD=,,过点E作EH⊥BF于H,∵,∴∠ECH=,∴CH=EH,∵,,∴CH=EH=4,∵∠EHF=90°,,∴EF=2EH=8,故答案为:8.【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质,勾股定理,直角三角形30度角的性质,熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键.3、4.8【解析】【分析】由垂线段最短,可得AP⊥BC时,AP有最小值,由菱形的性质和勾股定理可求BC的长,由菱形的面积公式可求解.【详解】设AC与BD的交点为O,∵点P是BC边上的一动点,∴AP⊥BC时,AP有最小值,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=CO=AC=3,BO=DO=BD=4,∴,∵,∴,故答案为:4.8.【点睛】本题考查了菱形的性质,勾股定理,确定当AP⊥BC时,AP有最小值是本题关键.4、16【解析】【分析】由菱形的性质和三角形中位线定理即可得菱形的边长,从而可求得菱形的周长.【详解】∵四边形ABCD是菱形,且对角线相交于点O∴点O是AC的中点∵E为DC的中点∴OE为△CAD的中位线∴AD=2OE=2×2=4∴菱形的周长为:4×4=16故答案为:16【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形中位线定理、菱形周长等知识,掌握这些知识是解答本题的关键.5、48【解析】【分析】根据题意可得:,再由平行四边形的面积公式整理可得:,根据两个等式可得:,代入平行四边形面积公式即可得.【详解】解:∵▱ABCD的周长:,∴,∵于E,于F,,,∴,整理得:,∴,∴,∴▱ABCD的面积:,故答案为:48.【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及运用方程思想进行求解线段长,理解题意,熟练运用平行四边形的性质及其面积公式是解题关键.三、解答题1、(1)见解析;(2)12【分析】(1)由“SAS”可证△ABE≌△CDF;

(2)通过证明BE=DE,可得结论.【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD,∠BAD=∠BCD,

∴∠1=∠DCF,

在△ABE和△CDF中,,

∴△ABE≌△CDF(SAS);

(2)当∠ABE=10°时,四边形BFDE是菱形,

理由如下:∵△ABE≌△CDF,

∴BE=DF,AE=CF,∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD=BC,

∴AD+AE=BC+CF,

∴BF=DE,

∴四边形BFDE是平行四边形,

∵∠1=32°,∠ADB=22°,

∴∠ABD=∠1-∠ADB=10°,

∵∠ABE=12°,

∴∠DBE=22°,

∴∠DBE=∠ADB=22°,

∴BE=DE,

∴平行四边形BFDE是菱形,

故答案为:12.【点睛】本题考查了菱形的判定,平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,掌握菱形的判定是解题的关键.2、(1)见解析;(2),且点不在射线、射线上【分析】(1)根据三角形的中位线定理可证得,DE=GF,即可证得结论;(2)根据三角形的中位线定理结合菱形的判定方法分析即可.【详解】(1)∵D、E分别是边AB、AC的中点,∴,DE=BC,同理,,GF=BC,∴,DE=GF,∴四边形DEFG是平行四边形;(2)点O的位置满足两个要求:AO=BC,且点O不在射线CD、射线BE上.理由如下:连接AO,由(1)得四边形DEFG是平行四边形,∵点D、G、F分别是AB、OB、OC的中点,∴,,当AO=BC时,GF=DF,∴四边形DGFE是菱形.【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理,平行四边形、菱形的判定,解题的关键是熟练掌握以上知识点.3、(1)以点C为旋转中心将逆时针旋转就得到;(2)见解析;(3).【分析】(1)只需要利用SAS证明△BCF≌△ACG即可得到答案;(2)法一:以为边作,与的延长线交于点K,如图,先证明,然后证明,得到,则,过点F作FM⊥BC于M,求出,即可推出,则,即:;法二:过F作,.先证明△FCN≌△FCM得到CM=CN,利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出,再证明得到,则;(3)如图3-1所示,连接,GM,AG,先证明△ADE是等边三角形,得到DE=AE,即可证明得到,即点G在的角平分线所在直线上运动.过G作,则,最小即是最小,故当M、G、P三点共线时,最小;如图3-2所示,过点G作GQ⊥AB于Q,连接DG,求出DM和QG的长即可求解.【详解】(1)∵△ABC和△GEF都是等边三角形,∴BC=AC,CF=CG,∠ACB=∠FCG=60°,∴∠ACB+∠ACF=∠FCG+∠ACF,∴∠FCB=∠GCA,∴△BCF≌△ACG(SAS),∴△BFC可以看作是△AGC绕点C逆时针旋转60度所得;(2)法一:证明:以为边作,与的延长线交于点K,如图,∵和均为等边三角形,∴,∠GFE=60°,∴,∴∠EFH+∠ACB=180°,∴,∵,∴.∵是等边的中线,∴,∴,∴∴.在与中,∴,∴,∴,过点F作FM⊥BC于M,∴KM=CM,∵∠K=30°,∴∴,∴,∴,即:;法二证明:过F作,.∴是等边的中线,∴,,∴△FCN≌△FCM(AAS),FC=2FN,∴CM=CN,,同法一,.在与中,∴∴,∴;(3)如图3-1所示,连接,GM,AG,∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,CD⊥AB,∴DE∥BC,∠CDA=90°,∴∠ADE=∠ABC=60°,∠AED=∠ACB=60°,∴△ADE是等边三角形,∠FDE=30°,∴DE=AE,∵△GEF是等边三角形,∴EF=EG,∠GEF=60°,∴∠AEG=∠AED+∠DEG=∠FEG+∠DEG=∠FED,∴∴,即点G在的角平分线

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