信号与系统（第2版）课件全套 孙爱晶 第1-8章 绪论-系统状态变量分析

知识点：绪论信号与系统信号与系统课程地位“信号与系统”是高等学校本科通信工程、电子信息工程、物联网工程、广播电视、光电信息、微电子、自动化、测控等专业的一门重要专业基础课程，对理工科学生自学习能力、分析问题和解决问题能力的提高，科学思维培养有着深远的影响。“信号与系统”不仅是电子信息类相关专业的必修课，也是该类专业研究生入学考试的必考科目，在本科教学环节中占有极其重要的地位，是我们学习信息理论，掌握信息技术，促进国家信息化建设的理论基础，堪称为开启21世纪信息科学殿堂的一把钥匙。信号与系统课程地位

系统的描述与分析

信号与系统高等数学电路分析基础数字信号处理图像信号处理通信原理自动控制原理遥感信息处理语音信号处理数字电视原理信号与系统课程内容信号由系统产生、发送、传输处理和接收，离开系统没有孤立存在的信号。系统的功能就是对信号进行加工、变换与处理，不处理信号的系统没有存在意义。发送语音文字图片视频接收语音文字图片视频通信系统“信号”与“系统”相互依存。信号与系统课程内容“信号与系统”就是把实际的物理系统抽象为数学模型，通过分析数学模型求解激励与响应的变化关系从而研究系统性能的一门课程或一种方法。课程主要由“信号分析”和“系统分析”两大部分构成。信号分析：系统分析：信号的分解与组合：将一个信号分解为基本信号的线性组合，或者用一组信号的线性组合去表示另一个信号。在给定系统的前提下，求解数学模型，研究任意激励下的系统响应。

贯穿课程的主线就是求解系统数学模型，围绕着这条主线派生出各种不同的求解方法（时域和变换域），并由此构成课程的主要知识点。信号的建模：将现实生活中的物理信号通过数学方法抽象为数学表达式。第1章绪论第2章连续系统时域分析第3章离散系统时域分析第4章系统的频域分析第5章连续系统s域分析第6章离散系统z域分析第7章系统函数第8章系统状态变量分析

信号分析离散信号表示为的线性组合离散系统时域分析：系统单位序列响应信号的频谱系统频域分析：系统频率响应连续系统时域分析：系统冲激响应信号的定义、分类及运算系统的分类及特性连续信号表示为的线性组合系统状态方程的建立及求解系统函数、系统特性、系统流图离散系统的z域分析：系统函数离散信号的z变换连续系统的s域分析：系统函数连续信号的拉氏变换

系统的描述与分析

系统分析信号与系统课程特点“信号与系统”是一门以研究系统性能为目的，以信号和系统为核心知识点，以数学工具为基础，以建立系统模型为前提，以求解系统模型为手段的专业基础课。

（1）理论性强。主要介绍在时域和变换域中求解系统数学模型的各种数学手段。

（2）专业性强。生活中的各种系统必须依靠相关领域的基本定律和定理才能构建起系统的数学模型。

（3）应用领域广。课程的研究结果可以推广应用到自然科学和社会科学的很多系统中去，甚至可以应用于一些非线性系统的分析。信号与系统课程教学目标※牢固掌握信号与系统的基本原理和基本分析方法。※掌握信号与系统的时域、变换域分析方法，深刻理解各种信号变换（傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换）的数学概念和物理概念。※掌握信号分析与系统分析的基本思想，为学习后续课程奠定坚实理论基础。※帮助学生建立一种正确、科学、合理地分析问题与解决问题的普适思路或方法，学会如何将基础知识，尤其是数学知识应用于解决实际问题。信号与系统课程教材信号与系统课程教学安排及学时分配信号与系统课程成绩构成比例总成绩=平时成绩*40%+

期末考试*60%①MOOC平台成绩占40%（观看视频、单元测验、讨论发言、线上考试）②课程作业、思维导图成绩占30%③学习通测试成绩占30%平时成绩全员实名加入MOOC课程全员实名加入学习通建立班级课程微信群感言今日你不吃读书的苦，未来就有可能要吃生活的苦。所以，当你还有选择的时候，请你珍惜这份自由！学生时代努力读书，将来你会拥有选择的权利，选择有意义、有时间的工作，而不是被迫谋生。寄语立下人生志向，活出人生精彩；铺好今天沙石，走出明天大道！信号与系统课程教学安排及学时分配教学环节及学时主要内容学时分配授课习题课网络小计第一章信号与系统82210+2第二章连续系统的时域分析6127+2第三章离散系统的时域分析3023+2第四章傅里叶变换和系统频域分析142616+6第五章连续系统的s域分析6228+2第六章系统函数3124+2合计4081648+16信号与系统课程成绩构成比例总成绩=平时成绩*40%+期中考试10%+期末考试*50%①MOOC平台成绩占40%（观看视频、单元测验、讨论发言、线上考试）②课程作业、思维导图成绩占30%③学习通测试成绩占30%平时成绩全员实名加入MOOC课程全员实名加入学习通知识点：信号的分类信号与系统主讲人：吉利萍西安邮电大学信号是信息的载体，通常以声、光、电为载体传递信息。信号的定义声信号——铃声上、下课的铃声光信号——红绿灯电信号——心电图红灯停，绿灯行记录人体心脏的电活动信号的分类——确知信号与随机信号

确知信号：随机信号：在定义域上的任一时刻，都有确定的函数值。在任一时刻的取值都具有不确定性，只可能知道其统计特性。如在某个时刻取某一数值的概率。在信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义的信号，简称连续信号。值域连续值域不连续根据信号定义域划分信号的分类——连续时间信号与离散时间信号

连续时间信号：“连续”指函数的定义域—时间是连续的，但可含间断点，值域可连续也可不连续。“离散”指信号的定义域—时间是离散的，只在一些离散时间点上才有定义，简称离散信号或序列。序号：样值：

信号的分类——连续时间信号与离散时间信号

离散时间信号：k称为序号。对应某序号k的序列值称为第k个样点的样值。信号的分类——连续时间信号与离散时间信号

典型信号----指数信号信号的分类——连续时间信号与离散时间信号

典型信号----正弦信号振幅角频率初相信号的分类——连续时间信号与离散时间信号复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为θ时，如图：

典型信号----虚指数信号

f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…

f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…满足上述关系的最小T

(整数N)称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。信号的分类——周期信号与非周期信号周期信号：

是定义在区间，每隔一定时间(整数),按相同规律重复变化的信号。连续周期信号

f(t)满足：离散周期信号

f(k)满足:例：判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。T1和T2的最小公倍数。信号的分类——周期信号与非周期信号【结论】两个周期信号和的周期分别为和，若其

周期之比为有理数，则和信号仍为周期信号，且的周期为信号的分类——周期信号与非周期信号例：判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。解：和都是周期信号。的角频率，周期的角频率，周期由于

为无理数，故为非周期信号。信号的分类——周期信号与非周期信号例：判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。解：和都是周期信号的角频率，周期的角频率，周期由于

为有理数，故为周期信号，周期为T1和T2的最小公倍数

信号的分类——周期信号与非周期信号例：判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。解：整数有理数无理数序列是周期信号，周期序列是周期信号，周期序列是非周期信号M取使N为整数的最小整数信号的分类——周期信号与非周期信号例：判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。解：的数字角频率为无理数，为非周期序列。信号的分类——周期信号与非周期信号例：判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。解：的数字角频率，为有理数，周期的数字角频率，为有理数，周期为有理数，故为周期信号，周期为N1和N2的最小公倍数

8。信号的分类——周期信号与非周期信号【结论】连续正弦信号、必定是周期信号。离散正弦序列、不一定是周期信号。两个连续周期信号之和不一定是周期信号。两个离散周期序列之和必定是周期信号。

有理数？有理数？连续信号能量：连续信号功率：信号的分类——能量信号与功率信号将信号施加于电阻上，它所消耗的瞬时功率为，在区间的能量和平均功率定义为:能量信号功率信号离散信号能量：离散信号功率：信号的分类——能量信号与功率信号能量信号功率信号有界的周期信号都属于功率信号。时限有界信号都属于能量信号。【结论】有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如。例：判断下列信号是否为能量信号或功率信号。（1）解：信号的分类——能量信号与功率信号，该信号为能量信号。能量功率（2）洛必达准则信号的分类——能量信号与功率信号例：判断下列信号是否为能量信号或功率信号。解：，该信号既非能量信号，也非功率信号。能量功率的信号称为因果信号或有始信号。信号的分类——因果信号与反因果信号因果信号（有始信号）：常将时接入系统的信号，即在反因果信号：

将

的信号称为反因果信号。谢谢！信号的分类知识点：信号的基本运算信号与系统主讲人：吉利萍西安邮电大学

相加运算准则：在同一时刻对两个信号的取值进行对应相加。信号的基本运算

+例1：已知,求——相加运算信号的基本运算——相加运算

+例2：已知,求

相减运算准则：在同一时刻对两个信号的取值进行对应相减。信号的基本运算

_例3：已知,求——相减运算信号的基本运算——相乘运算

相乘运算准则：在同一时刻对两个信号的取值进行对应相乘。例4：已知,求

X注意：①

间断点处信号的导数可用冲激信号表示。②冲激的强度值为信号间断点处的跃变值。信号的基本运算——微分运算例5：已知,求微分间断点当时，当时，当时，信号的基本运算——积分运算例6：已知,求积分

分段积分是针对函数自变量

t

或

k

的变换运算。称为对信号的反转或反折运算。信号的基本运算——反转运算

反转运算：即将或以纵坐标为轴反转，反转反转信号的基本运算——反转运算例7：求和。设常数表示将信号右移，将右移。

左加右减信号的基本运算——时移运算

时移运算：表示将信号左移，将左移。是针对函数自变量

t

或

k

的变换运算。右移1左移1信号右移示例：如远程通信中接收信号的延时现象。信号的基本运算——时移运算例7：已知，求和。

左加右减右移左移信号的基本运算——时移运算例8：已知，求和。

左加右减表示将信号沿坐标轴进行扩展。，称为对信号的尺度变换。表示将信号沿坐标轴进行压缩。信号的基本运算——尺度变换运算

尺度变换运算：是针对函数自变量

t

或

k

的变换运算。(1)连续信号的尺度变换：压缩扩展例9：已知，求和。信号的基本运算——尺度变换运算尺度变换示例：影音文件播放时的加速、减速播放。用表示已录制声音的磁带信号，则表示将此磁带播放速度加快一倍，加速播放。表示将此磁带播放速度降低一半，减速播放。表示将此磁带倒转播放产生的信号。信号的基本运算——尺度变换运算表示在原序列中每隔点抽取一个数值。信号的基本运算——尺度变换运算(2)离散信号的尺度变换：设常数为正整数

抽取抽取-11表示在原序列各点之间插入个点。信号的基本运算——尺度变换运算(2)离散信号的尺度变换：设常数为正整数

内插内插例1：已知的波形，画出的波形图。

分析：的次序可任意。平移、反转、尺度变换三种基本运算信号的基本运算例题分析基本运算始终针对函数自变量

t

进行。法一：信号的基本运算例题分析右移4例1：已知的波形，画出的波形图。压缩反转信号的基本运算例题分析例1：已知的波形，画出的波形图。法二：压缩反转左移2信号的基本运算例题分析例1：已知的波形，画出的波形图。法三：反转左移4压缩信号的基本运算例题分析例2：已知的波形，画出的波形图。法一：压缩反转右移2信号的基本运算例题分析例2：已知的波形，画出的波形图。法二：压缩反转右移2信号的基本运算例题分析例2：已知的波形，画出的波形图。法三：压缩反转左移4谢谢！信号的基本运算知识点：阶跃函数和冲激函数信号与系统主讲人：吉利萍西安邮电大学函数本身或函数的导数有不连续点（跳变点）。

奇异函数

奇异函数：信号中的奇异点及不规则的突变部分经常携带有重要信息，是信号的重要特征之一，因此信号的奇异性检测具有重要意义。

四种奇异函数：斜升函数阶跃函数冲激函数冲激偶函数阶跃函数定义注意：处，函数无定义处，函数无定义处，函数无定义阶跃函数的时移：（1）可以方便地表示某些信号（2）用阶跃函数表示信号的作用区间阶跃函数性质斜升函数定义斜升函数的时移：斜升函数与阶跃函数的关系：冲激函数可以用来描述幅度极大，作用时间极短的物理量。冲激函数狄拉克定义

函数值只在时不为零；积分面积为1，冲激的强度为1。

时，，幅度无穷大，为无界函数。冲激函数的时移：冲激的幅度无穷大，宽度无穷小，面积为1，冲激的强度为1。冲激函数直观定义冲激函数与阶跃函数关系：求导冲激函数求导引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如冲激函数注意：①

间断点处信号的导数可用冲激信号表示。②冲激的强度值为信号间断点处的跃变值。求导

的一阶导数称为冲激偶。由此可见：冲激偶函数求导求导的面积等于零知识点：冲激和冲激偶函数的性质信号与系统主讲人：吉利萍西安邮电大学1、微积分运算冲激曲线覆盖的面积为1冲激偶曲线覆盖的面积为0冲激和冲激偶函数的性质.冲激和冲激偶函数的性质2、抽样性证明：冲激和冲激偶函数的性质2、抽样性冲激和冲激偶函数的性质2、抽样性01冲激和冲激偶函数的性质3、尺度变换运算4、奇偶性冲激信号是偶函数冲激偶信号是奇函数微分关系：积分关系：斜升、阶跃、冲激和冲激偶函数的关系单位样值序列定义性质例题单位阶跃序列定义单位样值序列与阶跃序列的关系例1：计算下列各题。冲激出现在时刻，积分区间中无信号奇异信号例题分析（1）（2）例1：计算下列各题。奇异信号例题分析（3）例1：计算下列各题。（5）（4）奇异信号例题分析例1：计算下列各题。（6）奇异信号例题分析（7）例1：计算下列各题。（8）（9）奇异信号例题分析冲激函数是偶函数奇异信号例题分析例2：已知，画出和

求导压缩压缩分析：冲激函数尺度变换时，其强度会发生变化积分要对

t进行分段讨论例3：已知波形，画出和波形。平移、反转、尺度变换均是针对

t进行奇异信号例题分析解：反转扩展右移2放大奇异信号例题分析例3：已知波形，画出和波形。当时，当时，当时，当时，积分要对

t进行分段讨论奇异信号例题分析例3：已知波形，画出和波形。谢谢！阶跃函数和冲激函数知识点：系统的分类和特性信号与系统主讲人：吉利萍西安邮电大学若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。系统的分类和特性系统的定义：系统的分类1——连续系统与离散系统连续系统：离散系统：系统的输入信号和输出信号均是连续信号系统的输入信号和输出信号均是离散信号系统的分类2——动态系统与即时系统

系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关。即时系统(无记忆系统）动态系统(记忆系统）含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。系统的分类3——单输入单输出系统与多输入多输出系统单输入单输出系统多输入多输出系统系统的分类和特性系统的分类4——线性系统与非线性系统线性系统：非线性系统满足齐次性和可加性的系统。动态系统的全响应：激励初始状态动态系统的全响应与和有关。动态系统的零输入响应：动态系统的零状态响应：系统的分类和特性动态系统为线性系统的三个条件：①可分解性：②零状态响应线性：设齐次性：可加性：③零输入响应线性：设齐次性：可加性：系统的分类和特性例1：判断下列系统是否为线性系统？（1）故不满足可分解性。系统的零状态响应为：因此该系统为非线性系统。（2）解：（1）

系统的零输入响应为：系统的分类和特性故全响应满足可分解性。例1：判断下列系统是否为线性系统？（2）解：（2）系统的零状态响应为：①判断是否满足可分解性？

系统的零输入响应为：系统的分类和特性设当故零输入响应满足线性性质。例1：判断下列系统是否为线性系统？（2）②判断零输入响应是否满足线性？

解：（2）当系统的分类和特性零输入响应：例1：判断下列系统是否为线性系统？（2）③判断零状态响应是否满足线性？

解：（2）当当设，故零状态响应满足线性性质。三个条件均满足，该系统为线性系统。系统的分类和特性零状态响应：系统的分类和特性系统的分类5——时不变系统与时变系统时不变系统：时变系统满足时不变性质的系统。例：

零状态响应例2：判断下列系统是否为时不变系统？（1）解：由题已知令，则有则可见：当时，故该系统满足时不变特性，为时不变系统。系统的分类和特性（2）解：由题已知则令，则有可见：当时，故该系统不满足时不变特性，为时变系统。例2：判断下列系统是否为时不变系统？系统的分类和特性（3）解：由题已知则令，则有可见：当时，故该系统不满足时不变特性，为时变系统。例2：判断下列系统是否为时不变系统？系统的分类和特性（4）解：由题已知则令，则有可见：当时，故该系统不满足时不变特性，为时变系统。例2：判断下列系统是否为时不变系统？系统的分类和特性若或中任意一项的系数是或的显式函数；①若或中任意一项进行了尺度变换运算；②若或中任意一项进行了反转运算；③【总结】系统时变性的三大标志性特征：系统的分类和特性LTI连续系统的微分特性和积分特性

本课程重点讨论线性时不变系统(LinearTime-Invariant)，简称LTI系统。①微分特性：②积分特性：若，若，则则系统的分类和特性

因果系统的输出不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。系统的分类和特性系统的分类6——因果系统与非因果系统

非因果系统因果系统：当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出

(响应）的系统。例1：分析下列系统是否为因果系统？因果系统因果系统非因果系统系统因果性的判断方法：输出不超前于输入。（1）（2）（3）（4）（5）非因果系统非因果系统系统的分类和特性例2：某LTI因果连续系统，起始状态为。已知：当，输入因果信号时，全响应为：；当，输入信号时，全响应为：

求输入时，系统的零状态响应。分析：利用LTI因果系统的线性和因果性进行分析求解。①全响应=零输入响应+零状态响应②零输入响应线性③零状态响应线性④LTI系统的微积分特性系统的分类和特性①②③④将式③和式④代入到①②式中，求得：解：已知已知起始状态已知输入信号系统的分类和特性LTI系统的微分特性：LTI系统的时不变特性：已知，根据LTI系统的线性特性：

系统的分类和特性系统的分类7——稳定系统与不稳定系统

不稳定系统稳定系统：则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。若系统的输入，其零状态响应，

例3：分析下列系统是否为稳定系统？稳定系统不稳定系统输入有界，但输出无界（1）（2）系统的分类和特性谢谢！系统的分类和特性知识点：LTI连续系统微分方程的经典解信号与系统LTI连续系统的激励与响应之间的关系可用n

阶常系数线性微分方程描述：微分方程的全解由齐次解

和特解

组成。微分方程的全解就是该系统的输出响应。LTI连续系统微分方程的经典解齐次解列特征方程求特征根设齐次解LTI连续系统微分方程的经典解

齐次解的函数形式仅仅与系统本身特性有关，而与激励的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。固有响应（自由响应）表1不同特征根所对应的齐次解LTI连续系统微分方程的经典解特征根齐次解二实根二实根单实根

根据微分方程右端激励的形式，设含待定系数代入微分方程求出特解。的特解函数式根据初始条件确定齐次解系数，得到全解。

全解=齐次解+特解LTI连续系统微分方程的经典解特解全解

特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。强迫响应LTI连续系统微分方程的经典解表2不同特征根所对应的特解LTI连续系统微分方程的经典解例1：某LTI连续因果系统的微分方程为已知当输入时，系统的全响应为，求该系统的强迫响应为

A.B.C.D.B例2：描述某系统的微分方程为,求(1)当时的全解。(2)当时的全解。特征方程：特征根：(1)解：①齐次解：齐次解：LTI连续系统微分方程的经典解当

时，其特解可设为：将特解代入微分方程得：解得特解：LTI连续系统微分方程的经典解

②特解：待定常数C1，C2由初始条件确定。解得：全解：

自由响应（齐次解）强迫响应（特解）LTI连续系统微分方程的经典解

③全解：当激励时，其指数与特征根之一相重，设特解为：代入微分方程可得：

所以

，但不能求得。LTI连续系统微分方程的经典解齐次解同(1)(2)解：例2：描述某系统的微分方程为,求(1)当时的全解。(2)当时的全解。

因而也不能区分自由响应和强迫响应。求得微分方程的全解为：，不能区分

C1和P0

LTI连续系统微分方程的经典解全解为：

LTI连续系统微分方程的经典解经典法求解LTI系统微分方程的不足：若系统激励发生变化，需要重新求解微分方程的特解和全解。若系统初始状态发生变化，需要重新求解微分方程的全解。若系统激励比较复杂，则难以求解微分方程的特解和全解。知识点：LTI连续系统的初始值信号与系统主讲人：吉利萍西安邮电大学在

时刻，激励

尚未

初始值初始值激励

在

时接入系统，的历史信息。LTI连续系统的初始值反映的是系统的历史状态，接入系统，该时刻的值与激励无关。包含了激励

的作用，

不便于描述系统激励

是在

时接入系统，则用经典法求解微分方程时，

要确定待定系数

，应利用

时刻的初始值

。例1:描述某系统的微分方程为已知

求

和。解:中不含有即

在

处连续冲激函数系数平衡法中不含有即

在

处连续则中不含有则中不含有

一般容易获知，初始值如何从

求得

？初始值LTI连续系统的初始值例2:描述某系统的微分方程为已知

求

和

。解:中含有则中含有中不含有

一般容易获知，初始值如何从

求得

？初始值冲激函数系数平衡法即

在

处连续则中不含有LTI连续系统的初始值对微分方程两端同时在

无穷小区间上进行积分:

在

处连续已知LTI连续系统的初始值

例3：某系统微分方程为解：已知

求

和

。冲激函数系数平衡法为不含的某函数LTI连续系统的初始值为不含的某函数把上式代入得：LTI连续系统的初始值①②③对式②从0-到0+积分得对式③从0-到0+积分得

初始值

：LTI连续系统的初始值

利用冲激函数系数平衡法进行分析：

当微分方程等式右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。①当微分方程等式右端不含冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数就不会跃变，0-值就等于0+初始值。②通过将微分方程两端在区间[0-,0+]上积分，并比较方程两端的系数，从而由0-初始值求出0+初始值。总结：如何从已知的

求得

？初始值初始值LTI连续系统的初始值信号与系统主讲人：吉利萍西安邮电大学知识点：LTI系统的零输入响应和零状态响应

对于LTI连续系统

全响应

=

零输入响应

+

零状态响应

齐次方程特征根齐次解非齐次方程，全解=齐次解+特解LTI系统的零输入响应和零状态响应零输入响应零状态响应

经典法求解思路：【注】零输入响应和零状态响应初始值的确定：对

时接入激励

的系统，时刻激励尚未接入对于零输入响应，激励为0LTI系统的零输入响应和零状态响应例1：某LTI系统微分方程为已知，，，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。激励为0，故零输入响应

满足齐次方程:特征方程:特征根:

零输入响应

①LTI系统的零输入响应和零状态响应解:设零输入响应为:

零输入响应

的

初始值为:代入初始值求得:

故系统的零输入响应为：LTI系统的零输入响应和零状态响应特征根:②零状态响应满足方程:且

,连续先求

的

初始值:

LTI系统的零输入响应和零状态响应满足方程:令

,方程可写为:特征根:齐次解:设为常数,

代入微分方程,求得特解:全解:

代入初始值,

求得

故系统的零状态响应为:

LTI系统的零输入响应和零状态响应③全响应全响应

=零输入响应

+零状态响应

自由响应强迫响应【总结】①全响应可以分解为零输入响应和零状态响应，

也可分解为自由响应（齐次解）和强迫响应（特解）。LTI系统的零输入响应和零状态响应【总结】②自由响应包含零输入响应的全部和零状态响应的一部分。LTI系统的零输入响应和零状态响应③全响应全响应

=零输入响应

+零状态响应

自由响应强迫响应全响应

=零输入响应

+零状态响应

自由响应强迫响应【总结】③随着时间

t

的增长衰减为

0的项称为瞬态响应，

稳定有界的强迫响应称为稳态响应。瞬态响应稳态响应LTI系统的零输入响应和零状态响应③全响应谢谢！LTI连续系统的响应知识点：LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（一）信号与系统主讲人：吉利萍西安邮电大学冲激响应的定义：LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（一）单位冲激信号激励下系统的零状态响应，称为系统的单位冲激响应，简称冲激响应，一般用表示。冲激响应反映了系统的特性。

对于连续LTI系统微分方程：冲激响应的求解方法：令，则，方程右端为及其各阶导数的线性组合，①利用冲激函数的系数平衡法求得初始值；②再令，此时方程右端等于0，方程为齐次方程；则在时，具有和方程齐次解相同的形式。LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（一）解：

例1：描述某LTI系统的微分方程为

求其冲激响应。令，则，先求

和；已知

处连续LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（一）令，此时方程为齐次方程：

初始值

：系统的冲激响应为一齐次解，微分方程的特征根为和。设系统的冲激响应为：代入初始条件求得：由于中不含有，故该系统的冲激响应为：LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（一）阶跃响应的定义：单位阶跃信号激励下系统的零状态响应，称为系统的单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用表示。LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（一）阶跃响应与冲激响应的关系：微分特性积分特性LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（一）知识点：LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（二）信号与系统主讲人：吉利萍西安邮电大学

对于连续LTI系统微分方程：冲激响应的求解方法：令，则，方程右端为及其各阶导数的线性组合，①利用冲激函数的系数平衡法求得初始值；②再令，此时方程右端等于0，方程为齐次方程；则在时，具有和方程齐次解相同的形式。LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（二）

例2：某系统微分方程为求其冲激响应。解：令，则，已知先求

和。利用冲激函数的系数平衡法可以确定：LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（二）为不含的某函数把上式代入得：LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（二）①②③对式②从0-到0+积分得对式③从0-到0+积分得

初始值

：LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（二）令，此时方程为齐次方程：微分方程的特征根为和。设系统冲激响应为：

初始值

代入，求得：考虑到故该系统的冲激响应为：LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（二）例3:填空题

（1）积分器的单位冲激响应为（2）微分器的单位冲激响应为（3）积分器的单位阶跃响应为（4）微分器的单位阶跃响应为（5）对连续信号延迟的延迟器的单位冲激响应为LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（二）知识点：LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（三）信号与系统主讲人：吉利萍西安邮电大学解：利用冲激响应的定义,例4：某LTI系统，其输入

与输出

的关系为：，求该系统的冲激响应。令，则，LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（三），求该系统的冲激响应。例5：某LTI系统，其输入

与输出

的关系为：解：利用冲激响应的定义,令，则，LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（三）例6：已知一连续LTI系统的单位冲激响应为求该系统的单位阶跃响应。解：该系统的单位阶跃响应为：利用阶跃响应与冲激响应的关系：LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（三）例7:已知某LTI连续系统的单位阶跃响应为，

求下图所示的信号

作用于该系统的零状态响应。解：利用阶跃响应的定义知：利用LTI系统的线性、时不变性：LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（三）求解系统的全响应方法：（1）时域经典法：完全解＝齐次解＋特解（2）双零法：系统全响应＝零输入响应＋零状态响应（1）求零输入响应：利用经典法求解齐次方程。（2）求零状态响应：利用经典法求微分方程的齐次解和特解。若已知系统的冲激响应，可用卷积积分求系统的零状态响应。麻烦复杂LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应（三）谢谢！LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应知识点：信号的时域分解信号与系统主讲人：吉利萍西安邮电大学思考问题：LTI系统（零状态）

任意信号通过LTI系统的零状态响应

应该如何求得？LTI系统（零状态）？信号的时域分解首先确定任意信号

与冲激信号

之间的关系。求取较容易信号的时域分解LTI系统（零状态）

LTI系统（零状态）线性组合线性组合

任意信号

均可以表示为一系列强度不同、接入时刻不同的

冲激信号

的和，即信号的时域分解知识点：卷积积分信号与系统主讲人：吉利萍西安邮电大学h(t)的定义：叠加性：时不变性：齐次性：卷积积分

LTI系统(零状态)结论：卷积积分

LTI系统(零状态)

卷积积分任意信号通过LTI系统的零状态响应就是：激励与该系统的冲激响应的卷积积分。

为与的卷积积分，简称卷积；注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，

t为参变量。积分结果仍为

t

的函数。已知定义在区间

上的两个函数

和

，则定义积分卷积积分例1：

计算卷积积分解：卷积积分

利用阶跃信号确定积分限

对参变量

t注意讨论！卷积积分例2：

计算卷积积分解：

利用阶跃信号确定积分限

对参变量

t注意讨论！卷积积分例3：

计算卷积积分解：

利用阶跃信号确定积分限知识点：卷积积分的图解法信号与系统主讲人：吉利萍西安邮电大学卷积积分：卷积积分的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元：（2）反转平移：（3）乘积：（4）乘积的积分：卷积积分中积分限的确定是非常关键的，t为参变量。换为换为反转右移从到对积分卷积积分的图解法例1：和如图所示，求。解：先换元，再选择简单的函数进行反转换元反转卷积积分的图解法例1：和如图所示，求。解：对右移，再进行相乘积分①卷积积分的图解法例1：和如图所示，求。解：对右移，再进行相乘积分②卷积积分的图解法例1：和如图所示，求。解：对右移，再进行相乘积分③卷积积分的图解法例1：和如图所示，求。解：对右移，再进行相乘积分④卷积积分的图解法例1：和如图所示，求。解：对右移，再进行相乘积分⑤卷积积分的图解法例1：和如图所示，求。⑤①②③④图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。解：卷积积分的图解法利用图解法求某一时刻的卷积值时，确定积分的上下限是关键。例2：、如图所示，已知，求换元反转右移2解：卷积积分的图解法利用图解法求某一时刻的卷积值时，确定积分的上下限是关键。例2：、如图所示，已知，求

X积分面积为0谢谢！卷积积分知识点：卷积积分的性质信号与系统主讲人：吉利萍西安邮电大学

卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），

灵活地运用其性质能简化卷积运算。

一、卷积积分的代数性质卷积积分满足乘法的三大定律：（1）交换律卷积积分的性质下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统的冲激响应之和。卷积积分的性质（2）分配律子系统级联时，总系统的冲激响应等于各子系统的冲激响应的卷积。卷积积分的性质（3）结合律

例1：图中子系统

是一LTI系统。

当激励时，该子系统的零状态响应为

。

若给定激励为

，求下图所示系统的零状态响应

。卷积积分的性质利用阶跃响应和冲激响应的关系，有①先求出子系统的冲激响应：②依据子系统的串并联关系，求出总系统的冲激响应为：③利用卷积积分求出总系统的零状态响应为：卷积积分的性质解：已知证明：证明：（1）普通函数和冲激函数的卷积冲激函数是偶函数卷积积分的性质

二、奇异函数的卷积特性11证明：卷积积分的性质（2）普通函数和阶跃函数的卷积证明：证明：冲激偶函数是奇函数卷积积分的性质（3）普通函数和冲激偶函数的卷积卷积积分的性质例2：计算下列各题。（1）（2）卷积积分的性质例2：计算下列各题。（3）（4）卷积积分的性质例2：计算下列各题。（5）（6）（1）卷积的微分特性

证明：卷积积分的性质

三、卷积的微积分特性证明：卷积积分的性质（2）卷积的积分特性

在

和

的前提下，卷积积分的性质（3）卷积的微积分特性

解：代入卷积定义式：因为不满足前提条件：例3：

，求

。注意：若利用

，

显然是错误的。卷积积分的性质解：例4：

如图，

，求

。卷积积分的性质四、卷积的时移特性若则卷积积分的性质解：由于

，根据卷积的时移特性，有：例5：

如图，求

。卷积积分的性质例6：如图所示零状态系统，

，求图中系统的响应

。

解：总系统的冲激响应为：卷积积分的性质卷积积分的性质解：总系统的冲激响应为：例6：如图所示零状态系统，

，求图中系统的响应

。

例7：某连续LTI系统的单位阶跃响应为，若系统的激励为，求系统的零状态响应。解法一：解法二：利用阶跃响应的定义和LTI系统的时不变性利用冲激响应的定义和卷积积分的物理意义卷积积分的性质

求卷积是本章的重点与难点。求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。卷积积分的性质谢谢！卷积积分的性质知识点：相关函数信号与系统主讲人：吉利萍西安邮电大学相关函数相关函数是衡量信号之间关联或相似程度的一个函数，它表示两个信号之间或同一个信号相隔时间

t的相互关系。

互相关函数

自相关函数相关函数2、对于能量信号，自相关函数定义为：

一、相关函数的定义1、对于能量信号和，互相关函数定义为：

相关函数4、对于功率信号，自相关函数定义为：

3、对于功率信号和，互相关函数定义为：

相关函数

二、相关函数的性质1、自相关函数具有偶对称性：2、互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关：相关函数

三、相关函数的求解方法1、解析法：利用定义式进行计算。2、图解法：换元平移相乘积分相关函数和卷积积分的运算方法有相同之处：卷积积分需要反转相关函数不需要反转222222第三章离散系统的时域分析第三章离散系统的时域分析

离散系统分析与连续系统分析在许多方面是相互平行的，它们有许多类似之处。LTI连续系统用常系数线性微分方程描述，

LTI离散系统用常系数线性差分方程描述。差分方程与微分方程的求解方法相互对应。

既要利用二者之间的相似性，也要注意二者之间的重要差异。

内容概述3.1LTI离散系统的响应3.2单位序列响应和阶跃响应3.3卷积和1、差分与差分方程2、差分方程的求解

3、零输入响应和零状态响应1、单位序列响应

2、阶跃响应1、序列分解与卷积和2、图解法求卷积和3、不进位乘法求卷积和4、卷积和的性质引言LTI离散时间系统的输入输出信号关系可以用N阶线性常系数差分方程描述。LTI离散系统的时域分析，归结为：建立并求解线性常系数差分方程。

分析系统的方法：列写方程，求解方程。

（1）了解LTI离散时间系统的差分方程求解；（2）掌握系统的单位序列响应和阶跃响应；（3）掌握卷积和的概念及计算；（4）掌握零输入响应和零状态响应的求解方法。本章教学基本要求227227

3.1LTI离散系统的响应主讲人：吉利萍通信与信息工程学院

仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。离散信号的变化率有两种表示形式：3.1.1差分与差分方程微分运算：差分运算：一阶前向差分：

一阶后向差分：

差分的线性性质：

二阶差分的定义：

[]

m阶差分的定义：

3.1.1差分与差分方程

若单输入-单输出的LTI离散时间系统的激励为f(k)，全响应为y(k)，则描述系统激励

f(k)与响应

y(k)之间关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程：差分方程：包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。3.1.1差分与差分方程

差分方程是递推的代数方程，若已知激励

和初始条件，利用迭代法可求得其数值解。例：若描述某系统的差分方程为：已知初始条件

y(0)=0,y(1)=2,激励

,求

y(k)。解：……

一般不易得到解析形式的(闭合)解。

3.1.2差分方程的求解迭代法：

差分方程的解由齐次解和特解两部分组成：

（1）齐次解：齐次差分方程的解。齐次解特解3.1.2差分方程的求解经典法：

（2）特解：特解的形式与激励的函数形式有关。齐次解：列特征方程求特征根表1不同特征根所对应的齐次解设齐次解3.1.2差分方程的求解特征根

齐次解

齐次解单实根

二实根二实根特解：

根据微分方程右端激励的形式，设含待定系数代入差分方程求出特解。的特解函数式全解：根据初始条件确定齐次解系数，得到全解。

全解=齐次解+特解3.1.2差分方程的求解

特解：特解的形式与激励的函数形式有关。3.1.2差分方程的求解例1：若描述某系统的差分方程为

y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=–1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。解：特征方程为λ2+4λ+4=0

特征根λ1=λ2=–2，齐次解：

yh(k)=(C1k+C2)(–2)k

特解：yp(k)=P