成信工动力气象学教案第5章 波动的不稳定理论

1rr第五章第五章波动的不稳定理论 2.2.稳定度的表达方式i(kx−ωt)ririrkω23惯性振荡或快波的不稳定发展现象。4 ∂φ∂x ∂φ∂x 1∂φu=−f∂y∂φ∂φ∂φ∂φ∂x=∂x=0,∂y=∂y=−fu+fu=fudt=fdt=f则初始位于y=y0、并随基流作纬向移动的气块，由于某种原因穿越基流而向北运动，其经向位移为δy。移动后的纬向速度可由∫0+δy(5.11)1dy得：00u(y+δy)=u(y)+fδy=u(y)+fδ00而y0+δy处的基流速度为：u(y0+δy)=u(y0)+δy=fu(y0)+δy−u(y0)−fδy=−f(f−)δy5ff−−==f+ζ=ζa=0−∴f f6因为地转基流u=u(y)，是正压大气，有效位能（APE）不能释放。所以扰动发展的能源为基本气流正压大气：u=u(y)，采用水平无辐散和静力平衡近似，则有p系线性化方程组：'⎛⎝'+fu∂φ''u∂ψ''∂ψ''u1 ∂x−∂y并利用（5.17）3+u∇h2ψ'+β−'=0设大气在y∈(y1,y2)的纬向管道内流动，有齐次（刚壁）边界条件：ψ=ψψ'=Ψ(y)eik(x−ct) 7222dy=0u−cd2Ψ⎜β−2⎜β−22dy2d2Ψ*⎜β−2⎜β−22*dy22Ψ*−Ψd*dy+∫2β−uc−uc*Ψ*Ψdy=0,Ψ在y1,y2处为零，所以（5.24）式左端第一项应为零，则（5.24）式左端第二项也应为零。⎜β−2⎜β−2所以Ψ2 2 u−c(β−∂2)u−c→2f(y)dy=0，此积分式的几何意义面积和）因此f(y)必经过f(y)=0处，即f(y)在(y1,y2)内必定至少改变一次符号。所以，正压不稳定的必要,y2β−=0（在y=yc处5.26）——郭晓岚定理（流体力学中Reyleigh8或ζyζ令β=0，由（5.26）式得：2u∂y2其中y=yc是u=u(y)的拐点。2β−Ψ2udy>02u∂y22u∂y29分，从此使天气预报进入了定量化的新时代。世界著名气象学家郭晓岚小传参加农业劳动。1929年暑期，考入保定第二师范。1932年升为清华大学数学系，次年转入地球物理系。1937年毕业后被南京中央研究院紫金山气象研究所录用。其间，著述甚丰，获硕士学位。1945年与杨振宁、叶笃正等22人去美国芝加哥大学学习。1948年获芝加哥大学地球物理学博士学位。后在麻省理工学院高级研究员。1962年回芝加哥大学任地球物理学教授。1970绩。曾4次(1973、1979、1986、1992年）δ=0对应的波称为最不稳定波，即最先发生不稳定最不稳定波长LM~2000km。研究表明正压不稳定多发生在热带，如东西风交界处，季风低压，西非扰动发展初期（形成）的动力学机制。斜压基本气流上，扰动形成的斜压大气长波随时设基本气流为纯斜压u=u(p)，采用p系准地转涡度方程和静力平衡的绝热方程：=−Vψ⋅∇(∇2ψ+f)+f0⋅∇−ω1=∆p=∆pα∂θσ=−θ∂p2+f=n2j(j=,Ψ2设β平面近似得：(+u1)3)+β=-030设Ψ,Ψ,n具有波型解：(5.38)(5.39)(5.40)⎪ik[(c−u3)A+⎪ik[(c−u3)A+ik[(c−u1)B−D=0f'ψ1=Aeik(x−ct),ψ=Beik(x−ct),ω=Deik(x−ct)0ik[(c−u1)k2+β0ik[(c−u3)k2+β]B+D=0(5.42)(5.43)(5.44)ik[(c−u1)k2+β]00ik[(c−u3)k2+β]ik[(c−u1)ik[(c−u1) f0−∆p f0∆p−f±δu=u1+u3=u(平均纬向风)，δ= β4λ4−uT2(2λ2−k2)k4k2+2λ2)2(k2+2λ2) Tu=Tu−u2⎧β2−k22−k22−k2+2λ2ββ2λ4−k4(4λ4−k4)U<0如令β=0,则有44λ4−k4>0或k2<2λ2可以看出，β起稳定作用，uT（垂直风切变起不稳定作用）。又λ2=2。所以，有利于长波不稳定发展的环境条件：纬度高，热成风大，静力稳定度小。k2<2λ2（5.49） 在临界波长处：k=2λ2，则临界波长Lc=,取λ=2×10−6m−1,Lc≈3000km。LL>Lc令uc2=k4(k4)(称为临界垂直风切变或临界热成风)uT2cc 2uT 2uT33斜压不稳定的应用uT>ucmin1）uT<uc时，所有波长的波都稳定；2）uT>min时，波动才可能不稳定； 3）L<Lc时，无论uT如何，波动都稳定；4）L>Lc时，波动才可能不稳定；5）L>Lc且uT>uc时，波动一定是不稳定的。斜压不稳定长波的结构：发展槽（温度槽落后于高度槽，参见第二章第4节） 设为均匀不可压流体(ρ1=const.1u1=u1+u1,u2=u2+u2,w1=w1,w2=w2,p1=p1+p1,p2=p2+p2∂p2∂z=−ρ1g,∂z=−ρ2g如果不考虑科氏力（对应小尺度运动则有z坐标系扰动方程组为；j∂xj∂xj∂x)wj∂x)wj=−ρj∂z(+uj)(+)=0(j=1,2)',1,2(+uj)(p−p)+w∂(pp2)=0(j=1,2)(5.57)p=-iρ2p=-iρ2c-u2)Be-kzeik(x-ct)j)(p-p)-g(ρ1-ρ2)w=0(j=1,2)w=Wj(z)eik(x-ct)(j=1,2)(z)=Be-kz其中A，B为待定积分常数。将（5.61）式代入（5.59p=iρ1(c-u1)Aekzeik(x-ct)=-iBe-kzeik(x-ct)|-将p,p,w,w代入衔接边界条件得：kc-u2ρ-g(ρ-ρ)AekH+k(c-u)(c-u)ρkc-u12ρ2-g(ρ1-ρ2)Be-kH=0 2kc-u1ρ2- 2kc-u1ρ2-g(ρ1-ρ2) 2u−