高三数学排列组合专题测试题汇编

高三数学排列组合专题测试题汇编引言排列组合是高三数学的核心专题之一，也是高考的必考内容。它以分类讨论“有序与无序”为核心，考查逻辑思维能力与抽象概括能力，且与概率、统计等知识紧密结合，具有较强的综合性。本汇编围绕排列组合的核心考点，精选典型试题，分考点训练与综合提升相结合，旨在帮助学生系统梳理知识、掌握解题方法、突破易错点，提升解题能力。一、考情分析1.分值与题型高考中排列组合试题分值约占5-12分，题型以选择题、填空题为主（如全国卷常考1道填空题），偶尔在解答题中与概率、统计综合考查（如古典概型、超几何分布）。2.核心考点排列数与组合数的计算（公式、性质、解方程）；分类加法原理与分步乘法原理（区分分类与分步）；特殊元素与特殊位置问题（优先法、排除法）；相邻与不相邻问题（捆绑法、插空法）；分组与分配问题（均匀分组消序、分配的定向与不定向）；排列组合与概率、统计综合（基本事件计数、概率计算）。3.易错点提醒混淆排列（有序）与组合（无序）；均匀分组未消序（如分成两组每组2人，需除以\(2!\)）；分类时重复或遗漏（如“至少1女”易重复计算“1女3男”与“2女2男”）；相邻与不相邻问题方法误用（如不相邻用了捆绑法）；特殊位置未优先处理（如“甲不能在第一位”未先排其他位置）。二、核心考点分类测试题（一）排列数与组合数的计算考点解读：考查排列数\(P(n,k)\)、组合数\(C(n,k)\)的公式及性质，常见题型为化简求值、解方程（不等式）。公式回顾：\(P(n,k)=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}\)（排列数，有序）；\(C(n,k)=\frac{P(n,k)}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)（组合数，无序）；性质：\(C(n,k)=C(n,n-k)\)，\(C(n,k)+C(n,k-1)=C(n+1,k)\)。例题1（化简求值）：计算\(P(5,3)+2C(4,2)\)。解析：\(P(5,3)=5\times4\times3=60\)，\(C(4,2)=\frac{4\times3}{2\times1}=6\)，故原式\(=60+2\times6=72\)。例题2（解方程）：若\(C(n,2)=15\)，求\(n\)的值。解析：由组合数公式得\(\frac{n(n-1)}{2}=15\)，即\(n^2-n-30=0\)，解得\(n=6\)（\(n=-5\)舍去）。练习题：1.计算\(C(7,3)-P(6,2)\)；2.解不等式\(C(n,3)>C(n,2)\)（\(n\geq3\)，\(n\inN^*\)）；3.若\(C(8,k)=C(8,3)\)，求\(k\)的值。（二）分类加法与分步乘法原理考点解读：分类加法原理（互斥事件，用“+”）与分步乘法原理（独立事件，用“×”）是排列组合的基础，常与涂色问题、走法问题、选科问题等实际场景结合。关键区分：分类：完成一件事有多种方法，每种方法均可独立完成，方法数相加；分步：完成一件事需多个步骤，每步均需完成，方法数相乘。例题1（涂色问题）：用3种不同颜色涂4个相邻的区域（区域1-4依次相邻），要求相邻区域颜色不同，有多少种涂法？解析：分步处理：区域1：3种选择；区域2：不能与区域1同色，2种选择；区域3：不能与区域2同色，2种选择；区域4：不能与区域3同色，2种选择；总涂法\(=3\times2\times2\times2=24\)种。例题2（选科问题）：某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中选3科，要求物理与化学至少选1科，有多少种选法？解析：用排除法，总选法\(C(6,3)=20\)种，不符合条件的情况（不选物理且不选化学）\(C(4,3)=4\)种，故至少选1科的选法\(=20-4=16\)种。练习题：1.从A地到B地有3条公路、2条铁路，从B地到C地有2条公路、1条铁路，求从A地到C地的不同走法数；2.用红、黄、蓝三种颜色给“田”字格的四个小方格涂色，每格涂一种颜色，相邻方格（有公共边）颜色不同，有多少种涂法？3.某班有5名男生、4名女生，选2人参加演讲比赛，要求至少1名女生，有多少种选法？（三）特殊元素与特殊位置问题考点解读：当问题中存在“必须选”“不能选”“必须在某个位置”等特殊条件时，需优先处理特殊元素或特殊位置，常用方法有优先法（直接处理特殊元素）、排除法（总情况减去不符合条件的情况）。例题1（优先法：特殊位置）：用0-9这10个数字组成无重复数字的三位数，要求百位不能为0，有多少种？解析：百位是特殊位置（不能为0），优先处理：百位：从1-9中选1个，9种；十位：从剩余9个数字（包括0）中选1个，9种；个位：从剩余8个数字中选1个，8种；总排列数\(=9\times9\times8=648\)种。例题2（排除法：特殊元素）：从5男3女中选4人，要求至少1名女生，有多少种选法？解析：总选法\(C(8,4)=70\)种，不符合条件的情况（全男生）\(C(5,4)=5\)种，故至少1女的选法\(=70-5=65\)种。练习题：1.用1-5这5个数字组成无重复数字的两位数，要求十位数字大于个位数字，有多少种？2.从6名运动员（3男3女）中选3人参加比赛，要求至少1男1女，有多少种选法？3.排列数字1-4，要求1不在第一位，2不在第二位，有多少种排列方法？（四）相邻与不相邻问题考点解读：相邻问题：将相邻元素视为一个“整体”（捆绑），与其他元素排列，再处理整体内部的排列（捆绑法）；不相邻问题：先排无要求的元素，再将不相邻元素插入空隙（插空法）。例题1（相邻问题）：排列甲、乙、丙、丁4人，要求甲、乙必须相邻，有多少种方法？解析：捆绑甲、乙为一个整体（记为“甲乙”），则整体与丙、丁共3个元素，排列数为\(P(3,3)=6\)种；甲、乙内部可交换，有\(P(2,2)=2\)种，故总方法数\(=6\times2=12\)种。例题2（不相邻问题）：排列甲、乙、丙、丁4人，要求甲、乙不相邻，有多少种方法？解析：先排丙、丁，有\(P(2,2)=2\)种；丙、丁之间及两端有3个空隙（_丙_丁_），插入甲、乙，有\(P(3,2)=6\)种，故总方法数\(=2\times6=12\)种。练习题：1.排列a,b,c,d,e，要求a,b相邻且c,d不相邻，有多少种方法？2.某班有5名学生排成一排，其中小明和小红不能相邻，有多少种排法？3.用1-5这5个数字组成无重复数字的五位数，要求1和2相邻，3和4不相邻，有多少种？（五）分组与分配问题考点解读：分组与分配是排列组合的难点，需区分分组（将元素分成若干组，无顺序）与分配（将分组后的元素分给不同对象，有顺序）。关键结论：非均匀分组：如将6个元素分成1,2,3三组，方法数为\(C(6,1)C(5,2)C(3,3)\)（无需消序）；均匀分组：如将6个元素分成2,2,2三组，方法数为\(\frac{C(6,2)C(4,2)C(2,2)}{3!}\)（除以组数的阶乘，消去重复计数）；定向分配：将分组后的元素分给指定对象（如分给甲、乙、丙），直接乘以分组数（无需再乘阶乘）；不定向分配：将分组后的元素分给未指定对象，需乘以组数的阶乘（如分给3个人，无顺序）。例题1（均匀分组）：将6本不同的书分成3组，每组2本，有多少种分法？解析：均匀分组，需消序，方法数\(=\frac{C(6,2)C(4,2)C(2,2)}{3!}=\frac{15\times6\times1}{6}=15\)种。例题2（不定向分配）：将6本不同的书分给3个人，每人2本，有多少种分法？解析：先均匀分组（15种），再分给3个人（不定向），需乘以\(3!\)，故方法数\(=15\times6=90\)种（或直接计算：\(C(6,2)C(4,2)C(2,2)=15\times6\times1=90\)种，因分配给不同的人，无需消序）。练习题：1.将5个不同的玩具分成2组，一组2个，一组3个，有多少种分法？2.将5个不同的玩具分给2个小朋友，一个得2个，一个得3个，有多少种分法？3.将6本不同的书分成4组，各组数量为1,1,2,2，有多少种分法？（六）排列组合与概率、统计综合考点解读：排列组合是计算古典概型、超几何分布等概率的基础，需先计算基本事件总数和符合条件的事件数，再求概率。例题1（古典概型）：从5红3白共8个球中任取2个，求恰好1红1白的概率。解析：基本事件总数\(C(8,2)=28\)，符合条件的事件数\(C(5,1)C(3,1)=15\)，故概率\(=\frac{15}{28}\)。例题2（超几何分布）：某车间有10名工人，其中3名熟练工，7名新手，现选2名工人完成任务，求选中熟练工人数\(X\)的分布列。解析：\(X\)的可能取值为0,1,2：\(P(X=0)=\frac{C(7,2)}{C(10,2)}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}\)；\(P(X=1)=\frac{C(3,1)C(7,1)}{C(10,2)}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}\)；\(P(X=2)=\frac{C(3,2)}{C(10,2)}=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}\)；分布列为：\(X\)012\(P\)7/157/151/15练习题：1.从1-6这6个数字中任取2个，求它们的和为偶数的概率；2.某班有4男3女，选2人参加座谈会，求至少1名女生的概率；3.某超市有10件商品，其中2件次品，8件正品，现选3件检查，求恰好1件次品的概率。三、综合提升训练说明：本部分为排列组合综合试题，难度接近高考，考查知识的综合运用。1.选择题从0-9这10个数字中选3个组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（）A.328B.360C.400D.4502.填空题某班有5名男生、4名女生，选3人参加辩论赛，要求男生比女生多，有多少种选法？3.解答题用1-5这5个数字组成无重复数字的五位数，求满足以下条件的五位数个数：（1）1不在第一位，2不在第二位；（2）1和2相邻，且3和4不相邻。四、答案与解析（一）排列数与组合数的计算1.\(C(7,3)-P(6,2)=35-30=5\)；2.解不等式\(C(n,3)>C(n,2)\)：\(\frac{n(n-1)(n-2)}{6}>\frac{n(n-1)}{2}\)（\(n\geq3\)，\(n(n-1)>0\)），两边除以\(\frac{n(n-1)}{2}\)得\(\frac{n-2}{3}>1\)，即\(n-2>3\)，\(n>5\)，故\(n\geq6\)（\(n\inN^*\)）；3.\(k=3\)或\(k=5\)（由\(C(n,k)=C(n,n-k)\)得）。（二）分类加法与分步乘法原理1.从A到B有3+2=5种走法，从B到C有2+1=3种走法，总走法\(5\times3=15\)种；2.田字格涂色：设四个格子为左上、右上、左下、右下，分步涂：左上：3种；右上：2种；左下：2种（不能与左上同色）；右下：2种（不能与右上、左下同色）；总涂法\(3\times2\times2\times2=24\)种；3.至少1名女生：总选法\(C(9,2)=36\)，全男生\(C(5,2)=10\)，故\(36-10=26\)种。（三）特殊元素与特殊位置问题1.十位大于个位：从5个数字中选2个，无序，\(C(5,2)=10\)种；2.至少1男1女：总选法\(C(6,3)=20\)，全男\(C(3,3)=1\)，全女\(C(3,3)=1\)，故\(20-1-1=18\)种；3.1不在第一位，2不在第二位：用容斥原理，总排列\(P(4,4)=24\)，1在第一位的排列\(P(3,3)=6\)，2在第二位的排列\(P(3,3)=6\)，1在第一位且2在第二位的排列\(P(2,2)=2\)，故符合条件的排列数\(=24-6-6+2=14\)种。（四）相邻与不相邻问题1.a,b相邻且c,d不相邻：捆绑a,b为一个整体，有\(P(2,2)=2\)种；整体与e排列，有\(P(2,2)=2\)种，产生3个空隙；插入c,d，有\(P(3,2)=6\)种；总方法数\(=2\times2\times6=24\)种；2.小明和小红不相邻：总排列\(P(5,5)=120\)，相邻的排列\(P(4,4)\times2=48\)，故不相邻的排列数\(=____=72\)种；3.1和2相邻，3和4不相邻：捆绑1和2为一个整体，有\(P(2,2)=2\)种；整体与5排列，有\(P(2,2)=2\)种，产生3个空隙；插入3和4，有\(P(3,2)=6\)种；总方法数\(=2\times2\times6=24\)种。（五）分组与分配问题1.非均匀分组：\(C(5,2)C(3,3)=10\times1=10\)种；2.不定向分配：先分组（10种），再分给2个小朋友（\(2!\)种），故\(10\times2=20\)种；3.分成1,1,2,2组：均匀分组，消序，方法数\(=\frac{C(6,1)C(5,1)C(4,2)C(2,2)}{2!\times2!}=\frac{6\times5\times6\times1}{2\times2}=45\)种。（六）排列组合与概率、统计综合1.和为偶数：两数同奇或同偶，奇数有3个（1,3,5），偶数有3个（2,4,6），故符合条件的事件数\(C(3,2)+C(3,2)=3+3=6\)，总事件数\(C(6,2)=15\)，概率\(=6/15=2/5\)；2.至少1名女生：总选法\(C(7,2)=21\)，全男生\(C(4,2)=6\)，故概率\(=1-6/21=15/21=5/7\)；3.恰好1件次品：事件数\(C(2,1)C(8,2)=2\times28=56\)，总事件数\(C(10,3)=120\)，概率\(=56/120=7/15\)。综合提升训练1.选择题：偶数的个数，分两类（个位为0或非0）：个位为0：百位有9种，十位有8种，共\(9\times8=72\)种；个位为2,4,6,8（4种）：百位有8种（不能为0），十位有8种，共\(4\times8\times8=256\)种；总偶数个数