中学数学空间位置习题解析

中学数学空间位置习题解析一、空间位置关系的核心类型与基础定理空间位置关系是立体几何的基石，贯穿于棱柱、棱锥、球等几何体的研究，也是高考立体几何题的核心考点（约占立体几何分值的40%~50%）。其核心类型可分为线线关系、线面关系、面面关系三大类，每类关系的判定与性质均需严格依据定理。（一）线线位置关系：平行、相交、异面1.定义平行：同一平面内无公共点的两条直线（记作\(a\parallelb\)）；相交：同一平面内有且仅有一个公共点的两条直线（记作\(a\capb=P\)）；异面：不同在任何一个平面内的两条直线（既不平行也不相交）。2.判定定理平行：①公理4（平行传递性）：\(a\parallelb\)且\(b\parallelc\)，则\(a\parallelc\)；②线面平行性质：\(a\parallel\alpha\)且\(a\subset\beta\)，\(\alpha\cap\beta=b\)，则\(a\parallelb\)；③面面平行性质：\(\alpha\parallel\beta\)且\(\alpha\cap\gamma=a\)，\(\beta\cap\gamma=b\)，则\(a\parallelb\)。异面：反证法（假设共面，推出矛盾）；或利用“过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线异面”。3.性质平行直线：具有传递性、对称性；相交/异面直线：夹角范围为\((0^\circ,90^\circ]\)（异面直线需通过平移转化为相交直线夹角）。（二）线面位置关系：平行、相交（含垂直）1.定义平行：直线与平面无公共点（记作\(a\parallel\alpha\)）；相交：直线与平面有且仅有一个公共点（记作\(a\cap\alpha=P\)）；其中，直线与平面内所有直线垂直时称为线面垂直（记作\(a\perp\alpha\)）。2.判定定理平行：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行（\(a\not\subset\alpha\)，\(b\subset\alpha\)，\(a\parallelb\)⇒\(a\parallel\alpha\)）；垂直：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则线面垂直（\(a\perpb\)，\(a\perpc\)，\(b\capc=P\)，\(b,c\subset\alpha\)⇒\(a\perp\alpha\)）。3.性质线面平行⇒线线平行（\(a\parallel\alpha\)，\(a\subset\beta\)，\(\alpha\cap\beta=b\)⇒\(a\parallelb\)）；线面垂直⇒线线垂直（\(a\perp\alpha\)，\(b\subset\alpha\)⇒\(a\perpb\)）。（三）面面位置关系：平行、相交（含垂直）1.定义平行：两个平面无公共点（记作\(\alpha\parallel\beta\)）；相交：两个平面有一条公共直线（记作\(\alpha\cap\beta=l\)）；其中，二面角为\(90^\circ\)时称为面面垂直（记作\(\alpha\perp\beta\)）。2.判定定理平行：一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则面面平行（\(a\subset\alpha\)，\(b\subset\alpha\)，\(a\capb=P\)，\(a\parallel\beta\)，\(b\parallel\beta\)⇒\(\alpha\parallel\beta\)）；垂直：一个平面过另一个平面的垂线，则面面垂直（\(a\perp\beta\)，\(a\subset\alpha\)⇒\(\alpha\perp\beta\)）。3.性质面面平行⇒线面平行（\(\alpha\parallel\beta\)，\(a\subset\alpha\)⇒\(a\parallel\beta\)）；面面垂直⇒线面垂直（\(\alpha\perp\beta\)，\(\alpha\cap\beta=l\)，\(a\subset\alpha\)，\(a\perpl\)⇒\(a\perp\beta\)）。二、典型习题深度解析1.线面平行判定：中位线法（例1，2021·全国卷Ⅰ）题目：在三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(D\)为\(BC\)中点，求证：\(A_1B\parallel\)平面\(ADC_1\)。分析：需用线面平行判定定理（平面外直线与平面内直线平行）。通过三棱柱的平行四边形结构（\(A_1ACC_1\)），连接\(A_1C\)交\(C_1A\)于\(O\)（中点），则\(OD\)是\(\triangleA_1BC\)的中位线，故\(OD\parallelA_1B\)。解答：连接\(A_1C\)交\(C_1A\)于\(O\)（\(A_1ACC_1\)是平行四边形，\(O\)为\(A_1C\)中点）；\(D\)为\(BC\)中点，故\(OD\)是\(\triangleA_1BC\)的中位线，\(OD\parallelA_1B\)；\(OD\subset\)平面\(ADC_1\)，\(A_1B\not\subset\)平面\(ADC_1\)，故\(A_1B\parallel\)平面\(ADC_1\)（线面平行判定定理）。点评：中位线法是证明线面平行的常用技巧，关键是找到“中点”构造平行线，需确认直线在平面外。2.面面垂直证明：线面垂直转化（例2，2022·浙江卷）题目：四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，\(E\)为\(PD\)中点，求证：平面\(AEC\perp\)平面\(PCD\)。分析：需用面面垂直判定定理（一个平面过另一个平面的垂线）。通过\(PA\perp\)底面得\(CD\perp\)平面\(PAD\)，故\(CD\perpAE\)；再由\(E\)是\(PD\)中点（直角三角形斜边中线）得\(AE\perpPD\)，故\(AE\perp\)平面\(PCD\)。解答：\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，\(CD\subset\)底面，故\(PA\perpCD\)；\(ABCD\)是矩形，故\(CD\perpAD\)；\(PA\capAD=A\)，故\(CD\perp\)平面\(PAD\)，\(AE\subset\)平面\(PAD\)，故\(CD\perpAE\)；\(Rt\trianglePAD\)中，\(E\)为\(PD\)中点，故\(AE=\frac{1}{2}PD\)，\(AE\perpPD\)；\(PD\capCD=D\)，故\(AE\perp\)平面\(PCD\)；\(AE\subset\)平面\(AEC\)，故平面\(AEC\perp\)平面\(PCD\)（面面垂直判定定理）。点评：线面垂直⇒面面垂直是核心路径，需证明直线垂直于另一个平面的两条相交直线。3.异面直线夹角：平移与向量法（例3）题目：正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，求异面直线\(A_1B\)与\(AC\)的夹角。分析：平移法（将异面直线转化为相交直线）：连接\(A_1C_1\)（\(AC\parallelA_1C_1\)），则\(\angleBA_1C_1\)即为夹角；向量法（建立坐标系计算向量点积）。解答（平移法）：连接\(A_1C_1\)（\(AC\parallelA_1C_1\)），则\(\angleBA_1C_1\)是异面直线夹角；设棱长为\(a\)，则\(A_1B=A_1C_1=BC_1=\sqrt{2}a\)（\(\triangleA_1BC_1\)是等边三角形）；故\(\angleBA_1C_1=60^\circ\)，即异面直线夹角为\(60^\circ\)。解答（向量法）：建立坐标系：\(A(0,0,0)\)，\(B(a,0,0)\)，\(C(a,a,0)\)，\(A_1(0,0,a)\)；\(\overrightarrow{A_1B}=(a,0,-a)\)，\(\overrightarrow{AC}=(a,a,0)\)；\(\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{A_1B}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}=\frac{a^2}{\sqrt{2}a\cdot\sqrt{2}a}=\frac{1}{2}\)，故\(\theta=60^\circ\)。点评：平移法适用于规则几何体，向量法适用于所有情况，需注意夹角取锐角或直角。4.点到平面距离：等体积法（例4）题目：三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)底面\(ABC\)，\(AB=AC=2\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(PA=3\)，求点\(A\)到平面\(PBC\)的距离。分析：等体积法（通过转换棱锥底面求高）：先计算\(V_{P-ABC}\)，再以\(\trianglePBC\)为底面求高（点\(A\)到平面的距离）。解答：\(V_{P-ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangleABC}\cdotPA=\frac{1}{3}\times(\frac{1}{2}\times2\times2)\times3=2\)；计算\(\trianglePBC\)面积：\(BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\)，\(PB=PC=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\)，底边高\(h=\sqrt{13-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{11}\)，故\(S_{\trianglePBC}=\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times\sqrt{11}=\sqrt{22}\)；设点\(A\)到平面\(PBC\)的距离为\(d\)，则\(V=\frac{1}{3}S_{\trianglePBC}\cdotd\)，故\(d=\frac{3\times2}{\sqrt{22}}=\frac{3\sqrt{22}}{11}\)。点评：等体积法避免了找垂线的麻烦，关键是选择合适的底面和高，确保体积不变。三、解题策略与易错点总结（一）通用解题策略1.转化思想：将高维问题转化为低维问题（如线面平行⇒线线平行、异面直线夹角⇒相交直线夹角）。2.构造辅助线/面：通过中位线、平行四边形等构造平行线或垂线（如例1的\(OD\)、例2的\(PD\)）。3.坐标法（向量法）：规则几何体建立坐标系，将几何问题转化为向量运算（如例3的向量法）。4.等体积法：计算点到平面距离的常用方法（如例4）。（二）常见易错点提醒1.线面平行遗漏“平面外”：若直线在平面内，即使与平面内直线平行，也不能判定线面平行（如例1需确认\(A_1B\not\subset\)平面\(ADC_1\)）。2.面面垂直遗漏“交线”：若两个平面垂直，只有在一个平面内且垂直于交线的直线，才能垂直于另一个平面（如“\(\alpha\perp\beta\)，\(a\subset