《直线和圆的位置关系（第三课时）》课件

《直线和圆的位置关系（第三课时）》知识回顾经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.1.切线的判定定理2.切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.学习目标1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.课堂导入上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？POBAO.PAB知识点1新知探究P切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．AO①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．切线长与切线的区别在哪里？知识点1新知探究PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．OB是☉O的一条半径吗？PB是☉O的切线吗？PA，PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？O.PAB知识点1新知探究已知，如图PA，PB是☉O的两条切线，A,B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.证明：∵PA切☉O于点A，∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.O.PAB知识点1新知探究切线长定理PA，PB分别切☉O于A，BPA=PB∠OPA=∠OPB几何语言:过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条；经过圆外一点作圆的切线，有两条.知识点1新知探究若连接两切点A,B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论？并给出证明.OP垂直平分AB.证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB，∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线，∴OP垂直平分AB.O.PABM知识点1新知探究若延长PO交⊙O于点C，连接CA,CB，你又能得出什么新的结论？并给出证明.证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB.∴PC=PC.∴△PCA≌

△PCB，

∴AC=BC.CA=CBO.PABC知识点1新知探究活学巧记过圆外一点作切线，此点与切点间线段长，名称就叫切线长.圆外一点引两切，牢记切线长相等，此点圆心两相连，平分两切之夹角.跟踪训练新知探究如图，已知四边形ABCD的每条边都和⊙O相切，且BC=10，AD

=7，则四边形ABCD的周长为()A.32 B.34 C.36 D.38B解：设四边形的各边与圆的切点分别为P，Q，M，N，则AQ=AM，BN=BM，CN=CP，DP=DQ.所以四边形ABCD的两组对边的和相等，所以四边形ABCD的周长=2×(7+10)=34．PQMNDCAB知识点2新知探究小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？知识点2新知探究如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？

OOOO最大的圆与三角形三边都相切.知识点2新知探究1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.BACI1.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部.2.一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.知识点2新知探究如何作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？

(1)如果半径为r的☉O与△ABC的三边都相切，那么圆心O应满足什么条件？(2)在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心O呢？

圆心O到三角形三边的距离相等，都等于r.三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.圆心O应是三角形的三条角平分线的交点.知识点2新知探究已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.DMNOABC知识点2新知探究三角形内切圆的作法：作三角形任意两个内角的平分线，以两条角平分线的交点为圆心，以交点到三角形任意一边的距离为半径作圆即可.知识点2新知探究BACI如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段IA，IB，IC有什么特点？线段IA，IB

，IC分别是∠A，∠B，∠C的平分线.知识点2新知探究如图，分别过点I

作AB，AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，G，那么线段IE，IF，IG之间有什么关系？BACIEFGIE=IF=IG知识点2新知探究三角形内心的性质三角形的内心到三角形的三边距离相等，且等于其内切圆的半径.BACIEFG名称外心(三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点).内心(三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点).图形性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.三角形的内心到三角形三边的距离相等.位置外心不一定在三角形的内部.内心一定在三角形的内部.角度关系∠BOC=2∠A.知识点2新知探究三角形外心、内心的区别跟踪训练新知探究（2018·湖州中考）如图，已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是

.70°

A.△ACD的外心B.△ABC的外心C.△ACD的内心D.△ABC的内心随堂练习1如图为4×4的网格，A,B,C,D,O均在格点上，则点O是()B随堂练习2

随堂练习3如图，PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上，点E在PB上.(1)若PA=10，求△PDE的周长；(2)若∠P=50°，求∠DOE的度数.解：(1)因为PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,所以PA=PB，DA=DC，

EC=EB，所以PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20，所以△PDE的周长为20.随堂练习3

如图，PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上，点E在PB上.(1)若PA=10，求△PDE的周长；(2)若∠P=50°，求∠DOE的度数.课堂小结切线长切线长定理作用图形的轴对称性原理提供了证线段和角相等的新方法辅助线分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点.三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念内心概念及性质应用对接中考1（2020∙镇江模拟）如图，已知平面直角坐标系内三点A(3,0),B(5,0),C(0,4)，

☉P经过点A,B,C,则点P的坐标为()C

FEP对接中考2如图，☉O与正方形ABCD的两边AB,AD相切，且DE与☉O相切于点E.若☉O的半径为5,AB=11，则DE的长度为()B

解：连接OM，ON，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=11，∠A=90°，∵圆O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A，∵OM=ON，∴四边形ANOM是正方形，∴AM=OM=5，∵AD和DE与圆O相切，圆O的半径为5，∴AM=5，DM=DE，∴DE=11-5=6.

NM

对接中考3如图所示，王奶奶有一块三角形的布料，∠ABC=90°，她要裁一个圆片，已知AB=60cm，BC=80cm，为了充分地利用这块布料，使剪下来的圆片的直径尽量大些，她应该怎样裁剪?这个圆的直径是多少?

切线长定理1.如图，

PA

切☉

O

于点

A

，

PB

切☉

O

于点

B

，

OP

交☉

O

于点

C

，连接

AB

，下列结论中，错误的是(

D

)A.∠1＝∠2B.

PA

＝

PB

C.

AB

⊥

OP

D.以上都不对第1题图D1234567891011121314【解析】如图，连接

AO

，

OB

.

∵

PA

切☉

O

于点

A

，

PB

切☉

O

于点

B

，∴

PA

＝

PB

，即△

ABP

是等腰三角形.∵

OA

＝

OB

，

OP

＝

OP

，∴△

OPA

≌△

OPB

.

∴∠1＝∠2.∴

AB

⊥

OP

.

故选项A，B，C正确，不符合题意，选项D错误，符合题意.12345678910111213142.如图，

AB

，

AC

，

BD

均是☉

O

的切线，切点分别是

P

，

C

，

D

.

若

AB

＝10，

AC

＝6，则

BD

的长是(

B

)A.3B.4C.5D.6第2题图B【解析】∵

AC

，

AP

为☉

O

的切线，∴

AC

＝

AP

＝6.∵

BP

，

BD

为☉

O

的切线，∴

BP

＝

BD

.

∵

AB

＝10，∴

BD

＝

BP

＝

AB

－

AP

＝10－6＝4.12345678910111213143.如图是一个玩具从正面看到的图形，玩具的圆形脸恰好与帽子边沿

PA

，

PB

分别相切于点

A

，

B

，不倒翁的鼻尖正好是圆心

O

.

若∠

OAB

＝30°，则∠

APB

的度数为(

B

).A.50°B.60°C.25°D.90°第3题图B1234567891011121314【解析】∵

PA

切☉

O

于点

A

，

OA

是半径，∴

PA

⊥

OA

.

∴∠

PAO

＝90°.∵∠

OAB

＋∠

PAB

＝∠

PAO

，∴∠

PAB

＝∠

PAO

－∠

OAB

＝60°.∵

PA

，

PB

分别切☉

O

于点

A

，

B

，∴

PA

＝

PB

.

∴∠

PBA

＝∠

PAB

＝60°.∵∠

PAB

＋∠

PBA

＋∠

APB

＝180°，∴∠

APB

＝180°－60°－60°＝60°.1234567891011121314

三角形的内切圆4.三角形的内心是三角形的(

A

)A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点A12345678910111213145.如图，点

O

是△

ABC

的内心，若∠

BAC

＝80°，则∠

BOC

的度数为

(

D

)A.100°B.110°C.120°D.130°第5题图D1234567891011121314

12345678910111213146.如图，Rt△

ABC

的内切圆与边

AB

，

AC

，

BC

分别相切于点

D

，

E

，

F

.

若

AD

＝3，

BD

＝4，则△

ABC

的面积为(

C

)A.8B.10C.12D.14第6题图C1234567891011121314

1234567891011121314

7.(石家庄统考模拟预测)如图，将△

ABC

折叠，使

AC

边落在

AB

边上，展开后得到折痕

AD

.

将△

ABC

再次折叠，使

BC

边落在

BA

边

上，展开后得到折痕

BE

，

BE

与

AD

交于点

O

，则以下结论一定成立的

是(

C

)CA.

AO

＝2

OD

B.

S△

ABO

＝

S四边形

ODCE

C.点

O

到△

ABC

三边的距离相等D.点

O

到△

ABC

三个顶点的距离相等第7题图1234567891011121314【解析】∵

AD

，

BE

是折痕，∴

AD

平分∠

BAC

，

BE

平分∠

ABC

，点

O

为△

ABC

的内接圆的圆心.如图所示，作

OF

⊥

BC

于点

F

，

OG

⊥

AB

于点

G

，

OH

⊥

AC

于点

H

，

连接

OC

.

1234567891011121314A.∠

BAC

的度数无法确定，

OA

与

OD

的数量关系也不确定，故该选项

不符合题意；B.

AB

，

AC

，

BC

的长度不确定，

S△

ABO

，

S四边形

ODCE

的数量关系也不

确定，故该选项不符合题意；C.根据角平分线的性质可得，

OF

＝

OG

＝

OH

，即点

O

到△

ABC

三边

的距离相等，故该选项符合题意；D.

OA

≠

OB

≠

OC

，故该选项不符合题意.12345678910111213148.如图，☉

O

是四边形

ABCD

的内切圆.若∠

AOB

＝70°，则∠

COD

的

度数为(

A

)A.110°B.125°C.140°D.145°第8题图A1234567891011121314【解析】∵☉

O

是四边形

ABCD

的内切圆，∴∠

OAB

＝∠

OAD

，∠

ODA

＝∠

ODC

，∠

OCD

＝∠

OCB

，∠

OBC

＝∠

OBA

.

∵∠

OAB

＋∠

OAD

＋∠

ODA

＋∠

ODC

＋∠

OCD

＋∠

OCB

＋∠

OBC

＋∠

OBA

＝360°，∴∠

OAB

＋∠

ODC

＋∠

OCD

＋∠

OBA

＝∠

OAD

＋∠

ODA

＋∠

OCB

＋∠

OBC

＝180°.1234567891011121314∵∠

AOB

＝70°，∠

OAB

＋∠

OBA

＋∠

AOB

＝180°①，∠

ODC

＋∠

OCD

＋∠

COD

＝180°②，①＋②，得∠

OAB

＋∠

OBA

＋∠

ODC

＋∠

OCD

＋∠

AOB

＋∠

COD

＝

180°＋180°.∴∠

COD

＝180°－70°＝110°.12345678910111213149.如图，在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AC

＝8，

BC

＝6，☉

O

为△

ABC

的内切圆，与三边分别相切于点

D

，

E

，

F

，则☉

O

的半径是(

C

)A.1C.2D.3第9题图C【解析】如图，连接

OE

，

OF

.

设☉

O

的半径为

r

1234567891011121314由题意，知在四边形

OECF

中，

OE

＝

OF

＝

r

，∠

OEC

＝∠

OFC

＝∠

C

＝90°，∴四边形

OECF

是正方形.由切线长定理，得

AD

＝

AF

，

BD

＝

BE

，

CE

＝

CF

，

即☉

O

的半径为2.123456789101112131410.(邢台校考阶段练习)如图，半圆

O

的圆心在梯形

ABCD

的底边

AB

上，且半圆

O

与梯形的其他三边均相切，若

AB

＝6，

CD

＝2，则梯

形的周长为(

C

)A.8B.10C.14D.18第10题图C1234567891011121314【解析】如图，连接

OD

，

OC

.

∵

AD

，

CD

是☉

O

的切线，∴∠

ADO

＝∠

ODC

.

由题意，知

CD

∥

AB

，∴∠

ODC

＝∠

AOD

.

∴∠

ADO

＝∠

AOD

.

∴

AD

＝

OA

.

同理，可得

OB

＝

BC

，∴

AD

＋

BC

＝

OA

＋

OB

＝

AB

＝6.∵

CD

＝2，∴梯形的周长为

AB

＋

BC

＋

AD

＋

CD

＝6＋6＋2＝14.123456789101112131411.(石家庄校考阶段练习)如图，点

O

是△

ABC

外接圆的圆心，点

I

是△

ABC

的内心，连接

OB

，

IA

.

若∠

CAI

＝35°，则∠

OBC

的度数为

(

C

)A.15°B.17.5°C.20°D.25°C1234567891011121314【解析】如图，连接

OC

.

∵点

I

是△

ABC

的内心，∠

CAI

＝35°，∴∠

BAC

＝2∠

CAI

＝70°.∴∠

BOC

＝2∠

BAC

＝140°.∵

OB

＝

OC

，

123456789101112131412.【教材第100页练习第1题改编】如图，在△

ABC

中，点

O

是△

ABC

的内心，∠

BOC

＝110°，求∠

A

的度数.解：∵∠

BOC

＋∠

OBC

＋∠

OCB

＝180°，∠

BOC

＝110°，∴∠

OCB

＋∠

OBC

＝180°－110°＝70°.∵点

O

是△

ABC

的内心，∴∠

ABC

＝2∠

OBC

，∠

ACB

＝2∠

OCB

.

∴∠

ABC

＋∠

ACB

＝2(∠

OBC

＋∠

OCB

)＝2×70°＝140°.∴∠

BAC

＝

180°－(∠

ABC

＋∠

ACB

)＝180°－140°＝40°.123456789101112131413.如图，△

ABC

是直角三角形，以斜边

AB

为直径作半圆，半圆的圆

心为

O

，过

A

，

C

两点作半圆的切线，交点为

D

，连接

DO

交

AC

于点

E

.

(1)求证：

OD

∥

BC

；证明：(1)如图所示，连接

OC

.

∵

DA

，

DC

是半圆

O

的切线，∴

AD

＝

CD

，且

OA

⊥

AD

，

OC

⊥

CD

.

1234567891011121314又∵

OA

＝

OC

，

OD

＝

OD

，∴△

OAD

≌△

OCD

(SSS).∴∠

ADO

＝∠

CDO

，即

DO

是∠

ADC

的平分线.∴

DO

⊥

AC

.

又由题意，得

BC

⊥

AC

，∴

OE

∥

BC

.

1234567891011121314(2)若

AC

＝2

BC

，求证：

AB

＝

AD

.

证明：(2)由(1)知，

OE

∥

BC

，

DO

⊥

AC

，∴∠