2025秋湘教版数学九年级上册课件 3.1.2 成比例线段

3.1比例线段3.1.2成比例线段第三章图形的相似学习目标【学习目标】1．了解线段的比的概念，并会求线段的比值．2．了解成比例线段的意义，并会判断四条线段是否成比例．3．了解黄金分割的定义、探索黄金分割比．【学习重点】线段的比的概念和成比例线段的意义．【学习难点】探索黄金分割比。情景导入1．有经验的主持人一般站在舞台上的哪个位置？是正中央吗？2．人为什么在环境气温22℃～23℃下感到最适宜？答：有经验的主持人会站在舞台的黄金分割点，最自然得体．答：人的正常体温是36℃～37℃，而36℃×0.618＝22.248℃，37℃×0.618＝22.866℃，正好为22℃～23℃.如图3-1，在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC和△A′B′C′，它们的顶点都在格点上.试求出线段AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长度，并计算AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的长度的比值.新课引入自学互研知识模块一两条线段的比一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB，A′B′的长度分别为ｍ，ｎ，那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB与A′B′的比(ratio)，记作

，或AB∶A′B′＝m∶n.

如果的比值为ｋ，那么上述式子也可写成或AB

＝ｋ·A′B′.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段.自学互研

如果选用同一单位长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比AB∶CD＝______，或写成

＝____．自学互研范例m∶n归纳在同一单位下，两条线段长度的比叫作这两条线段的比．【例1】A、B两地的实际距离为3000m，画在图上的距离A′B′＝6cm.求图上距离与实际距离的比．范例解：∵AB＝3000m＝300000cm，∴图上距离与实际距离的比是A′B′∶AB＝6∶300000＝1∶5000.已知线段a，b，c，d

的长度分别为0.8cm，2cm，1.2cm，3cm，问a，b，c，d

是比例线段吗？∴，即a，b，c，d是比例线段.解：自学互研知识模块二成比例线段

例1.已知a，b，c，d四条线段，a＝5cm，b＝4cm，c＝10cm，d＝8cm，则这四条线段成比例吗？请说明理由．自学互研范例解：这四条线段成比例线段．归纳

一般地，在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段．范例

例2已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例．(1)a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm.(2)由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例．

古希腊数学家、天文学家欧多克塞斯(Eudoxus，约前400—约前347)曾经提出一个问题：能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比？即，使得成立？知识模块三黄金分割如果这能做到的话，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比.自学互研归纳如图，设线段AB的长度为1个单位，AC的长度为x个单位，则CB的长度为(1-x)个单位.①根据①式，列出方程：②

由于x≠0，因此方程②两边同乘以x，得1–x=x2，即x2+x-1=0. ③自学互研因此，.解得（舍去）.所以我们一定可以把一条线段黄金分割，黄金分割比为，它约等于0.618自学互研

线段黄金分割的比值引起了人们极大的注意.许多建筑物的轮廓矩形(例如古希腊时期的巴台农神庙的正面轮廓矩形)的高与宽之比，门窗的宽与高之比都约等于0.618，这样看上去美观.巴台农神庙自学互研印度泰姬陵正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比.自学互研

著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用.通过上面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美.自学互研自学互研范例

如图，把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，即_____＝______，叫作线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长的线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比．黄金分割比为

＝

≈0.618．归纳自学互研

例1.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士的身高为1.65米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.00米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美．(精确到十分位)解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则

＝0.618.解得：x≈5.2cm.故她应该选择约5.2cm的高跟鞋看起来更美．检测反馈1．一支长为20cm的钢笔在太阳光下的影子长为0.5m，则钢笔的实物长与影长的比为(

)A．40∶1B．1∶40C．5∶2D．2∶52．下列各组中的四条线段成比例的是(

)A．1cm，2cm，20cm，40cmB．1cm，2cm，3cm，4cmC．4cm，2cm，1cm，3cmD．5cm，10cm，15cm，20cm

DA3．已知线段a，b，c，d成比例(即a∶b＝c∶d)，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则d等于()A．1cm

B．10cm

C.cm

D.cm

B

4．已知点E是线段MN的黄金分割点(ME>EN)，则下列式子中正确的是(

)A比例线段两条线段的比：比例线段①长度单位统一；②与单位无关，本身没有单位；③两条线段有顺序要求.①概念：项、比例内项、比例外项；②