高等数学极限与连续性重点题解析

高等数学极限与连续性重点题解析一、引言极限与连续性是高等数学的基础基石：极限定义了微积分的核心概念（导数、积分、级数），连续性则是函数光滑性的基本刻画。二者的考查贯穿考研、期末等各类考试，重点集中在极限计算的技巧性、连续性的判定逻辑及二者的综合应用。本文将通过典型题型+深度解析+易错点警示，系统梳理这两部分的核心考点，助力读者构建清晰的解题框架。二、极限部分重点题解析极限计算的核心是选择合适的方法简化运算，常用工具包括：等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒展开、夹逼定理、单调有界准则等。以下针对高频题型展开分析。（一）等价无穷小替换：精准应用是关键核心结论：当$x\to0$时，常见等价无穷小（如$\sinx\simx$、$\tanx\simx$、$e^x-1\simx$、$\ln(1+x)\simx$、$1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2$）仅能在乘除因子中替换，加减项需谨慎（需保证两项的差为更高阶无穷小）。例1计算$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx-\tanx}{x^3}$。易错解法：直接替换$\sinx\simx$、$\tanx\simx$，得$\lim\limits_{x\to0}\frac{x-x}{x^3}=0$（错误，因$\sinx-\tanx$的高阶项未被保留）。正确解析：将$\sinx$、$\tanx$展开为泰勒级数（或用洛必达法则）：$$\sinx=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),\quad\tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3),$$代入得：$$\sinx-\tanx=-\frac{x^3}{2}+o(x^3),$$故极限为$\lim\limits_{x\to0}\frac{-\frac{x^3}{2}}{x^3}=-\frac{1}{2}$。警示：加减项替换的充要条件是“两项的等价无穷小之差为更高阶无穷小”（如$\sinx-x\sim-\frac{x^3}{6}$，但$\sinx-\tanx$的等价无穷小是$-\frac{x^3}{2}$），若无法判断，建议用泰勒展开或洛必达法则。（二）洛必达法则：严格遵循适用条件适用条件：1.极限为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型（未定式）；2.分子、分母在该点的邻域内可导（端点除外）；3.导数之比的极限存在（或为$\infty$）。例2计算$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x+\sinx}{x}$。易错解法：直接应用洛必达法则，分子导数为$1+\cosx$，分母导数为$1$，得$\lim\limits_{x\to+\infty}(1+\cosx)$（不存在，错误）。正确解析：原式可拆分为$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac{\sinx}{x}\right)$，其中$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sinx}{x}=0$（有界量乘无穷小），故极限为$1$。例3计算$\lim\limits_{x\to0^+}x^x$（$0^0$型未定式）。解析：取自然对数转化为$\frac{\infty}{\infty}$型：$$x^x=e^{x\lnx},\quad\lim\limits_{x\to0^+}x\lnx=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\lnx}{\frac{1}{x}}\stackrel{\text{洛必达}}{=}\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\to0^+}(-x)=0,$$故极限为$e^0=1$。警示：洛必达法则不是“万能工具”，需先判断未定式类型；若导数之比的极限不存在，需换用其他方法（如例2的分拆法）。（三）泰勒展开：高阶极限的“终极武器”当极限涉及高阶无穷小（如分母为$x^n$，$n\geq3$）时，泰勒展开（带佩亚诺余项）能精准保留高阶项，避免洛必达法则的重复应用。例4计算$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}$。解析：$e^x$的泰勒展开为$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，代入分子得：$$e^x-1-x-\frac{x^2}{2}=\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$故极限为$\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{6}}{x^3}=\frac{1}{6}$。优势：若用洛必达法则，需连续求导3次（分子导数依次为$e^x-1$、$e^x$、$e^x$），而泰勒展开一步到位，且能处理更复杂的表达式（如$\cosx$、$\ln(1+x)$的组合）。三、连续性部分重点题解析连续性的核心定义是：$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$（三点要求：极限存在、函数有定义、极限等于函数值）。重点考查间断点分类与闭区间连续函数性质。（一）间断点分类：基于左右极限的判断间断点分为第一类（左右极限均存在）和第二类（至少一个极限不存在）：第一类：可去间断点（左右极限相等但不等于$f(x_0)$或$f(x_0)$无定义）、跳跃间断点（左右极限不等）；第二类：无穷间断点（极限为$\infty$）、振荡间断点（极限不存在且不为$\infty$，如$\sin\frac{1}{x}$在$x=0$处）。例5判断$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$x=0$处的间断点类型。解析：$f(0)$无定义，但$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$（左右极限相等），故为可去间断点（补充定义$f(0)=1$可使函数连续）。例6判断$f(x)=[x]$（取整函数）在$x=1$处的间断点类型。解析：$\lim\limits_{x\to1^-}[x]=0$（左极限），$\lim\limits_{x\to1^+}[x]=1$（右极限），左右极限不等，故为跳跃间断点。例7判断$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处的间断点类型。解析：$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty$，$\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty$，极限为$\infty$，故为无穷间断点。步骤总结：1.检查$f(x_0)$是否有定义；2.计算$\lim\limits_{x\tox_0^-}f(x)$和$\lim\limits_{x\tox_0^+}f(x)$；3.根据左右极限的存在性及与$f(x_0)$的关系分类。（二）闭区间连续函数性质：构造辅助函数是关键闭区间$[a,b]$上的连续函数具有最值定理（必有最大值和最小值）、介值定理（必取到介于最大值和最小值之间的所有值）、零点定理（若$f(a)\cdotf(b)<0$，则存在$\xi\in(a,b)$使$f(\xi)=0$）。例8设$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=1$，$f(1)=0$，证明：存在$\xi\in(0,1)$，使得$f(\xi)=\xi$。解析：构造辅助函数$g(x)=f(x)-x$，则$g(x)$在$[0,1]$上连续（连续函数的差仍连续）。计算端点值：$g(0)=f(0)-0=1>0$，$g(1)=f(1)-1=-1<0$。由零点定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$g(\xi)=0$，即$f(\xi)=\xi$。例9设$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$a<c<d<b$，证明：存在$\xi\in[c,d]$，使得$f(\xi)=\frac{f(c)+f(d)}{2}$。解析：令$M=\max\{f(c),f(d)\}$，$m=\min\{f(c),f(d)\}$，则$\frac{f(c)+f(d)}{2}\in[m,M]$。由介值定理（$f(x)$在$[c,d]$上连续，$[c,d]\subset[a,b]$），存在$\xi\in[c,d]$，使得$f(\xi)=\frac{f(c)+f(d)}{2}$。警示：应用闭区间连续函数性质时，必须严格满足“闭区间”和“连续”两个条件（如$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,1)$上不连续，无法应用最值定理）。四、极限与连续性综合题解析极限与连续性的综合题通常考查连续性定义与极限计算的结合，或闭区间性质与极限的关联。例10已知$f(x)$在$x=0$处连续，且$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)+3}{x}=2$，求$f(0)$和$f'(0)$。解析：1.求$f(0)$：由$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)+3}{x}=2$，分子必须为$0$（否则极限为$\infty$），即$\lim\limits_{x\to0}(f(x)+3)=0$。因$f(x)$在$x=0$处连续，故$f(0)=\lim\limits_{x\to0}f(x)=-3$。2.求$f'(0)$：由导数定义，$$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)+3}{x}=2$$（直接利用已知条件）。例11设$f(x)=\begin{cases}\frac{\sinax}{x},&x<0,\\b,&x=0,\\x+2,&x>0,\end{cases}$若$f(x)$在$x=0$处连续，求$a$、$b$的值。解析：左极限：$\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{\sinax}{x}=a$（等价无穷小替换：$\sinax\simax$）；右极限：$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(x+2)=2$；函数值：$f(0)=b$。由连续性定义，左极限=右极限=函数值，故$a=2$，$b=2$。五、总结与备考建议（一）核心结论回顾1.极限计算：等价无穷小优先（乘除项），洛必达法则辅助（未定式），泰勒展开解决高阶问题；2.连续性：间断点分类基于左右极限，闭区间性质需构造辅助函数；3.综合题：利用连续性定义（极限=函数值）关联极限与函数值，导数定义（极限）是常见考点。（二）易错点规避等价无穷小替换：加减项勿随意替换，需验证高阶项；洛必达法则：先判断未定式类型，导数之比极限不存在时换方法；间断点分类：严格区分左右极限的存在性；闭区间性质：必须满足“闭区间”和“连续”条件。（三）备考建议