基于UbD理论的深度理解导向教学设计

三角恒等变换是高中数学的核心内容，也是连接几何与代数的桥梁。UbD理论（UnderstandbyDesign）是基于理解的教学设计，是以始为终的逆向教学设计，有利于学生理解知识，促进深度学习。三角恒等变换符号抽象、公式多、逻辑关联性强、应用场景复杂，而UbD理论强调结合实际场景设计教学，让学生明白知识的价值，提升解决实际问题的能力，克服应用难题。下面探索UbD理论在数学公式教学中的应用路径，在实践层面为破解“高分低能”现象提供教学设计范式。一、UbD理论核心三阶段解析（一）阶段1：明确预期结果UbD理论核心三阶段的第一阶段是明确预期结果，即目标导向。此阶段要求教育者依据课程标准，结合学生的认知水平和学习需求，精准界定学生在学习结束后应掌握的知识、技能以及达成的理解深度。教学不是简单提出要掌握的函数知识，而是细化为能运用特定函数模型解决实际问题。这一阶段可以为后续教学活动设定清晰方向，确保教学内容紧密围绕目标展开，有助于教师合理选择教学方法和评估方式，保障教学的有效性。[3]（二）阶段2：设计评估证据UbD理论核心三阶段的第二阶段为设计评估证据，即证据驱动。此过程起始于对第一阶段明确的预期结果的深度理解。教师依据既定目标，构思能有效检验学生是否达成自标的评估方式。采用表现性任务，让学生在实际情境中运用知识与技能解决问题，以此观察其理解与应用的能力；也可设计书面测试，考查学生对关键概念的掌握程度。同时，要确保评估标准具体、可操作，从多个维度量化学生的表现，使评估结果真实反映学生的学习成果，为后续教学调整提供有力依据。（三）阶段3：规划学习体验UbD理论核心三阶段的第三阶段是规划学习体验，即活动适配。这一过程要紧密围绕前两阶段明确的预期结果和设计的评估证据展开。教师依据教学目标，选择多样且契合的教学方法，如用讲授法传递关键知识，用探究法培养学生的自主思考能力。随后，安排丰富的学习活动，如小组讨论、项目实践等，让学生在实践中深化理解、锻炼技能。同时，充分考量学生的个体差异，确保活动难度适中、参与度高，促进每个学生在学习中都能有所收获，最终达成预期的学习成果。二、基于UbD理论的三角恒等变换教学设计（一）阶段1：确定预期结果—以终为始的目标统整1.课程标准与大概念提取根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的要求，人教版必修一“三角恒等变换\"章节的核心内容为：和（差）角公式：以余弦差角公式为基础，推导正弦、正切公式；倍角与半角公式：由和角公式变形得到，强调公式之间的内在联系；简单三角式化简：利用公式进行求值、证明及简单实际应用。结合UbD理论，提炼出的本单元的大概念为：推导三角恒等变换相关公式并进行实际应用”。2.核心问题设计（1）如何从已有公式推导新公式？（如用差角公式推导正弦和角公式）（2）面对复杂三角式时，如何选择最简的变形路径？（3）公式中的角度变量替换对变形结果有何影响？（如用代替生成倍角公式）3.三层级教学目标的设定（见表1）表1三层级教学目标（二）阶段2：设计评估证据一—聚焦公式运用1.表现性任务音频合成器的波形化简：某电子音乐合成器同时生成两种基础波形：波形A：y1=4cosθ和波形B：y1=3cos（60∘-θ），。工程师需要将合成后的信号y=y1+y2

转换为单一余弦函数的形式：y=Kcos（θ+φ），以便进行滤波处理。2.表现性任务评估依据（1）公式应用准确性。核心标准：正确展开余弦差角公式cos（θ-β）避免出现符号错误或角度拆分不当的错误。典型证据：是否准确保留与sin60∘

的系数，在展开过程中是否会出现如cos（60∘-θ）=cos60∘-cosθ的机械拆分错误。（2）代数变形逻辑性。核心标准：合理合并同类项，保证变形过程的连贯性。典型证据：合并含有cosθ的项时是否会遗漏系数，能否解释从acosθ+bsinθ到Kcos（θ+φ）转化的必要性。（3）三角恒等式迁移能力。核心标准：利用三角恒等式（如cos2φ+sin2φ=1））构造振幅与相位角关系。典型证据：是否能通过平方相加消元法求振幅，能否从cosφ与sinφ的比值推导相位角φ。（三）阶段3：规划学习活动—分层递进训练1.基础训练（公式推导与简单应用）活动1：公式生成及推导。引导学生在平面直角坐标系中完成差角余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的推导，之后完成以下推导：令β=-β，导出余弦和角公式。利用诱导公式sinθ=cos（90∘-θ）推导正弦和角公式。利用联立消元法推导正切和角公式。典型成果：学生发现，将步骤2中的关键代换展开，即可成功导出sin（α+β）=sinαsinβ+cosαcosβc活动2：速算竞技场。（1）计算：sin15∘

（精确值）。（2）化简：cos（α+45∘）+cos（α-45∘）+sin2α0

（204号（3）证明：策略分析：第（1）题可以运用sin15∘=sin（45∘-30∘）展开。第（2）题可以运用cos（A-B）]展开。第（3）题可以通过将分子因式分解加以解决：1+sin2α=（sinα+cosα）2Φ2.综合应用活动3：三角谜题破解赛。已知，，求cos（α-β）的值，猜测α与β的具体角度并验证。策略分析：平方相加，得（sinα+sinβ）2+（cosα+。展开，得2+2cos（α-β）=1，即。结合常见角的余弦值，可推测α-β=120∘

。尝试令α=60∘，β=-60∘

代人检验。（四）阶段四：差异化支持策略在阶段四的差异化支持策略中，带领学生总结本节课三角恒等变换的知识点，提出三角恒等变换流程表（见表2）和典型策略纠正卡（见表3）。表2三角恒等变换流程表三角恒等变换流程表以直观的图表形式，梳理出从基础公式运用到复杂变换的详细步骤，涵盖了三角函数的化简、求值、证明等关键环节。它不仅可以帮助学生清晰把握解题思路，建立系统的知识框架，而且可以让教师在教学中更加有条理地引导学生逐步攻克难题。表3典型策略纠正卡典型策略纠正卡，是针对学生在三角恒等变换学习中常见的错误，如公式混淆、符号错误等，给出了具体的错误分析与纠正策略。列举典型错题，配以详细的解答过程和易错点提示，可以帮助学生加深对知识点的理解，避免重复犯错。这两项成果相辅相成，为高中三角恒等变换教学提供了切实可行的操作指南，有效地提升了课堂教学的效果与学生学习的效率。对学生的典型错误进行纠正，之后再进行概括总结，形成典型错误纠正卡。三、教学反思与建议（一）教学反思实践发现，将UbD理论应用于高中三角恒等变换教学，能有效地指导教学设计，提高教学的针对性和有效性。基于UbD理论的教学设计在一定程度上可以激发学生学习的积极性，提高学生对三角恒等变换知识的掌握程度。通过真实情境创设和小组合作探究，学生的学习兴趣明显增强，课堂参与度明显提高。然而，教学过程中也暴露出一些问题。学生在公式的记忆、理解和应用方面还存在不足，尤其是在面对复杂问题时，知识迁移能力和综合运用能力有待提高。这说明在基于UbD理论的教学实施过程中，虽然明确了教学目标和设计了相应的教学活动，但是在教学方法的选择和教学细节的处理上，还需要进一步优化和改进。此外，在教学进度的安排上，可能过于注重知识的传授速度而忽视了学生对知识的消化吸收过程。在练习环节，没有给予学生足够的时间去思考和讨论，导致部分学生对一些解题方法和技巧没有完全掌握。（二）教学建议在教学设计方面，要进一步强化UbD理论的“逆向设计\"理念。在确定教学目标时，要更加细化和具体，明确学生在公式理解和应用方面应达到的具体水平。例如，明确学生能够准确区分不同公式的适用条件，能够在给定的复杂情境中正确选择并运用至少三种三角恒等变换公式解决问题等。在教学方法上，要加强对公式的对比分析和总结归纳。在课堂教学中，可专门安排时间对相似的公式进行对比讲解，如对比讲解两角和与差的正弦、余弦公式，让学生清晰地理解它们之间的异同点。同时，引导学生对所学的三角恒等变换公式进行系统总结和归纳，帮助他们构建完整的知识体系，如制作思维导图，将各个公式之间的联系清晰地呈现出来。在练习环节，要注重知识的巩固和拓展，增加一些具有挑战性和开放性的题目，让学生在解决问题的过程中，进一步深化对公式的理解和应用。同时，鼓励学生自主探索，总结解题方法和技巧，培养他们的创新思维能力和自主学习能力。在评价和反馈环节，根据UbD理论中的“持续性评价”原则，不仅要关注学生的学习结果，更要注重学生在学习过程中的表现。通过课堂提问、小组讨论、作业批改等方式，及时了解学生在公式学习中存在的问题，并给予针对性的反馈和指导。例如，对于公式记忆错误的学