2.8 平衡中的临界与极值问题（模拟）

专题2.8平衡中的临界、极值问题1.如图所示，质量均为m的小球A、B用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O点，在外力F的作用下，小球A、B处于静止状态．若要使两小球处于静止状态且悬线OA与竖直方向的夹角θ保持30°不变，则外力F的大小()A．可能为eq\f(\r(3),3)mgB．可能为eq\f(\r(5),2)mgC．可能为eq\r(2)mgD．可能为mg【答案】BCD【解析】本题相当于一悬线吊一质量为2m的物体，悬线OA与竖直方向夹角为30°，与悬线OA垂直时外力F最小，大小为mg，所以外力F大于或等于mg，故B、C、D正确．2.重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳如图所示连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为()A.eq\f(1,2)GB.eq\f(\r(3),3)GC.GD.eq\f(2\r(3),3)G【答案】A【解析】对A球受力分析可知，因O、A间绳竖直，则A、B间绳上的拉力为0.对B球受力分析如图所示，则可知当F与O、B间绳垂直时F最小，Fmin＝Gsinθ，其中sinθ＝eq\f(l,2l)＝eq\f(1,2)，则Fmin＝eq\f(1,2)G，故A项正确.3.(多选)如图所示，两个大小不计质量均为m的物体A、B放置在水平地面上，一根长为L不可伸长的轻绳两端分别系在两物体上，绳恰好伸直且无拉力，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力F，使两物体慢慢靠近，直至两物体接触，已知两物体与水平地面间的动摩擦因数均为eq\f(\r(3),3)，则在两物体靠近的过程中下列说法正确的是()A．拉力F一直增大B．物体A所受的摩擦力不变C．地面对A物体的支持力先减小后增大D．当两物体间的距离为eq\f(\r(3),2)L时，绳上的拉力最小【答案】AD【解析】A项，设两根绳子之间的夹角为α，对结点O受力分析如图甲所示，由平衡条件得：F1＝F2＝eq\f(F,2cos\f(α,2))，再对任一球(如右球)受力分析如图乙所示，球刚好滑动的临界条件是：F2sineq\f(α,2)＝μFN.又F2coseq\f(α,2)＋FN＝G.联立解得：F＝eq\f(2μG,μ＋tan\f(α,2))＝eq\f(2μmg,μ＋tan\f(α,2))，当两个物体逐渐靠近的过程中，α角逐渐减小，拉力F增大，故A项正确；D项，设绳子与地面夹角为θ时绳子拉力最小，根据平衡条件可得：F1cosθ＝f＝μ(mg－F1sinθ)，解得F1＝eq\f(μmg,cosθ＋μsinθ)＝eq\f(μmg,\r(μ2＋1)（\f(1,\r(μ2＋1))cosθ＋\f(μ,\r(μ2＋1))sinθ）)令sinβ＝eq\f(1,\r(μ2＋1))，则β＝60°，所以有：F1＝eq\f(μmg,\r(μ2＋1)·sin（β＋θ）)，当β＋θ＝90°时F1最小，此时θ＝30°，两物体相距x＝2×eq\f(L,2)cosθ＝eq\f(\r(3),2)L，故D项正确；B项，由于绳子拉力先变小再变大，所以摩擦力f＝F1cosθ，θ一直增大，所以摩擦力一定是变力，故B项错误；C项，以整体为研究对象，拉力F一直增大，竖直方向受力平衡，则地面对两个物体的支持力一直减小，故C项错误．4.如图所示，物体的重量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=600的拉力F，若要两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。【答案】2033N～【解析】根据平衡条件，有：x方向Fcos600=FC+FBcos600,y方向Fsin600+FBsin600=mg,解得：F5.如图所示，斜面与水平面的夹角为370，物体A质量为2kg，与斜面间摩擦因数为0.4，若要使A在斜面上静止，求：物体B质量的最大值和最小值。（sin370=0.6，cos370=0.8，g=10N/kg，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）【答案】最小值为0.56kg，最大值为1.84kg.【解析】对物体A，受重力、支持力、拉力和摩擦力而平衡，在垂直斜面方向，有：N=mAgcos370=16N,物体A与斜面之间的最大静摩擦力fmax=μN=6.4N,因为物体受到的静摩擦力可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，当物体受到的摩擦力等于最大静摩擦力且方向沿斜面向上时根据受力平衡有：T1+6.如图所法，一个质量为m的物体放在倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanθ，现对物体施一水平推力，试分析：（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（1）要使物体静止在斜面上，推力F为多少时，物体将不受摩擦力？（2）要使物体静止在斜面上，水平推力F应该满足什么条件？（3）要使物体在斜面上匀速运动，水平推力F应满足什么条件？【答案】（1）mgtanθ（2）sinθ-μcosθμsinθ+cosθmg<F<sinθ+μcosθcosθ-μsinθmg（3）【解析】（1）以物体为研究对象进行受力分析如图所示，根据共点力的平衡条件可得：水平方向：F=Nsinθ竖直方向：Ncosθ=mg，联立解得：F=mgtanθ(2)因为μ＜tanθ，所以当F＝0时，物体不能静止。若物体在力F的作用下刚好不下滑，则物体受沿斜面向上的最大静摩擦力，且此时F最小，对物体受力分析，如图甲所示，由平衡条件得：mgsinθ＝Fcosθ＋f①N＝mgcosθ＋Fsinθ②f＝μN③由①②③解得Fmin＝sinθ-μcosθ若物体在力F的作用下刚好不上滑，则物体受沿斜面向下的最大静摩擦力，且此时F最大，对物体受力分析，如图乙所示，由平衡条件得：mgsinθ＋f＝Fcosθ