《数字信号处理》课件第7章2

第七章离散希尔伯特变换7.1引言

7.2时间连续信号的希尔伯特变换

7.3时间离散信号的希尔伯特变换

7.4因果序列傅里叶变换下的希尔伯特变换

7.5离散傅里叶变换下的希尔伯特变换

7.6窄带信号表示及其采样

7.1引

言

实际传递的一大部分信息通常都调制在信号的幅度、频率和相位之上。而对这类信号的处理，也常是为了获取其幅度和相位（含频率）两个方面的信息，但是，实际系统接收到的信号多为实信号，这时要提取幅度信息和相位信息比较困难。如果变成复信号，处理就比较方便。这种复信号称为解析信号，其实部和虚部存在某种关系，也就是所谓希尔伯特（Hilbert）变换关系。解析信号的一个重要特点是其频谱呈单边特性，其傅里叶变换在负频率上为零。

在时间连续信号处理中解析信号是一个重要的概念，本章我们将其推广到时间离散信号。从形式上说不能把复时间离散信号或复序列看成是解析函数，因为它是一个以整数为变量的函数，但是也可以按照类似的处理方式，将复序列之实部和虚部联系起来使复序列的频谱在单位圆上的-π≤ω<0范围内为零。用类似的方法也可以将周期性（或有限时宽）序列的傅里叶变换之实部和虚部联系起来，在这种情况下，“因果性”条件是，该周期序列在各周期的后半部为零。根据对偶关系，对于时间序列呈单边特性的因果序列，在频域(其实部与虚部)也应存在某种变换关系。最小相位序列是一类很重要的信号，其傅里叶变换幅度和相位之间存在希尔伯特变换关系。

7.2时间连续信号的希尔伯特变换

给定一时间连续信号x(t)，其希尔伯特变换定义为

（7-1）

可以看成是x(t)通过单位冲激响应滤波器的输出。由傅里叶变换的理论可知，的傅里叶变换为符号函数sgn(Ω)，因此希尔伯特变换器的频率响应

Ω≥0Ω<0（7-2）

信号x(t)的解析信号（Analyticsignal）定义为

（7-3）

对上式两边进行傅里叶变换，

有

（7-4）

将式（7-2）代入式（7-4），

得

（7-5）

这样，由希尔伯特变换构成的解析信号，只含有正频率成分，且是原信号正频率分量的2倍。

7.3时间离散信号的希尔伯特变换

在时间离散信号中也存在类似关系，但单边特性与解析信号的定义需稍作修正，因为时间离散信号的频谱是以2π为周期的周期性函数，所以单边性的定义为

（7-6）

式中XA(ejω)、X(ejω)分别是xA(n)和x(n)的频谱，xA(n)、x(n)可以看成是时间连续信号xA(t)和x(t)的等间隔采样。于是有(7-7)式中是时间离散信号x(n)的希尔伯特变换，即

（7-8）

解析信号对实信号来说就是有一阶导数的连续信号。由此意义来说，任何序列都不是解析信号，因为它是一个以整数为变量的函数，但xA(n)是xA(t)的采样，如果xA(t)是解析的，我们仍认为xA(n)也是解析的，这是对解析信号的修正。由前面的讨论不难看出，复序列可以由实序列产生，而它的频谱是单边的，因此复序列的虚部并不是任意的，也就是说，h(n)不是任意的。为了求得h(n)的表达式，首先根据X(ejω)和XA(ejω)求出X(ejω)，再由X(ejω)求得H(ejω)，最后经傅里叶反变换求出h(n)。式（7-7）的傅里叶变换为^^（7-9）

由式（7-6）和式(7-9）可得

（7-10）

上式说明希尔伯特变换器实际上是一个90°的移相器，正频向后移90°，负频向前移90°，而幅度特性为1，如图7.1(a)所示。其时域特性可通过对H(ejω)作傅里叶反变换求出，即n≠0，n为奇数

n=0,n为偶数

（7-12）

h(n)的特性如图7.1(b)所示。由式（7-12）可以看出，h(n)是非因果和非绝对可和序列,后者是由于H(ejω)在ω=0处不连续引起的。它与理想低通滤波器一样，只有在均方和的意义下收敛。图7.1希尔伯特变换器的理想特性

(a)频域特性；

(b)

时域特性

7.4因果序列傅里叶变换下的希尔伯特变换

当xA(n)是解析序列时，其实部和虚部成希尔伯特变换关系。它对应的频谱则是单边的。如果把频谱看成解析的，即其实部与虚部成希尔伯特变换关系，则对应的时域序列应是单边的，即因果的。本节主要讨论因果序列傅里叶变换的希尔伯特变换。我们知道任何一个序列x(n)，都可以表示成共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)之和，即（7-13）

其中

如果x(n)为实因果序列，除n=0处之外，x(n)和x(-n)的非零部分之间将无重叠，如图7.2所示。x(n)可单独由共轭对称序列xe(n)恢复出来,或者除了n=0这一点外，x(n)也可由其共轭反对称序列xo(n)单独恢复，即（7-14）

图7.2将一个实因果序列分解为共轭对称序列和共轭反对称称序列或

(7-15)如定义

（7-16）

则

（7-17）

或

x(n)=xo(n)u+(n)+x(0)δ(n)（7-18）

对于一个稳定的因果实序列x(n)，

其傅里叶变换

X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)（7-19）

根据第一章傅里叶变换的理论可知，XR(ejω)正是xe(n)的傅里叶变换，而XI(ejω)则是xo(n)的傅里叶变换。我们既然能由xe(n)单独恢复x(n)，那么由XR(ejω)也可单独恢复出x(n)，使用XＩ(ejω)亦然。这说明，实因果序列的傅里叶变换的实部和虚部并不独立，它们之间存在某种关系。对式（7-17）两边取傅里叶变换，

有

（7-20）

式中U(ejω)是单位阶跃序列u(n)的傅里叶变换，且

／（7-21）

式中 。将式（7-21）代入式（7-20），有（7-22）

因为

（7-23）

所以将式（7-23）代入式（7-22），

可得

（7-24）

由式（7-24）和式（7-19）得

（7-25）

对式（7-18）两边取傅里叶变换，

也可得

（7-26）

此结果告诉我们，稳定的实因果序列的傅里叶变换的实部和虚部满足希尔伯特变换关系，而其幅度和相位又可以由其实部和虚部求出，因此，此时的幅度和相位显然也存在着某种关系，所以也可以由傅里叶变换的幅度或者相位来重建信号序列或其傅里叶变换。下面我们讨论这样的序列。

将实因果序列x(n)的傅里叶变换写成极坐标形式

（7-27）

对上式两边取对数，

有

（7-28）

∨

记X(ejω)对应的时域信号为x(n)，因为x(n)是x(n)谱的逆，所以又称为x(n)的倒谱。X(ejω)的实部为ln|X(ejω)，虚部则是arg［X(ejω)］。可以想象，若x(n)也是因果序列，则X(ejω)的实部和虚部也将满足式（7-25）及式（7-26）给出的希尔伯特变换关系。∨

∨

∨

∨

∨

∨

但是，研究式（7-28）时必须小心，这是因为零的对数是发散的。另外，由于arg［X(ejω)］存在着多值性，即当k为任意整数时，arg［X(ejω)］+2πk所对应的X(ejω)是相同的，有关定义将发生模糊。不过此多值性问题可通过下列事实得到解决，即X(ejω)的解析性意味着它的实部和虚部必然是ω的连续函数，因此，如果要使X(ejω)是解析的，则必须将式（7-28）中的arg［X(ejω)］定义为一个连续函数。此外，对于实的x(n)而言，X(ejω)是一个实序列的傅里叶变换,因而我们定义arg［X(X(ejω)］是ω的奇连续函数。∨

∨

∨

∨

下面给出由x(n)求的一种方法，利用Z变换的微分定理，有

∨

∨

∨

（7-29）

把X(z)=lnX(z)代入上式左边，

得

∨

∨

X(z)是z的有理函数时，X(z)虽不是z的有理函数，但其导数却是z的有理函数，因此它可以利用极点和零点表示。

将X(z)表示成两个多项式之比，

即，

于是有

∨

（7-31）

然后，用求Z反变换的方法求出nx(n)，即可得x(n)。从式（7－31）可以看到，X(z)导数的极点是P(z)Q(z)的根，也就是X(z)的极点和零点。考虑到此时的单位圆位于收敛区域内部，且为因果序列，因而只有X(z)的所有极点和零点均位于单位圆内部时，nx(n)(或x(n)才是因果性的。Z变换的所有极点和零点都位于单位圆内的序列称为最小相位序列。因此，一个序列傅里叶变换的对数幅度和相位互为希尔伯特变换的充要条件是其对应的序列为最小相位序列。>>>>

应该指出，一个实的因果序列并不是最小相位序列，因为虽然此时它的所有极点都位于单位圆内，但不能保证其零点也都在单位圆内。可以证明，任何一个实的因果系统都可以表示为一个最小相位系统和一个全通系统的级联。所谓全通系统就是幅度特性为1的系统。如果令Hap(z)表示全通系统的Z变换，

则对于所有的ω都有（7-32）

简单的一阶全通系统的系统函数

（7-33）

可以证明，式（7-33）给定的Hap(ejω)具有单位幅度。当0<a<1时，它对应的极点—零点图示于图7.3。更一般地说，有理的全通系统函数是由一串具有式（7-33）所示的一阶系统级联而成的。有理的全通系统具有极点和零点在共轭反演位置上出现的特性。假设一个非最小相位序列的Z变换X(z)有一个零点在单位圆外的1/z0处，|z0|<1,其余的极点和零点都在单位圆内，这时X(z)可以表示为

X(z)=X1(z)(z-1-z0)（7-34）

图7.3一阶全通系统的极点和零点位置式中X1(z)是最小相位的序列。式（7-34）还可以表示成

（7-35）

因为|z0|<1，所以式（7-36）表示的Xmin(z)是最小相位的序列，而式（7-37）表示的Hap(z)是全通函数。显然，这个例子可以推广到具有有理系统函数的一般非最小相位系统。所以，我们可以得出如下结论，即任何因果序列都可以表示成一个最小相位序列与一个全通系统的级联。

我们知道，全通系统在0≤ω<π之内的相位是负的，一个最小相位函数的一个零点由与之对应的简单全通系统反射到单位圆外时将使负相位更大，即增大了相位滞后。因此，所谓最小相位，

实际上指的是具有最小相位滞后。

7.5离散傅里叶变换下的希尔伯特变换

我们知道，周期序列和有限长度序列可以用离散傅里叶变换来表示。从实际应用来讲，序列的傅里叶变换都要处理成离散傅里叶变换，因此，需把前面讨论的问题变成适合于离散傅里叶变换的形式，

也即研究序列的离散傅里叶变换的实部和虚部之间的关系。

在7.3节中对频谱的单边性定义根据序列傅里叶变换的特性进行了修正，现在如果把序列看成是离散傅里叶变换意义下的有限长序列，则不能忘记它隐含的周期性。此时，长度为N的有限长度序列可以看成周期为N的周期序列的一个周期，因此，为了推导离散傅里叶变换实部与虚部之间的关系，我们研究一个周期为N的周期序列x(n)。在本节中，为了强调周期性，我们还用下标p表示序列的单边性。为此，对周期序列的单边性定义应为（7-38）

式中N为偶数。有时也将式（7-38）定义的序列称为“因果性”周期序列。同样，xp(n)可以分解成周期的共轭对称序列xep(n)与共轭反对称序列xop(n)之和,即

0≤n≤N-1（7-39）

式中

0≤n≤N-10≤n≤N-1对于具有式（7-38）性质的实序列，除了n=0和 外，xp(n)与xp(N-n)的非零部分之间没有重叠。此时的（7-40）

或

（7-41）

N=8时，有关xp(n)、xep(n)和xop(n)的图形如图7.4所示。

图7.4一个周期单边（因果）实序列的偶对称与奇对称部分

由式（7-40）和式（7-41）可以看出，xp(n)可以由xep(n)恢复出来，也可以由xop(n)、xp(0)和重构。在第三章中我们已经知道，一个周期为N的实周期序列，若它的离散傅里叶级数为，则的实部是xep(n)的离散傅里叶级数的系数，而它的虚部则是xop(n)的离散傅里叶级数的系数。因此根据式（7-40）和式（7-41）的一个重要结论是，一个按式（7-38）定义的因果周期（周期为N）序列（或有限长序列），与之对应的可以由其实部恢复出来，也可以从其虚部恢复出来。或者说此时的实部 必然存在着某种变换关系。为了找出两者的关系，

令

利用upN(n)可以把式（7-40）和式（7-41）表示成

（7-42）

（7-43）

而upN(n)的离散傅里叶级数的系数

k=0

k=偶数

k=奇数（7-44）

从式（7-42）可以看到，xp(n)的离散傅里叶级数的系数是XR(k)与UpN(k)的循环卷积，即

~~（7-45）

如果再令

（7-46）

则

k=奇数

k=偶数，k≠0（7-47）

将式（7-46）和（7-47）代入式（7-45），

有

由于 ，于是可得与的关系为

0≤k≤N-1（7-48）

类似地，对式（7-43）作同样的推演后可得

0≤k≤N-1（7-49）

式（7-48）、（7-49）表示了周期性实序列的傅里叶级数实部和虚部之间的希尔伯特变换关系。

为了便于说明有限长度序列的离散傅里叶级数表示，可以引进一个专门符号，就是将有限长度序列x(n)想象为某周期序列xp(n)的一个周期，即0≤n≤N-1其他

另外，我们将x(n)的标号n解释为以N为模，因而也可以得到：

xp(n)=x((n))N

这些规定显然也适用于与X(k)对应的离散傅里叶变换表示式X(k)，即可将式（7-48）写成～0≤k≤N-1其他

（7-50）

及将式（7-49）写成

0≤k≤N-1其他

（7-51）

式中的

0≤k≤N-1,k为奇数

其他

当然，对于uN(n)及其离散傅里叶变换UN(k)也可以进行类似的定义。式（7-50）和式（7-51）表示了有限长序列离散傅里叶变换的实部和虚部之间的希尔伯特变换关系。对于离散傅里叶变换来说，一般不能在离散傅里叶变换的对数幅度和相位之间建立类似的关系，因为，上面的讨论只适用于有限长度序列，它的Z变换只有零点。严格地说，由于一个序列单位圆内总会有零点，对X(z)取对数以后，零点变为极点，因此X(z)所对应的序列x(n)就不再是有限长的了，这样就无法在离散傅里叶变换意义下进行精确表示，也无法进行变换，更谈不上lg|X(z)|与arg［X(z)］之间的希尔伯特变换关系，所以只能近似表示这种关系。根据上一节的讨论，若lg|X(k)|和arg［X(k)］存在希尔伯特变换关系，则X(k)所对应的序列就一定是一个最小相位序列。或者换一种说法，对所给的某个序列，可以求出其X(k)进而可得lg|X(k)|，然后利用lg|X(k)|和X(k)相位的希尔伯特变换关系，就可求得arg［X(k)］。如把arg［X(k)］作为|X(k)|的相位去构成的序列，就是最小相位的，且是唯一的。值得注意的是，根据lg|X(k)|用希尔伯特变换关系求出的相位，并不是原始序列x(n)所对应的X(k)的相位，而是最小相位序列xmin(n)(与x(k)的幅度特性一致)的Xmin(k)的相位，即arg［Xmin(k)］≠arg［X(k)］

（7-52）

但是，

在作有关运算之前，

必须注意

X(k)=lg|X(k)|+jarg［Xmin(k)］∨

(7-53)所对应序列x(n)是无限长的，考虑到xp(n)系x(n)的周期延拓，即∨

∨

∨

∨

∨

(7-54)所以x(n)是无限长时一般不能用N表示有限值的离散傅里叶变换。当然，用上面介绍的处理方法，可以从离散傅里叶变换的对数幅度构造一个相位函数。这就是说，计算lg|X(k)|的离散傅里叶反变换，再乘以UN(n)，然后计算乘积序列的离散傅里叶变换，所得结果的实部就是lg|X(k)|，而虚部则是最小相位的一个逼近。∨

当然，用上面介绍的处理方法，可以从离散傅里叶变换的对数幅度构造一个相位函数。这就是说，计算lg|X(k)|的离散傅里叶反变换，再乘以UN(n)，然后计算乘积序列的离散傅里叶变换，所得结果的实部就是lg|X(k)|，而虚部则是最小相位的一个逼近。为了理解这一处理方法，我们假设X(z)是有限长度序列x(n)的Z变换。如果X(z)在单位圆外没有零点，则只要知道lg|X(ejω)|就可以计算出arg［X(ejω)］。此外k=0,1,…,N-1(7-55)式中N至少选择成等于序列x(n)的长度,而此时的

∨

相当于一个混叠序列

∨

∨

显然，我们选择的N越大，uN(n)与xp(n)相乘的处理效果就越好。计算离散傅里叶变换，以得到它的实部lg|X(k)|和近似的最小相位，得到的结果在某些实际情况下还是很有用的。^7.6窄带信号表示及其采样

对通信和雷达一类信息系统，常用的信号是实的窄带信号。考虑带宽为B，中心频率为fc，上限频率为fu，下限频率为fl的窄带信号（7-58）式中Ωc=2πfc，fc为载波频率。若￠(t)为恒值，那么式（7-58）的x(t)是一个幅度调制信号，即慢变信号a(t)受到正弦波的调制；若a(t)为恒值，￠(t)是慢变的，那么x(t)是一个相位调制信号。这两类信号都广泛应用于通信、雷达等信息系统中。当fc>>B时，式（7-58）两部分的频谱如图7.5(a)所示，分别局限于正频和负频区，这时该信号称为窄带信号，或带通信号。上述窄带信号的正、负频率分量明显分开，负频分量容易被滤除。保留其正频部分，并将幅度加倍，

即可得其解析信号为

（7-59）

式中的

为复数，它作为信息的载体不含有用信息。当然，式（7-59）中实部与虚部成希尔伯特变换关系。上式两边同乘以

，即可将载波频率下移fc，变成零载频，得到一新信号为（7-60）

这种零中频信号称为基带信号或零中频信号。

解析信号频谱与基带信号频谱之间的关系为

（7-61）

其频谱分别如图7.5的（b）和（c）所示。窄带信号与其解析信号和基带信号的关系为

式（7-58）和式（7-62）为窄带信号的两种表示形式。

（7-62）

图7.5窄带信号及其解析信号和基带信号的频谱(a)窄带信号的频谱；(b)解析信号的频谱；(c)基带信号的频谱

假设基带信号的带宽为B，则窄带信号的频率X(jΩ)在f>0时的最高频率成分为，最低频率成分为。由第一章所讨论的采样定理已知，欲保证x(t)采样时不发生混叠，采样频率fs至少要等于2fu。一般载波频率fc是相当高的，因此抽样频率fs势必也非常高,这对后面的数字信号处理提出了非常高的要求。但是，载波不包含任何信息，由其携带的信息均含于基带信号之上，只要保证对xB(t)采样时不混叠，就有可能由xB(t)的采样重建出x(t)。如果这一结论成立，对窄带信号的采样频率即可大大降低，可能由2fu降至2B。现在来推导窄带信号的采样定理。用周期冲激串 对图7.5(a)所示的窄带信号x(t)采样，得到采样信号xs(t)为（7-63）

其频域表示为

（7-64）

由式（7-64）可知,x(t)经采样后的频谱Xs(jΩ)是X(jΩ)频谱的周期延拓，周期为。

图7.6带