《中心对称》课件

《中心对称》知识回顾1.旋转的三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质：旋转前后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.学习目标1.理解中心对称的定义.2.探究中心对称的性质.3.掌握中心对称的性质及其应用.课堂导入前面我们研究了旋转及其性质，现在研究一类特殊的旋转——中心对称及其性质.知识点1新知探究如图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？两个图案能够完全重合在一起．知识点1新知探究如图，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？ABDCO两个图案能够完全重合在一起．知识点1新知探究你能说说上述两个旋转的共同点吗？（1）图形中旋转中心是哪一点？（2）旋转的角度是多少？（3）两个图形的关系？点O180°完全重合知识点1新知探究如果把一个图形(如△ABO)绕定点O旋转180º，它能够与另一个图形(如△CDO)重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点就是对称中心.(1)中心对称是指两个图形间的位置关系，必须涉及两个图形.(2)中心对称是特殊的旋转，旋转角为180°.(3)成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个对称中心可能在两个图形的外部，也可能在图形的内部或图形上，但对称点一定在对称中心的两侧或与对称中心重合.知识点1新知探究如图，△OCD与△OAB关于点O中心对称，则____是对称中心，点A与_____是对称点，点B与____是对称点.BCADOOCD知识点1新知探究1.中心对称是一种特殊的旋转.其旋转角是180°.2.中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系.知识点1新知探究轴对称中心对称1有一条对称轴

——直线有一个对称中心

——点2图形沿轴对折（翻转

180°）图形绕中心旋转180°3翻转后和另一个图形重合旋转后和另一个图形重合1ABCC1AB1O中心对称与轴对称的异同跟踪训练新知探究如图所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组C解：根据中心对称的定义，只有第(4)组图形中的左边图形与右边图形不能形成中心对称.故选C.(4)(3)(2)(1)知识点2新知探究下图中△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称，你能从图中找到哪些等量关系?A′B′C′ABCO(1)OA=OA′、OB=OB′、OC=OC′(2)△ABC≌△A′B′C′知识点2新知探究如图，旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形：第一步，画出△ABC；第二步，以三角板的一个顶点O为对称中心，把三角板旋转180°，画出△A′B′C′；第三步，移开三角板.CABCABA′B′OC′这样画出的△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，分别连接对称点AA′，BB′，CC′.点O在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？△ABC与△A′B′C′有什么关系？活学巧记中心对称，平面变换,对应端点，连线中分,对应线段，平行相等.知识点2新知探究1.成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.2.中心对称的两个图形是全等图形.中心对称的性质(1)因为中心对称是一种特殊的旋转变换，所以具备旋转的一切性质.(2)成中心对称的两个图形，其对应线段互相平行(或在同一条直线上)且相等.知识点2新知探究确定对称中心的方法方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心.方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心.知识点2新知探究1.中心对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成中心对称.2.用中心对称的性质可以推得线段相等、角相等和图形全等，给几何证明提供了依据.3.如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点中心对称，利用这一性质可以识别中心对称.跟踪训练新知探究如图，△A'B'C'与△ABC关于点O对称，你能从图中找出哪些相等的线段、相等的角、全等的三角形？请举例说明(至少各举三例).解：本题答案不唯一，如:相等的线段：OA=OA'，OB=OB'，OC=OC'；相等的角：∠BAC=∠B'A'C'，∠ABC=∠A'B'C'，∠ACB=∠A'C'B'；全等的三角形：△ABC≌△A'B'C'，△AOC≌△A'OC'

，△BOC≌△B'OC'.图（1）图（2）知识点3新知探究(1)如图(1)，选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A′；(2)如图(2)，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.例知识点3新知探究

(1)如图（3），连接AO，在AO的延长线上截取OA′=OA，即可以求得点A

关于点O的对称点A′.

(2)如图（4），作出A，B，C三点关于点O的对称点

A′，B′，C′，依次连

接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.图（3）图（4）解：知识点3新知探究作中心对称的图形的一般步骤：①确定代表性的点（线段的端点）；②作出每个代表性的点的对称点；③按照原图形的形状顺次连接各对称点.跟踪训练新知探究如图，已知四边形ABCD和点O，画出四边形ABCD关于点O对称的图形.ACDBOA′B′C′D′随堂练习1如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成六部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为

.12菱形是中心对称图形，它的两条对角线的交点是对称中心.过点O的三条直线把菱形分成六部分，三块阴影部分和三块空白部分分别对应全等，据此可知阴影部分的面积是菱形面积的一半.随堂练习2如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(-2,-2)，B(-4,-1)，C(-4,-4).作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.A1B1C1

随堂练习3如图，已知在△ABC中，AC=5，AB=3，边BC上的中线AD=2，求BC的长.课堂小结概念旋转角是180°性质对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分作图应用1：作中心对称图形；应用2：找出对称中心.中心对称如果两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法正确的是()①对称点的连线必过对称中心；②这两个图形一定全等；③对应线段一定平行(或在一条直线上)且相等；④将一个图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合.A.①② B.①③C.①②③ D.①②③④对接中考1D对接中考2如图(1)，在△ABC中，∠A=90°，D为BC的中点，DE⊥DF，

DE交AB于点E，DF交AC于点F，试探索线段BE，EF，FC之间的数量关系.解：∵D为BC的中点，∴BD=CD.作△BDE关于点D对称的△CDM，如图(2)所示，由中心对称的性质可得△BDE≌

△CDM.∴CM=BE，MD=ED，∠DCM=∠B.∵∠A=90°，所以∠B+∠ACB=90°,∴∠DCM+∠ACB=90°，即∠FCM=90°.连接FM，在△FME中，MD=DE，

FD⊥ME，

∴

FM=EF.∵在Rt△FCM中，FC2+CM2=FM2，∴FC2+BE2=EF2.图(1)图(2)对接中考3在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，

△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1

，并写出点C1的坐标；解：(1)C1(-1,2).

A1B1C1对接中考3在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，

△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2

，并写出点C2的坐标.解：(2)

C2(-3,-2).A2B2C2

中心对称的概念1.下面说法正确的是(

D

)A.全等的两个图形成中心对称B.能够完全重合的两个图形成中心对称C.旋转后能重合的两个图形成中心对称D.旋转180°后能重合的两个图形成中心对称D12345678910111213142.下列各组图形中，△A'B'C'与△

ABC

成中心对称的是(

D

)D【解析】A.是平移变换图形，故本选项错误；B.是轴对称图形，故本

选项错误；C.是旋转变换图形，故本选项错误；D.是中心对称图形，

故本选项正确.12345678910111213143.

如图，已知

O

是▱

ABCD

对角线的交点，则图中关于点

O

对

称的三角形有

对.【解析】图中关于点

O

对称的三角形有△

AOD

和△

COB

，△

ABO

与△

CDO

，△

ACD

与△

CAB

，△

ABD

和△

CDB

，共4对.4

易错警示

平行四边形是中心对称图形，保证不重复不遗漏.1234567891011121314

中心对称的性质4.(保定顺平县期中)如图，△

ABC

与△A'B'C'关于点

O

成中心对

称，下列结论中不成立的是(

B

)A.

OB

＝

OB

'B.∠

ACB

＝∠

A

'

B

'

C

'B.点

A

的对称点是点

A

'D.

BC

∥

B

'

C

'第4题图B【解析】∵△

ABC

与△A'B'C'关于点

O

成中心对称，∴

OB

＝OB'，∠

ACB

＝∠A'C'B'，点

A

的对称点是点A'，

BC

∥B'C'，故选项A，C，D正确.12345678910111213145.如图，正方形

ABCD

与正方形

GHEF

成中心对称，则下列关于对称中

心的描述不正确的是(

C

)A.对称中心是线段

CE

的中点B.对称中心是线段

DF

的中点C.对称中心是点

E

D.对称中心是线段

AG

与

DF

的交点第5题图C1234567891011121314

3

1234567891011121314

利用中心对称的性质作图7.如图，已知点

M

是△

ABC

的边

BC

的中点，

O

是△

ABC

外一点.(1)作出△A'B'C'，使△A'B'C'与△

ABC

关于点

M

成中心对称；解：(1)△A'B'C'如图所示.1234567891011121314(2)作出△

A

″

B

″

C

″，使△

A

″

B

″

C

″与△

ABC

关于点

O

成中心对称.解：(2)△

A

″

B

″

C

″如图所示.12345678910111213148.如图，在△

ABC

中，∠

A

＝90°，

D

为

BC

的中点，

DE

⊥

DF

，点

E

，

F

分别在

AB

，

AC

上.(1)作△

BDE

关于点

D

成中心对称的图形；解：(1)如图所示，△CDE'即为所求作的图形.(2)若

BE

＝

m

，

CF

＝

n

，则

EF

＝

⁠.

1234567891011121314

9.(唐山古冶区期中)如图，在平面直角坐标系中，若△

ABC

与△

A1

B1

C1关于点

E

成中心对称，则对称中心

E

点的坐标是(

A

)A.(3，－1)B.(0，0)C.(2，－1)D.(－1，3)第9题图A1234567891011121314【解析】如图，连接

AA1，

CC1，则交点就是对称中心点

E

.

观察图形

知，

E

(3，－1).123456789101112131410.如图，已知△

ABC

与△

CDA

关于点

O

成中心对称，过点

O

作直线

EF

分别交

AD

，

BC

于点

E

，

F

，给出结论：①点

E

与点

F

，点

B

与点

D

分别是关于点

O

的对称点；②直线

BD

必经过点

O

；③四边形

DEOC

与四边形

BFOA

的面积相等；④△

AOE

与△

COF

关于点

O

成中心对称.

其中正确的有(

D

)A.1个B.2个C.3个D.4个第10题图D1234567891011121314【解析】△

ABC

与△

CDA

关于点

O

对称，则

AB

＝

CD

，

AD

＝

BC

，∴四边形

ABCD

是平行四边形，即点

O

就是▱

ABCD

的对称中心，则有①点

E

和点

F

，

B

和

D

是关于点

O

的对称点，正确；②直线

BD

必经过点

O

，正确；③四边形

DEOC

与四边形

BFOA

的面积必相等，正确；④△

AOE

与△

COF

成中心对称，正确；其中正确的有4个.123456789101112131411.如图，矩形的长为10，宽为4，点

O

是各组三角形的对称中心，则图

中阴影面积为

⁠.

20

123456789101112131412.如图，

D

是△

ABC

边

BC

的中点，连接

AD

并延长到点

E

，使

DE

＝

AD

，连接

BE

.

(1)哪两个图形成中心对称？解：(1)图中△

ADC

和△

EDB

成中心对称.(2)已知△

ADC

的面积为4，求△

ABE

的面积.解：(2)∵△

ADC

和△

EDB

成中心对称，△

ADC

的面积为4，

D

为

BC

的中点，∴△

EDB

，△

ABD

的面积均为4.∴△

ABE

的面积为4＋4＝8.1234567891011121314(3)已知

AB

＝5，

AC

＝3，求

AD

的取值范围.解：(3)如图，连接

CE

，

1234567891011121314

13.

(唐山路北区二模)小明遇到一个问题：5个同样大小

的正方形纸片，边长是1，排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一

个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方