初中数学几何变换专项训练题

初中数学几何变换专项训练题一、引言几何变换是初中数学几何体系的核心工具，通过平移、旋转、轴对称（翻折）、位似四种基本变换，将复杂图形转化为简单图形，将分散条件集中整合，解决线段关系、角度计算、面积求解、最短路径等问题。掌握几何变换的性质与应用，能提升解题效率，培养空间想象能力和逻辑推理能力，为后续相似、圆等知识奠定基础。二、平移变换：平行移动中的不变性1.核心知识点梳理定义：图形沿某一方向移动一定距离，形状、大小不变，仅位置改变。性质：（1）对应点连线平行（或共线）且相等；（2）对应线段平行（或共线）且相等；（3）对应角相等；（4）平移后的图形与原图形全等。解题关键：（1）确定平移的方向（如水平、垂直或斜线方向）和距离（对应点间线段长度）；（2）通过平移将分散的线段、角集中到同一图形（如平行四边形），简化问题。2.典型例题解析例题1（坐标系中的平移）：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(1,2)、B(3,4)、C(2,5)。将△ABC沿x轴正方向平移3个单位，再沿y轴负方向平移1个单位，求顶点A'、B'、C'的坐标。解析：平移规律：沿x轴正方向平移\(a\)个单位，横坐标加\(a\)；沿y轴负方向平移\(b\)个单位，纵坐标减\(b\)。A'坐标：\((1+3,2-1)=(4,1)\)；B'坐标：\((3+3,4-1)=(6,3)\)；C'坐标：\((2+3,5-1)=(5,4)\)。答案：A'(4,1)，B'(6,3)，C'(5,4)。例题2（平移构造平行四边形）：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，AB=4，∠B=60°，求CD的长度（提示：平移AB至DE，构造平行四边形ABED）。解析：将AB沿AD方向平移至DE，交BC于E，则四边形ABED是平行四边形（AD∥BC，AB∥DE），故BE=AD=3，DE=AB=4。因此，EC=BC-BE=7-3=4。在△DEC中，DE=EC=4，∠DEC=∠B=60°（平移对应角相等），故△DEC是等边三角形，CD=4。答案：CD=4。3.平移变换专项训练题训练题1：将点M(3,-1)沿x轴负方向平移2个单位，再沿y轴正方向平移3个单位，得到点M'，求M'坐标。训练题2：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(1,2)、B(3,4)、C(2,5)，将△ABC平移后，点B的对应点为B'(5,6)，求点A的对应点A'坐标。训练题3：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=5，AB=2，求CD的取值范围（提示：平移AB至DE）。训练题4：如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，将△ABC沿BC方向平移至△DEF，使得点E与点C重合，求△DEF的面积。训练题5：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接BE、DF，求证：BE∥DF且BE=DF（提示：平移BE至DF）。三、轴对称变换（翻折）：对称中的等价性1.核心知识点梳理定义：图形关于某条直线（对称轴）对称，对称轴两侧的图形完全重合。性质：（1）对称轴垂直平分对应点的连线；（2）对应线段相等，对应角相等；（3）轴对称后的图形与原图形全等。解题关键：（1）确定对称轴（如角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形底边中线）；（2）利用对称点性质，将线段转化为直线距离（如最短路径问题），或构造全等三角形。2.典型例题解析例题1（将军饮马问题）：如图，直线l是一条河流，P、Q是河同侧的两个村庄，现要在河边建一个供水站R，使PR+QR最短，求R点位置。解析：作点P关于直线l的对称点P'，连接P'Q，交l于R，则R即为所求。理由：轴对称性质得PR=P'R，故PR+QR=P'R+QR=P'Q（两点之间线段最短）。答案：见解析（作P关于l的对称点P'，连接P'Q交l于R）。例题2（翻折后求长度）：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点B'处，连接B'D，求B'D的长度。解析：设B'D=x，由翻折性质得AB'=AB=4，∠AB'C=∠ABC=90°。设AC与B'D交于O，则O是AC的中点（矩形对角线互相平分），故AO=OC=AC/2。在Rt△ABC中，AC=√(AB²+BC²)=√(16+36)=√52=2√13，故AO=√13。在△AB'O中，由勾股定理得：AO²=AB'²+B'O²，即(√13)²=4²+(x/2)²，解得x=2√(13-16)？不，此处需用坐标法更准确：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，坐标为A(0,0)、B(4,0)、C(4,6)、D(0,6)。AC的解析式为y=(6/4)x=(3/2)x。点B关于AC的对称点B'(a,b)，则BB'⊥AC，且中点在AC上：(b-0)/(a-4)×(3/2)=-1→3b=-2(a-4)→2a+3b=8；中点((a+4)/2,(b+0)/2)在AC上，故(b/2)=(3/2)×((a+4)/2)→b=(3/2)(a+4)。联立得：2a+3×(3/2)(a+4)=8→2a+(9/2)a+18=8→(13/2)a=-10→a=-20/13，b=(3/2)(-20/13+4)=(3/2)(32/13)=48/13。故B'(-20/13,48/13)，B'D的长度为√[(0+20/13)²+(6-48/13)²]=√[(400/169)+(30/13)²]=√[(400+900)/169]=√(1300/169)=10√13/13。答案：B'D=10√13/13。3.轴对称变换专项训练题训练题1：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求点A到BC的距离（提示：作AD⊥BC，利用轴对称性质）。训练题2：如图，直线l外有一点P，到l的距离为3，点Q在l上，PQ=5，求PQ的最小值（提示：作P关于l的对称点P'，连接P'Q）。训练题3：如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在AB上，AE=1，点F在BC上，求EF+FD的最小值（提示：作D关于BC的对称点D'）。训练题4：如图，将△ABC沿边AB翻折，得到△ABD，若∠ABC=30°，∠ACB=45°，求∠ADC的度数。训练题5：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上，求AD+BD的最小值（提示：作B关于AC的对称点B'）。四、旋转变换：旋转中的全等性1.核心知识点梳理定义：图形绕某一点（旋转中心）按一定方向（顺时针或逆时针）旋转一定角度（旋转角），形状、大小不变。性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应线段相等，对应角相等；（3）旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角；（4）旋转后的图形与原图形全等。解题关键：（1）确定旋转中心（通常是等腰三角形顶点、正方形顶点）、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角度（如60°、90°、180°）；（2）利用旋转构造全等三角形（如等腰直角三角形旋转得全等，等边三角形旋转得全等），将分散线段集中。2.典型例题解析例题1（等边三角形旋转）：如图，△ABC是等边三角形，点D在BC上，点E在AC上，且BD=CE，连接AD、BE交于点F，求∠AFE的度数。解析：将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△ACE'（因AB=AC，∠BAC=60°），则AD=AE'，∠DAE'=60°，故△ADE'是等边三角形，∠ADE'=60°。由BD=CE，得CE=CE'（旋转对应边相等），故E与E'重合？不，更直接：在△ABD和△BCE中，AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，BD=CE，故△ABD≌△BCE（SAS），得∠BAD=∠CBE。因此，∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°（外角性质）。答案：∠AFE=60°。例题2（正方形旋转）：如图，正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，且∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF。解析：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABF'（AD=AB，∠DAB=90°），则AF=AF'，∠F'AE=∠FAD+∠BAE=45°（因∠EAF=45°），BF'=DF。在△AEF和△AEF'中，AE=AE，AF=AF'，∠EAF=∠EAF'=45°，故△AEF≌△AEF'（SAS），故EF=EF'=BE+BF'=BE+DF。答案：见解析。3.旋转变换专项训练题训练题1：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D在AB上，将△ACD绕点C逆时针旋转90°，得到△BCE，求∠AEB的度数。训练题2：如图，正方形ABCD中，点P在BC上，点Q在CD上，且∠PAQ=45°，若AB=2，BP=1，求PQ的长度。训练题3：如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC外，且∠BDC=120°，BD=CD，求AD与BC的关系（提示：旋转△ABD至△ACE）。训练题4：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，求B'C的长度。训练题5：如图，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数（提示：旋转△BPC至△B'PA）。五、位似变换：相似中的缩放性1.核心知识点梳理定义：图形相似且对应点连线交于一点（位似中心），对应边平行（或共线）。性质：（1）位似比等于相似比；（2）对应点坐标比等于位似比（位似中心为原点时，坐标乘以位似比；位似中心为某点时，用坐标变换公式）；（3）位似图形的面积比等于位似比的平方。解题关键：（1）确定位似中心（原点、某顶点或某点）；（2）确定位似比（相似比）；（3）坐标系中位似图形的坐标计算（注意位似中心的位置，内位似或外位似）。2.典型例题解析例题1（坐标系中的位似）：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(1,2)、B(3,4)、C(2,5)，以原点O为位似中心，位似比为2，作△ABC的位似图形△A'B'C'，求顶点A'、B'、C'的坐标。解析：位似中心为原点，位似比为2，故对应点坐标为原坐标乘以2（外位似）或乘以-2（内位似）。外位似：A'(2,4)、B'(6,8)、C'(4,10)；内位似：A'(-2,-4)、B'(-6,-8)、C'(-4,-10)。答案：外位似坐标为(2,4)、(6,8)、(4,10)；内位似坐标为(-2,-4)、(-6,-8)、(-4,-10)。例题2（位似比与面积比）：如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为O，位似比为1:2，若△ABC的面积为4，求△A'B'C'的面积。解析：位似图形的面积比等于位似比的平方，故S△A'B'C'=(2/1)²×S△ABC=4×4=16。答案：16。3.位似变换专项训练题训练题1：在平面直角坐标系中，点A(2,4)、B(4,2)、C(6,6)，以原点为位似中心，位似比为1/2，作△ABC的位似图形△A'B'C'，求A'坐标。训练题2：△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为P，位似比为3:1，若DE=6，则AB=______。训练题3：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(1,2)、B(3,4)、C(2,5)，以点B为位似中心，位似比为2，作△ABC的位似图形△A'B'C'，求点A'坐标。训练题4：位似图形的位似比为2:3，若小图形的周长为12，则大图形的周长为______。训练题5：如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为O，OA=2，OA'=4，若△ABC的面积为6，求△A'B'C'的面积。六、综合训练题：多变换融合应用综合题1：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(1,2)、B(3,4)、C(2,5)，先将△ABC沿x轴翻折，再向右平移2个单位，求最终顶点A的坐标。综合题2：如图，正方形ABCD中，点E在BC上，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF，连接EF，求证：△AEF是等腰直角三角形。综合题3：如图，△ABC是等边三角形，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，得到△A'DE，连接A'B、A'C，求证：四边形A'BCE是平行四边形。综合题4：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0,0)、B(2,0)、C(1,√3)，以原点为位似中心，位似比为2，作△ABC的位似图形△A'B'C'，再将△A'B'C'沿y轴翻折，求点C'的最终坐标。综合题5：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AB上，AE=1，点F在BC上，BF=2，将△BEF绕点B顺时针旋转90°，得到△BEG，连接DG，求DG的长度。七、解题技巧总结1.平移变换：平行线段或分散条件需集中时，平移构造平行四边形，转化线段/角。2.轴对称变换：最短路径（将军饮马）、角平分线、等腰三角形问题，用对称转化线段，利用垂直平分性质。3.旋转变换：等腰三角形（等边、等腰直角）、正方形问题，旋转构造全等，集中分散线段（如“化曲为直”）。4.位似变换：相似图形且对应点共线时，用位似比计算坐标、面积，注意位似中心位置（原点或某点）。八、答案提示（部分题目）平移训练题1：M'(1,2)；训练题2：A'(3,4)；训练题3：1<CD<3（提示：平移AB至DE，EC=4，DE=2，由三角形三边关系得EC-DE<CD<EC+DE）。轴对称训练题1：4（提示：作AD⊥BC，AD=√(AB²-BD²)=√(25-9)=4）；训练题3：5（提示：作D关于BC的对称点D'(0,10)，EF+FD=EF+FD'≥ED'=5）。旋转训练题1：90°（提示：旋转后△ACD≌△BCE，∠AEB=∠ACB=90°）；训练题2：√5（提示：旋转△ADF至△ABF'，PQ=PF'=√(1²+2²)=√5）。位似训练题1：A'(1,2)或(-1,-2)；训练题5：24（提示：位似比=OA'/OA=2，面积比=4，故面积=6×4=24）。综合题1：A'(3,-2)（翻折后A(1,-2)，平移后+2得(3,-2)）；综合题5：√(3²+4²)=5（旋转后BEG≌BEF，BG=BF=2，EG=EF=√(1²+2²)=√5，D(4,6)，G(4+2,6-1)=(6,5)？不，矩形坐标A(0,0)、B(4,0)、C(