函数极值最值导数应用专题训练

一、基础概念精准回顾极值与最值是导数在函数研究中的核心应用，其本质是通过导数分析函数的局部增减性与全局取值特征。以下是关键概念的严谨梳理：（一）极值的定义与性质极值是函数在局部区间内的“峰值”或“谷值”，分为极大值与极小值：设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某邻域内有定义，若对该邻域内任意\(x\neqx_0\)，都有\(f(x)<f(x_0)\)，则\(f(x_0)\)为极大值，\(x_0\)为极大值点；若\(f(x)>f(x_0)\)，则\(f(x_0)\)为极小值，\(x_0\)为极小值点。性质：极值是局部概念：极大值不一定大于极小值（如\(f(x)=x^3-3x\)在\(x=-1\)处的极大值为2，在\(x=1\)处的极小值为-2）；极值点处函数可能不可导（如\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)处为极小值点，但不可导）；可导函数的极值点必为驻点（导数为0的点），但驻点不一定是极值点（如\(f(x)=x^3\)在\(x=0\)处为驻点，但非极值点）。（二）最值的定义与存在条件最值是函数在整个定义域或指定区间内的“最大值”或“最小值”：设函数\(f(x)\)在区间\(I\)上有定义，若存在\(x_0\inI\)，对任意\(x\inI\)，都有\(f(x)\leqf(x_0)\)，则\(f(x_0)\)为\(f(x)\)在\(I\)上的最大值；若\(f(x)\geqf(x_0)\)，则\(f(x_0)\)为最小值。存在条件（闭区间连续函数的最值定理）：若\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上必存在最大值与最小值。（三）导数与极值的关系（费马定理）费马定理：若函数\(f(x)\)在\(x_0\)处可导且取得极值，则\(f'(x_0)=0\)。说明：费马定理是极值的必要条件，而非充分条件（如\(f(x)=x^3\)在\(x=0\)处满足\(f'(0)=0\)，但非极值点）；极值点的候选集为：驻点（\(f'(x)=0\)）+不可导点（如\(f(x)=|x|\)的\(x=0\)）。二、核心方法系统提炼（一）极值求解的标准步骤1.确定定义域：避免遗漏或错误扩大变量范围（如\(f(x)=\lnx-x\)的定义域为\(x>0\)）；2.求导找候选点：计算\(f'(x)\)，解方程组\(f'(x)=0\)得驻点，同时找出\(f'(x)\)不存在的点；3.判别极值点：第一判别法（适用于所有候选点）：若\(x_0\)左侧\(f'(x)>0\)、右侧\(f'(x)<0\)，则\(x_0\)为极大值点；若左侧\(f'(x)<0\)、右侧\(f'(x)>0\)，则为极小值点；第二判别法（仅适用于驻点且\(f''(x_0)\neq0\)）：若\(f''(x_0)<0\)，则\(x_0\)为极大值点；若\(f''(x_0)>0\)，则为极小值点；若\(f''(x_0)=0\)，需改用第一判别法或更高阶导数判断（如\(f(x)=x^4\)在\(x=0\)处\(f''(0)=0\)，但为极小值点）；4.计算极值：将极值点代入\(f(x)\)得极值。（二）闭区间最值求解的关键流程1.求候选点：找出区间内的驻点与不可导点；2.计算端点值：计算区间端点\(a,b\)的函数值\(f(a),f(b)\)；3.比较得最值：将候选点函数值与端点值比较，最大者为最大值，最小者为最小值。说明：开区间\((a,b)\)上的连续函数不一定有最值（如\(f(x)=x\)在\((0,1)\)上无最值），但若存在唯一极值点，则该极值点必为最值点（如\(f(x)=x^2\)在\((0,+\infty)\)上的极小值点\(x=0\)为最小值点）。（三）含参数极值问题的讨论框架对于含参数\(\lambda\)的函数\(f(x,\lambda)\)，极值点个数与参数密切相关，通常按以下步骤讨论：1.求导得\(f'(x,\lambda)\)，令\(f'(x,\lambda)=0\)，得到关于\(x\)的方程；2.分析方程根的个数（通过判别式、函数单调性等）；3.对每个根，判断是否为极值点（用第一或第二判别法）；4.总结参数\(\lambda\)的取值范围与极值点个数的关系。例：讨论\(f(x)=x^3+\lambdax^2+x\)的极值点个数：导数\(f'(x)=3x^2+2\lambdax+1\)，判别式\(\Delta=4\lambda^2-12=4(\lambda^2-3)\)；当\(\lambda^2>3\)（即\(\lambda<-\sqrt{3}\)或\(\lambda>\sqrt{3}\)）时，\(\Delta>0\)，有两个不同驻点，均为极值点（用第二判别法验证：\(f''(x)=6x+2\lambda\)，两驻点处二阶导数符号相反）；当\(\lambda^2=3\)（即\(\lambda=\pm\sqrt{3}\)）时，\(\Delta=0\)，有一个驻点，此时\(f''(x)=0\)，该点为拐点（如\(\lambda=\sqrt{3}\)时，驻点\(x=-\sqrt{3}/3\)，\(f(x)\)在该点两侧单调性不变）；当\(\lambda^2<3\)（即\(-\sqrt{3}<\lambda<\sqrt{3}\)）时，\(\Delta<0\)，无驻点，故无极值点。三、典型题型深度训练（一）单一函数的极值计算例1：求\(f(x)=x^4-2x^2+3\)的极值。解：1.定义域：\(\mathbb{R}\)；2.求导：\(f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)\)，驻点为\(x=-1,0,1\)（无不可导点）；3.第一判别法：\(x<-1\)时，\(f'(x)<0\)；\(-1<x<0\)时，\(f'(x)>0\)，故\(x=-1\)为极小值点，极小值\(f(-1)=1-2+3=2\)；\(0<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，故\(x=0\)为极大值点，极大值\(f(0)=0-0+3=3\)；\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，故\(x=1\)为极小值点，极小值\(f(1)=1-2+3=2\)。（二）闭区间上的最值求解例2：求\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\([2,3]\)上的最值。解：1.定义域：\(x\neq0\)，区间\([2,3]\)内无不可导点；2.求导：\(f'(x)=1-\frac{1}{x^2}\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=1\)（舍去，因\(1\notin[2,3]\)）；3.计算端点值：\(f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)，\(f(3)=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}\)；4.比较得：最大值为\(\frac{10}{3}\)（在\(x=3\)处），最小值为\(\frac{5}{2}\)（在\(x=2\)处）。（三）实际问题中的最值应用例3：用长为\(L\)的铁丝围成一个矩形，求面积最大时的边长。解：1.建立模型：设矩形长为\(x\)，则宽为\(\frac{L}{2}-x\)，面积\(S(x)=x\left(\frac{L}{2}-x\right)=\frac{L}{2}x-x^2\)；2.定义域：\(0<x<\frac{L}{2}\)；3.求导：\(S'(x)=\frac{L}{2}-2x\)，令\(S'(x)=0\)得\(x=\frac{L}{4}\)；4.判别极值：\(x<\frac{L}{4}\)时，\(S'(x)>0\)；\(x>\frac{L}{4}\)时，\(S'(x)<0\)，故\(x=\frac{L}{4}\)为极大值点；5.实际意义：因区间内唯一极值点，故为最大值点，此时宽为\(\frac{L}{2}-\frac{L}{4}=\frac{L}{4}\)，即正方形时面积最大，最大值为\(\frac{L^2}{16}\)。四、易错点高频警示（一）忽略定义域导致错误反例：求\(f(x)=\lnx-x\)的极值，若忽略定义域\(x>0\)，可能误将\(x=1\)（驻点）以外的点纳入讨论，导致结果错误。正确结论：\(x=1\)为极大值点，极大值\(-1\)。（二）极值与最值的概念混淆反例：\(f(x)=x^3-3x\)在\([-2,2]\)上的驻点为\(x=-1,1\)，极大值\(f(-1)=2\)，极小值\(f(1)=-2\)，但最大值为\(f(2)=8\)（端点），最小值为\(f(-2)=-8\)（端点）。极值是局部峰值，最值是全局极值。（三）第二判别法的适用条件遗漏反例：\(f(x)=x^4\)在\(x=0\)处，\(f'(0)=0\)，\(f''(0)=0\)，若误用第二判别法认为“非极值点”，则错误。正确做法：用第一判别法，\(x<0\)时\(f'(x)<0\)，\(x>0\)时\(f'(x)>0\)，故\(x=0\)为极小值点。（四）实际问题中模型建立偏差反例：求“周长为\(L\)的矩形面积最大值”时，若误将周长设为\(x+y=L\)（正确应为\(2(x+y)=L\)），则模型变为\(S(x)=x(L-x)\)，驻点\(x=L/2\)，面积\(L^2/4\)，与实际结果\(L^2/16\)相差甚远。模型建立需严格对应实际条件。五、综合应用能力提升（一）利用极值证明不等式例4：证明当\(x>0\)时，\(e^x\geqx+1\)。证明：令\(f(x)=e^x-x-1\)，则\(f'(x)=e^x-1\)；当\(x=0\)时，\(f'(0)=0\)；当\(x<0\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x>0\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；故\(x=0\)为\(f(x)\)的极小值点，也是最小值点，最小值为\(f(0)=0\)；因此，\(f(x)\geq0\)，即\(e^x\geqx+1\)（等号当且仅当\(x=0\)时成立）。（二）多变量函数的最值转化例5：已知\(x>0,y>0\)，且\(x+2y=1\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值。解：1.代入转化：由\(x=1-2y\)（\(0<y<1/2\)），得\(f(y)=\frac{1}{1-2y}+\frac{1}{y}\)；2.求导：\(f'(y)=\frac{2}{(1-2y)^2}-\frac{1}{y^2}\)；3.令\(f'(y)=0\)，得\(\frac{2}{(1-2y)^2}=\frac{1}{y^2}\)，两边开平方（正数）得\(\frac{\sqrt{2}}{1-2y}=\fra